Добавил:

vadikbee ИВТ (советую зайти в "Несортированное")rnПИН МАГА Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Ефимов Поспелов - Сборник задач ч

.2.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.11.2024

Размер:

45.72 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 4427 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 > Следующая >>>

§ 3. Несобственные кратные интегралы

263

9.147. Найти момент инерции относительно оси Oz однород-
	1)
ного тела плотности 1, ограниченного поверхностями у = 2а		х2,
h
z = О, z = z;(Ь - у) (а > О, Ь > О, h > О).
9.148. Найти момент инерции однородного сегмента параболо
ида вращения плотности с радиусом основания R и высотой		Н
относительно его оси вращения1	.

9.149. Найти момент инерции шара радиуса R относительно его диаl\ стра, если плотность в наждой точr е пропорциональна рас стоянию от точ1ш до центра шара, а на поверхности шара равна IO· 9.150** . Найти ньютонов потенциал И однородного тела плот-

ности ,, ограниченного эллипсоидом вращения			х2	+ у2	z2
ности ,, ограниченного эллипсоидом вращения				а2	+ ь2 = 1,
в его центре (Ь > а).				а2
в его центре (Ь > а).
9.151** . Найти силу притяжения, оиазываемого однородным
ионусом плотности 1, высоты		и радиуса основания R на ма
териальную точиу, расположенную в его вершине и содержащую
	Н

единицу массы.

9.152. Найти момент инерции относительно оси Oz однород

ного тела плотности 1,

ограниченного поверхностями

z = 2а

х (у2 - х2),

z = О, у = ±а.

9.153. Найти момент инерции однородного иругового ионуса

плотности

'У

с радиусом основания R и высотой

относительно

его оси.

§ 3. Несобственные :кратные интегралы

· 1. Интеграл по бесноне'Шой области. Если фующшr

f(x, у) непре

рывна в бссионечной области G,

то, по определению,

.!.! f(х

, у)

dx dy

= J a jj f(х, у) dx dy,

(1)

где D -1юнечная область,

целииом лежаща11 в области G, причем D -t G

означает

что область

расшир11етс11 произвольным образом таи, чтобы

ис'Черпыв ающее

в нее вошла и осталась в ней люба11 точr\а области G

(

расширение .

)

Если существует ионечный предел (1), не завис11щий от

способа расширени11

D -t G, то

иесобствен-

выбора подобласти D

пр

тивном

ный интеграл jj f(x, у) dx dy называетс11

сход.ящимс.я,

случае -расходG.ящимси.я.

§ 4.	В	ычисление ин	т	егралов	, з	авися
	В		т		, з	щих от параметра

267

§	4	. Вы	ис	ление интегралов, зависящих				от параметра
	4	ч		ление интегралов, зависящих				от параметра
1	.	Собствеш1ые Шiтегралы, завистцие от					параметра. Если фующия
f(x,	у) определена и непрерывна в					прямоугольнике		а х Ь, А у
В,	то интеграл				ь
В,	то интеграл
					F(y) = j f(x, у) dx			( 1 )

	а
называется интегралом, завис.ящим от
рывной в промежутке [А, В] функцией.
Интеграл более общего вида	ф ( у)
F(y) =	J f(x,

параметра,	и является непре
у) dx	(2)

	<р ( у)		параметра,		и 11	вляется
также называется интегралом, зависящим от			параметра,		и 11	вляется
непрерывной	фуннцией аргумента у в	промежутке [А,		В],	если	f(x, у)
непрерывна в	прямоугольнике а х	Ь, А	у В,	ср(у) и 'lf;(y) не
прерывны при у Е [А, В] и их значения содержатся в промежутке [а, Ь].
Пр им ер	1 . Вычислить предел

lim		1
у О
	- ( Н у)
Рассмотрим следующий интеграл,
F(y) =		- ( Н у)

	dx		.
+ х2 + у2			.
+ х2 + у2
зависящий от параметра у:
	dx			.
1	+ х2	+ у2		.
1	+ х2	+ у2

Так

кан

пределы

интегрирования, а танже

подынтегральная

функция

непрерывны при

любых Значениях своих

аргументов, то

F(y)

- непре

рывная

функция.

Поэтому

= .

lim

l +

= lim F(y) = F(O) = J --5!:!:._= arctg x l

1 + х2 + у2

у о

-1

1 + х2

- ( Н у)

f(x, у)

Если

и f (x, у) непрерывны в прямоугольнике а

Ь,

А у В ,

то для интеграла (1) справедлива формула дифференциро

вани.я под знаком инт

еграла (Ф о р м у л а

Л е й б н и ц а):

(y)

J f(x, у) dx =

J f(x, у) dx.

(3)

аа

<<< < Предыдущая 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 4427 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке _4.2_ Матан

#
23.11.202445.72 Mб13Ефимов Поспелов - Сборник задач ч.2.pdf
#
23.11.20247.77 Mб1Ефимов Поспелов - Сборник задач ч.3.pdf