подгон 2018 (легендарный) / 1 курс-20241122T213915Z-001 / _4.2_ Матан / Ефимов Поспелов - Сборник задач ч

х

7.551. Найти центр масс дуги цепной линии

у = а ch -а

(О

х а).

7.552. Найти центр масс всей дуги астроиды х = а cos3 t, у =

= а sin3 t, расположенной выше оси Ох .

7.553. Найти де:картовы :координаты центра масс дуги :кардио­

иды r = a(l + cos ер)

(О

е р 1Г).

7.554. Пользуясь теоремой Гульдена , найти центр масс дуги

астроиды х = а cos3 t,

у

= а sin3 t, лежащей в первой четверти.

2. ФизичесRие задачи. Неиоторые применения определенного инте­

грала при решении физичесиих задач иллюстрируются ниже в приме­

рах 4-7.

4. Сиорость прямолинейного движения тела выражается

П р и м-е р

формулой v = 2t + Зt2

(м/

с

)

. Найти путь,

пройденный телом за 5 с от

начала движенип.

)

за отрезо1> времени

иан путь, пройденный телом со сноростью v(t

[<Jt1,Таиt2], выражается интегралом

t 2

S = j v(t) dt,

то имеем:

t 1

S = /5 (2t + Зt2) dt = (t2 + t3)1 = 150 м. t>

П р и м е р

о

чтобы

5. 1\аную работу необходимо затратить для того,

тело массы m

поднпть с поверхности Земли, радиус ноторой R, на высоту

h?

Чему равна работа, если тело удаляется в бесионечность?

<J

Работа переменной силы f(x), действующей вдоль оси Ох на отрезне

[а, Ь], выражается интегралом

§ 1.

Основные понятия

1. Понятия фушщиинесволъвих переме1шых. Всюшй упорядо­

ченный

набор из

действительных

чисел

х1 ,

обозначается

(х1 ,

или

Р(х1

,

,

и называется точRой• • "n-мерногоXn

арифме­

тичес.

R. "огоXn)пространства

• . •n

Xn)числа

х1 ,

называются Rоординатами

точRи

Р

=

Р(х1

, • •

!R , Расстояние. между. , Xn

точRами

Р(х1 ,

•

• • , Xn)

и

P' (xi ,

Xn)·

х) определяется формулой

Пусть. . "D С !Rn п

произвольное множество точеR n-мерного арифме­

тичесRого пространства.

Если Rаждой точRе

Р(х1 ,

,

Е

D

поставлено в соответствие неRоторое . вшшне определенное• • •

Xn)действи­

тельное число J

(P) "=

f(x1 ,

• .

"

Xn) ,

то говорят, что на множестве

D

задана 'Ч'UСдова.я функv,и.я f:

!Rn

-t

IR от n переменных Х1 ,

. . " Xn·

Множество D называется областью

определения, а множество

Е =

= {и

Е IR 1 и = f(P) , Р Е D

}

областью значений фунRции 'и =

f(P) .

В частном случае = 2 фунRция двух переменных z = f (x,

мо­

жет рассматриваться RaR фунRция точеR плосRости в трехмерному) гео­

метричесRом

пространстве с фиRсированной системой Rоординат

Oxyz.

-

ГрафиRом этой фунRции называется множество точеR

Г = {(х,

у, z) Е IR3 I z = f(x, у)},

IR3 .

представляющее собой,

вообще говоря, неRоторую поверхность в

П р и м е р 1.

-

Найти область определения фунRции

п

z

=

.

у

х

<J ФунRция определена при

arcsш -.

-1 - 1

,

.

у

x = f O.

х