Добавил:

vadikbee ИВТ (советую зайти в "Несортированное")rnПИН МАГА Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Ефимов Поспелов - Сборник задач ч

.2.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.11.2024

Размер:

45.72 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 4431 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 > Следующая >>>

300	Гл. 10. Дифференциальные уравнения
10.169. Найти уравненюr иривых, у rюторых поднормаль имеет
постоянную длину		а.
10.170.	Найти	уравнение r'ривой,	проходящей через	точну
(О, 2), если площадь нриволинейной трапеции, ограниченной ду
гой этой привой, в два раза больше длины соответствующей дуги.
10.171.	Найти	уравнение нривой,	проходящей через	точну
( 1 , 1/2), если для любого отрезна [1, х]			площадь нриволинейной
трапеции, ограниченной соответствующей дугой этой нривой, на					2
больше отношения абсциссы х нонцевой точrш 1\ ординате.
10.172.	Найти	уравнение нривой,	проходящей через	точну
(О, 3), если поднасательнан в любой точие равна сумме абсциссы

точrш пасанин и расстопнин от начала 1\уОординат до точrш насанил
(ограничитьсп рассмотрением случан -у'	> О).
10.173. Найти уравнение 1'ривой,	проходпщей через точну

( 1 , О), если длина отрезиа оси абсцисс, отсеиаемого ее нормалью,

на 2 больше абсциссы точrш rшсания.

10.174. Найти уравнение нривой, проходящей через начало но

ординат, если для любого отрсзпа [а, х] площадь r>риволинейной
трапеции, ограниченной соответствующей дугой этой нривой, рав
на нубу ординаты ионцевой точrш дуги.
10.175. Найти уравнение привой, проходящей через точиу с
полпрными rшординатами r = 2, <р = О, если угол а между ее
иасательной и радиус-вентором точ1ш иасанип есть постопннш1 ве
личина : tg	а = а.
10.176.	Найти уравнение нривой, проходпщей	через	точну
( 1 , 1 ) , если длина отрезr>а оси абсцисс, отсенаемого любой			ее на
сательной, равна длине этой насательной.
10.177.	Найти уравнение привой, проходящей	через	точиу
(3, 1 ) , если длина отрезна, отсенаемого любой ее иасательной на
оси ординат, равна поднормали.
10.178. Найти уравнение иривой, проходпщей через начало 1ю
ординат, если середина отрезпа ее нормали от любой		точ1ш 1'ривой
до оси Ох лежит на параболе 2у2 = х.
10.179.	Найти уравнение нривой, проходящей	через	точиу
( 1 , О) , если площадь трапеции, образованной иасательной, осRми
ноординат и ординатой точни иасания, постоRнна и равна 3/2.
10.180.	Найти уравнение нривой, проходящей	через	точr>у

(О, 1 ) , если площадь треугольнииа, образуемого осью абсцисс, па

сательной и радиус-веитором точrш иасанип, постоянна и равна 1.

10.181. Найти уравнение r>ривой, проходящей через точl\у

(1, 2), если произведение абсциссы точ1ш ш1сания на абсциссу

точ1ш пересечения нормали с осью Ох равно удвоенному 1\Вадрату расстоннип от начала rюординат до точ1ш пасанин.

§ 1. Уравнения 1-го порядка

301

10.182. Найти уравнение :кривой, проходящей через точ:ку с по

ш:rрными I{ООрдинатами r = 7Г, <р = 7Г/2, если площадь ссr\тора,

ограниченного этой нривой, полнрной осью и переменным поляр ным радиусом, в шесть раз меньше нуба полярного радиуса .

Ортогональными траектори.ями длн однопараметричес1юго семей ства S1 линий у = Ф (х , а) называется другое семейство S2 линий, Rото

рые пересеRают линии первого семейства под прямым углом.

П р и м е р 21. Найти ортогональные траентории семейства Rубиче с<J1шх парабол у = ах3.

Найдем дифференциальное уравнение данного семейства, иснлючан а из системы уравнений

у= ах3,

у' = 3ах2.

Получим у' = Зу/х.	Дифференциальное уравнение rемейства ортого
нальных траеRторий есть		х
	у	= -
Его общий интеграл	х2 +1	Зу
		Зу2 = с2

явлFJется уравнением семейства ортогошшьных траенторий (эллипсов). [ >

Найти ортогональные траентории данных семейств нривых (а - параметр):

10.183. ау2 = х3 .

10.184. у = ах2 .

10.185. х2 - 2у2 = а2 .

10.186. у = ае2х .

При составлении дифференциальных уравнений 1-го порнд1ш в физи

чесних задачах часто применнется метод дифферен'Циалов,

по ноторому

приближенные соотношения между малыми приращениями величин за

меняются соотношени11ми между их дифференциалами.

Та шн замена

не отражается на результатах, тан RaR дело сводитсн н отбрасыванию

бесRонечно малых высших порядRов. Другим методом составления диф

ференциальных уравнений нвляетс11 исполr..зование физичесRого смысла

производной нан с1юрости протенани11 процесса.

П р и м е р 22.

В резервуаре первоначально содержитс11 А RГ вещества,

растворенного в В литрах воды. Затем наждую минуту в

резервуар по

N),

причем

ступает М литров воды и вытеRает N литров раствора

(М

однородность раствора достигается путем перемешивани11.

Найти массу

вещества в р зервуаре через

1' минут после начала процесса.

<J Обозначим через x ( t) массу вещества в резервуnре

момент времени t

и через х + дх

в момент в

ремени

t + д t

(

время измер11ется в минутах,

- t

Заметим, что

момент времени

О соответствует началу процесса .

е. раствор «обедняется»).

)

дх < о. при д t > О (

т.

302	Гл. 10.	'
		Дифференциальные уравнения

Пусть V(t) - объем смеси в момент t:

V(t) = B + Mt - Nt.

1\онцентрацин вещества в момент\ времени t равннетсн, очевидно, x/V. За бесионечно малый отрезои времени (t, tх+ Лt] масса вещества из меннетсн на бесионечно малую величину Л , длн иоторой справедливо приближенное равенство

Лх		-	х	NЛt = -	Nx	лt.
			V		в + (М - N)t

3аменнн приращенин Лх и Лt дифференциалами dx и dt, получаем диф
ференциальное уравнение:
dx = -	Nx	dt.
dx = -	В + (М - N)t	dt.
	В + (М - N)t

Интегрирун то уравнение с разделнющимисн переменными и считан
М > N, найдем общее решение:	с	/( M-N) .
x(t) =
(В +	(М - N)t(

Использун начальное условие х = А при t = О, найде\\-1 частное решение:
x(t) = А	(	В	) N/(M - N)
		В + (М	- N)t

Полаган t = Т, получим ответ:			) N/ (M-N
х(Т) = А	(	В
	В + (М - N)T

Случай М = N требует отдельного рассмотренин (см.

)

задачу 10.195). 1>


То градусов, внесено в помещение, температура которого посто
янна и равна а градусам.
1	0	.1	88	. Через сколько времени температура тела, нагретого до
100 ° С,			понизится до 25 ° С, если температура помещения равна
20 ° С и за первые 10 мин тело охладилось до 60 ° С?
1	0	.1	89	* . Замедляющее действие трения на диск, вращающийся
1	0	.1	87	. Скорость охлаждения тела пропорциональна разности
температур тела и окружающей его среды закон Ньютона . Найти
зависимость температуры Т от времени t,( если тело, нагретое)					до

в жидкости, пропорционально угловой скорости вращения. Найти зависимость этой угловой сворости от времени, если известно, что

304	Гл. 10. Дифференциальные уравнения
10.198. Сила тш а i в цепи с сопротивлением R, индуптивностью
L и напрпжением и удовлетворнет					уравнению
	L	di	+	н·
		dt		i	= и.

Найти силу то:ка i в момент времени t, если u = E sin wt и i = О
при t = О	(L, R, Е, w - постоннные) .

§ 2. Дифференциальные уравнения высших nорядвов

1. Основные понятия. Теорема Коши.
n-го порящш имеет вид	(		1		11
F		х,		' у		' . . .	'
			у, у

или

У(п) = f(x, у, у', . . .

Дифференциальное уравнение

у	(п)	)	=	О	(1)

,	У(п-1)).				(2)

Задшчей Коши для дифференциального уравнениn (2)

называетсn

задача

отыс1шния решения у(х),

удовлетворяющего заданным началь

ным условиям

, · ·

· ,

(3)

У(Хо)

Уо, У'(Хо)

(п-

(Хо) =

(п-1)

Уо

Уо =

=(хо, С1

, . . .

Общим решением уравнения

или

называется таиая фуниция

у = ср(х, С1 , . .

., Сп), иоторая при(1любых)

допустимых

значениnх

пара

(2)

метров

С1 , . . .,

Сп

является решением этого дифференциального урав-

С1 , С2

, . . ., Сп,

(3)

найдутся постоянные

нения и для любой задачи Ноши с условиями

определяемые из системы уравнений:

ср

, Сп

УЬ = ер'(хо, С1 , . . . , Сп),

Уравнение

Уо(п-1) = 'Р(п-1) (Хо, С1 , · · · , Сп)·

(4)

Ф(х, у, С1 , . . . , Сп) = О,

определяющее общее решение иан неявную фуницию, называется общим
инте2ралом дифференциального уравнения.					е д и н с т в е н н о с т и р е
Т е о р е м а о с у щ е с т в о в а н и и и
ш е н и я з а д а ч и	1\ о ш и.		Если дифференциальное уравнение (2) та-
ково, 11,то функv,и.я f(x,		у, у',		. . ., у(п-l)) в		некоторой области D
изменени.я св оих	ар2ументов			непрерывна		и	имеет непрерывные
	дf	,	дf	дf		,	"
-частные производные ду			ду'	, . . ., ду(п-l)			то дл.я любои то-чки

<<< < Предыдущая 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 4431 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке _4.2_ Матан

#
23.11.202445.72 Mб13Ефимов Поспелов - Сборник задач ч.2.pdf
#
23.11.20247.77 Mб1Ефимов Поспелов - Сборник задач ч.3.pdf