подгон 2018 (легендарный) / 1 курс-20241122T213915Z-001 / _4.2_ Матан / Ефимов Поспелов - Сборник задач ч

§ 5.

Векторные и комплексные функции действит. переменной

113

Следовательно,

=

sin (Зt + (3е"'1 cos(Зt) =

z' (t)

= x' (t) + iy' (t)

sin (Зt) + i ( o:e"'t

=

( o:e"'t cos (Зt -(Зе"'t

= o:e"'t ( cos /Зt + i sin (Зt) + i(Зe"'t ( cos (Зt + i sin (Зt) =

1>

= o:e ( a + i/3)t

+ if3e ( a-t-i/3)t = (о:+i/З) e ( a + i / 3 ) t

= Лелt .

Построить :кривые, заданные уравненинми z = z(t), и найти

z'(t):

t Е ( - оо , +оо) .

6

.599. z = t2 + it,

6

.600.

z = 1 - i + te14 ,

t

Е

( - о о , +оо).

6

.601.

z

= 2eit,

t

Е

[О,

7Г].

6

.602.

z = 3eit + e-it,

t

Е (- оо , +оо).

6

.603.

= (2 + i)et

+ (2 - i)e-t, t Е

(-оо, +оо).

6

.604.

= t2 + it4,

t

(-оо, +оо).

6

.605. zz

= t + i - ie-. 1it,ЕГ

t

Е

[О, 27Г].

6

.606. z = aeit(1 - it),

а

ЕIR,

t Е

( - оо , +оо).

6

.607* . Известно, что z = z(t) определяет занон движения

точ1ш на плос:кости.

Найти номпоненты снорости и ус:корения по

направлению :касательной :к :кривой z = z(t) и перпендинулярному

1 нему .

6

.608* . Точ:ка z пробегает о:кружность !zl = R с постоннной

угловой с:коростью, равной единице.

Найти

ве:ктор с:корости точ:ки

w, движущейсн вместе с z

по за:кону

w

= f

(z).

Пусть

D

d

= dt - оператор дифференцирования, т. е. D z (t) = z ' (t) .

Линейный дифференциальный оператор с постоnнными ноэффициен­

тами p ( D )

= an D n

+ . . . + a1 D + а0

определяется следующим образом:

p ( D ) z (t)

= aп z ( n) ( t) + . . . + a 1 z' (t) + ao z (t) .

6.609* . До:казать следующие свойства линейного дифференци­

ального оператора с постоннными :коэффициентами:

а

p(D)eлt = р(Л)елt;

где z(t) - про

б))

p

(

D

)

(

e>-tz(t)

)

= e

>-

t

p

(

D

+

"

и

звольнан

Л)z(t),