подгон 2018 (легендарный) / 1 курс-20241122T213915Z-001 / _4.2_ Матан / Ефимов Поспелов - Сборник задач ч

сиоростей дв:Ижущейся в

плосиости точии в любой момент времени

t.

Решение динамичесиой

системы

х

=

x(t), у

= y(t)

это уравнение движения точии:

ониt.

определяют положение

движущейся точии в любой момент времени

-

Начальные условия задают положение точии в начальный момент:

x(t0) =

х0,

y(t0)

= у0.

Уравнения

движения

определяют

таиже

и

тра­

еиторию движения, будучи уравнениями этой иривой в параметричесиой

форме.

П р и м е р 9. Найти фазовую траеиторию автономной динамичесиой

системы

j;

2

,

у =

х,

у

проходящую через точиу Мо

= -х

(

2

, 3).

t

и подставим выражение

<1 Продифференцируем второе уравнение по

х = у и х = у

в первое уравнение. Получим

у

=

(у)2

, или уу - (у)2

= О,

у

т. е.

одно уравнение второго порядиа с одной неизвестной фуницией у.

2

и перепишем его

таи:

d

у

= О.

Отсюда следует,

у

dy

dt

отиуда

-

-

что -

= С1

,

или -

С1

,

dt

(у)

у

у

=

У = C2eC1t.

Найдем у = С1C2e01t и подставим во второе уравнение системы; по­

лучим х

= C1

C2e01t. Итаи, система фуниций

х

= C1

C2e01t, у = C2e01t

есть общее решение нашей системы дифференциальных уравнений.

Исилючан из общего р шею я время t

(C2e01t

=

у),

получим,

что

фазовыми траеиториями системы являются прямые

х

= С1

у,

причем

х. t>

Для увазанных систем найти фазовые траевтории, проходящие

через заданные точви М0 :

10.423.

х-= 1

- х2 - у2 ,

у = 2х;

М0 ( 1 ,

2) .

10.424.

х

= 1

- х2 - у2 ,

у = 2ху;

Мо (2,

1 ) .

10.425.

х

= 2х, у = х + 2у;

М0 ( 1 ,

1 ) .

10.426.

х

= у - х,

у = у - 2х;

М0

( 1 , 1 ) .

4. Линейные однородные системы. Нормальнан линейнан однородная

систем(\ п-го порядиа имеет вид

+ . .

.

+ ain(t)xn,

Х1

= a11 (t)x1

+ ai2

(t)x2

Х2

= a21 (t)x1

+ a22

(t)x2

+ . .

.

+ a2n(t)xn,

ному значению >. (т. е.

АУ ( > .)

= >. У (>. ), у (> .

) О= )/. :

-

П р и м е р

10. Найти частное решение однородной системы

1

=

3х

1

+

2х2 ,

±2

=

+

4х

1

Х2,

1

±з = 2х1 + 3х2 + 4хз,

х1

(0)

=

6,

i2 (0)

= -6, х3 (0) = 24.

удовлетворяющее условиям

<J Характеристическое уравнение

(14) для этой системы имеет вид

det (A - ЛЕ) =

4 - Л

1

о

= о.

3

2 - Л

о

Его корни Л1

= 4

2

3

4 - Л

например,

1,

Л2

, Лз

= 5.

Собственные векторы,

таковы:

у ( Л о ) =

Н) ,

) =

Ш ·

= (О .

ПоЭтому

у

( > .

у ( Ло )

2

х (> - 1 > =

х(Л. ) =

х (Л.) =

е".

Отсюда общее

решение системы в соответствииш е",

с (15) имеетш

вид

Н)

,· .

Ш е" + С3

Ш е".

X (t) = С,

( - ) е'

+ С,

ристичесного уравнения (14) является танже сопряженное с ). число Л.

Вместо номпленсных частных решений X("J (t) и x(XJ (t) следует взять

действительные частные решения xf"J(t)

=

Re X("J (t)

и

X "J(t)

=

=

lm X(Л)(t).

=

П р и м е р 11. Найти общее решение системы

X1 (t)

=

Х1 + Х2,

±2(t)

-2х1 + Зх2.

<J Харантеристичесное уравнение

2

+ i, получаем систему

(

- 1

i)y ,\)

+

=

у2(,\) -

о

'

--2у,\)

+

=

Полагая

(,\)

(1 - i)y ,\)

=

(,\)

1 +

i,

=

о .

у1

= 1, находим у2

.

т. е.

1

(t)

е ((

) е

)

(

)

(

)

е

-

I

l + i

-

2

t(cos t - sin t)

-

cos t

- sin t

'

e

)

1

2t

. t

.

t

х2(Л)

(t) -

m ((

1

+ i

) е(2+i)t)

-

(

2

е SШ

)

- (

sш

е

2t·

e

t(cos t + sin t)

cos t + sin t

Оиончательно (см. формулу (15))

получаем общее решение

х

(t)

=

с

(

cos t

2t

+

С2

(

sin t

)

е

2t

=

1

cos t - sin t) е

cos t + sin t

·

!>

= ((C1

+ C2) cost +

(C2 - C1) sint) е2t

С1

cos t + С2

sin t

из системы линейных уравнений, получающейсн приравниванием ноэф­

фициентов при одинаиовых степенпх t

в результате подстановни вектора

(16)

исходную систему (13).

системы

Пвр и м е р 12. Найти общее решение.

1

4

± 1

(t)

=

2х1 - х2,

:i:2

1

+ 6х2.

(t) = 4х1

2

-

-1

= (Л - 4)2 = О

Л

6 - ,\

344

Гл. 10. Дифференциальные уравнения

Решить

следующие

системы линейных

диф ференциальных

уравнений

с

постоннными коэффициентами.

Там, где даны на­

чальные условия, кроме общего решения, найти соответствующее

частное решение:

10.431.

х

= у,

у = -2х + Зу.

10.432.

х

= х + Зу,

у = -х + 5у;

х (О) = З,

у (О) = 1 .

10.433.

х

= Зх -

2у, у = 4х + 7у; х (О) = 1 ,

у(О) = О.

у = 5х - 6у.

10.434.

i;

= 2х - 5у;

10.435.

х

= х - 4у,

у = х - Зу.

10.436.

х

=

-х

+

2у,

у = -2х - 5у; х (О)

=

О, у(О)

= 1 .

10.437.

х

= у,

у = z,

i = х;

х (О)

= у (О)

= z(O) = 1 .

10.438.

х = у + z ,

у = z + х, i

= х + у;

х (О) = у (О)

= 2 ,

z(O) = - 1 .

i;

= х - 2 у - z , у = - х + у + z , z = х - z .

10.439.

10.440.

х

z = 6 х + 4у - 4z.

5. Линейные неоднородные системы. Нормальная линейная неодно-

±1

= al l (t)x1 + a12 (t)x2

+ . . . + aln (t)xn + fi (t) ,

±2

=

а21 (t)x1 + a22 (t)x2

+ . . . + a2n (t)x,,; + /2 (t) ,

где F(t) =

X(t) = A(t)X(t) + F(t),

(18)

(f1 (t),

f

(t),

. . ., fn(t)) т. Интегрирование системы (17)

мож­

2

но проводить методом исилючения (см. пример 3), однаио иногда предпо­

чтительнее найти предварительно решение Xo(t) соответствующей (18)

однородной системы

= A(t)X(t)

(19)

X(t)

X(t) = X0(t) + X(t).

k = 1, 2,

(20)

. . ., п, ре­

шений однородной системы (19), то общее решение X(t) можно найти

методом вариации произвольных постоянных.

Именно, полагая

n

(21)

k=1

X(t) = L:·Ck

(t)Xk(t),

определяем фуниции Ck (t) подстановиой (21) в систему (18) .

Учитывая

при этом равенства

k = 1,

2, . . .

, п,

Xk(t) - A(t)Xk (t) = о,

n

(22)

L Ck(t)Xk(t) = F(t).

k=1

фующий

C\ (t)

и

(\(t)

составим систему вида (22)

7t

+ .

5

t

С.

1 (t)

C2

(-1) е

=

1,

а

фующии fi(t) имеют вид произведений

(P(t) cos {Зt + Q(t) sin {Зt)e°'t,

X(t)

(23)

Следует. . " n,

где P(t) и Q(t) - многочлены, то частное решение

X(t) можно найти

в виде, аналогич­

ном

харантеристичес1юго уравнения.

наибольшая степень многочленов

и

иметь в виду, что если k

P(t)

Q(t)

в

(23) и

Л

i{З -

-

харантеристиче-

о : +

норень нратности

сного уравнения,

то

частное

решение X(t)

ищется в

виде

=

r

Х1 = -Х2 + t2 ,

<J

Х2 = Х1 + et .

= 1

с

= О имеет иорни

Л1

, 2

=

±i, ищем частное решение системы1-/в

уммы многочлена

виде

второй степени и фуниции вида Det :

D1

= -D2 ,

l - A2 = О,

D2

= D1 + 1,

Ai = 0.

X (t) = AX(t) + F(t) ,

где А =

2

- 1

и F =

t + 1

е

Зt

.

1

4

2t

<J Хараитеристичесиое( )

уравнение( )

1

2 -

л

- 1

= Л

2

- 6Л + 8 + 1 = (Л - 3)2 = О

1

4 _ Л 1

2

A1 t + В1

з .

(

а не в виде t

2

2)

A

t + В

е

t

Подставив

X((t)

в заданную)систему и сонратив на e3t , получаем ма­

тричное равенство

A1 t3

+ B1 t2

+ D1 t + 3A1 t2

+ 2B1t + D1 = -A2 t3 - B2 t2 - D2t + t + 1 ,

-A2 t3

- B2t2

- D2t + ЗА2t2

+ 2B2t + D2 = Ai ti + B1 t2 + Di t + 2t.