подгон 2018 (легендарный) / 1 курс-20241122T213915Z-001 / _4.2_ Матан / Ефимов Поспелов - Сборник задач ч
.2.pdf
330 Гл. 10. Дифференциальные уравнения
9 . Задачи физичесноrо харантера. т
10.391 * . Материальная точна массы движется прямолинейно
под действием силы притяжения н неподвижному( центру, пропор циональной расстоянию от точни до центра ноэф фициент пропор
циональности k > О) . Сила сопротивления среды пропорциональна |
||
снорости (ноэф фициент пропорциональности Л > |
О). |
В началь |
ный момент расстояние от точни до центра равно |
а, |
а снорость |
направлена по прямой, соединяющей точну с центром, и равна vo. |
||
Найти занон движения точни при условии, что Л2 < 4mk. |
||
10.392* . Материальная точна массы т движется прямолинейно |
||
под действием силы отталнивания от неподвижного центра, про |
||||
порциональной расстоянию |
от точни до центра (ноэф фициент |
|||
пропорциональности k > О) . |
Сила сопротивления среды пропор |
|||
циональна снорости |
ноэф фициент пропорциональности Л |
О). |
||
В начальный момент |
(точна находится на расстоянии а от центра> |
, |
||
снорость равна vo и направдена по прямой, соединяющей точну с центром. Найти занон движения точни.
10.393* . Узнал длинная трубна вращается с постоянной угловой сноростью w вонруг перпендинулярной :к ней вертинальной оси. Шарин, находящийся внутри трубни, снользит по ней без трения.
Найти за:кон движения шарина относительно трубни, если: |
а |
от |
|
а в начальный момент шари:к находился на расстоянии |
|||
оси вращения) |
, начальная снорость шарина равна нулю; |
|
|
б) в начальный моментvoшари. :к находился на оси вращения и
имел начальную сиорость 10.394. Узная длинная трубиа вращается с постоянной угловой
с1юростью w во:круг перпендинулпрной и ней вертинальной оси. Шарии, находящийся внутри трубии, скользит по ней с трением,
величина которого R |
dr |
2mµw dt , где µ --- коэффициент трения |
|
сиольжения. Найти занон движения шарика, если в начальный |
|
момент шарю' находился на расстоянии а от оси вращения и на |
|
чальная сиорость его равна нулю. |
|
10.395* . Тяжелап однородная цепь переброшена через гладкий |
|
гвоздь тан, что с одной стороны свисает часть ее длиной 8 м, а |
|
=
с другой стороны - часть длиной 10 м. За наное время Т цепь соскользнет с г11оздя?
10.396* . Груз массой 4 нг подвеШен на пружине и увеличивает ее длину на 1 см. Найти закон движения груза, если верхний
у = 2 sin ЗОt( (см) и в начальный момент груз )находился в состоя
конец пружины совершает вертинальное гармоническое колебание
нии понол сопротивлением среды пренебречь .
10.397* . Эле:ктричесиал цепь состоит из последовательно соеди ненных источнина тона с э. д. с. e(t) = E sinwt, индунтивности L,
332 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Гл. 10. Дифференциальные уравнения |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Решением системы (2) на интервале а < х < Ь называется сово |
||||||||||||||||||||||||
нупность фуннций |
|
У1 |
= <р1 (х), |
. . ., Yn = |
1Р |
п(х), непрерывно дифферен |
||||||||||||||||||||
цируемых на |
( |
а , |
Ь)аи, Ьобращающих). |
уравнения системы (2) |
в тождества |
|||||||||||||||||||||
относительно |
х |
|
|
Е ( |
|
нормальной |
системы |
|
называется |
|
фуннцин |
|||||||||||||||
Ф |
|
Интегралом |
д |
(2) |
|
|||||||||||||||||||||
|
(х |
|
у |
|
. . . |
д |
Ф |
) |
|
|
Ф |
|
дФ |
и непрерывная вместе с частными про- |
||||||||||||
|
, |
1, |
, Уп |
|
, |
определенная |
||||||||||||||||||||
изводными |
-8х |
, |
|
|
дУ1 |
, . . ., -8у" |
в неноторой области D изменения пере- |
|||||||||||||||||||
менных и принимающая при любых х Е (а, Ь) постоянное значение при |
||||||||||||||||||||||||||
подстановне в нее произвольного решения системы. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
Равенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф(х, У1, · · · , Уп) = С, |
|
|
|
|
|
||||||||
где Ф( |
х, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
-( |
|
). |
||||||||||
у1 , . . . |
|
, |
|
|
Yn) |
интеграл нормальной системы, а С |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
произволь |
|||||||||||||||||||
ная постоянная, |
|
называетсн первым интегралом |
системы |
2 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
Дифференциальное уравнение п-го порндна |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(n) = J(x, у, |
у', . . . |
, |
y<n-1)) |
|
|
|
|
|||
можно свести |
|
|
|
|
|
нормальной системе (2). |
Обратно, системы (1) или (2) |
|||||||||||||||||||
в большинстве случаев своднтся н дифференциальному уравнению п-го |
||||||||||||||||||||||||||
порядна, |
решан ноторое можно найти и решение исходной системы. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
П р и м е р |
1. |
|
Привести rшноничесную систему дифференциальных |
|||||||||||||||||||||
уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
нормальномун виду. |
|
у ' = 2у1 - 3у2, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
н |
|
у = У1 |
- 2у2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dy1 |
|
|
|
|
|
|
|
у = У1 - 2у2, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
<J Положим |
dx |
|
|
|
= Уз и |
dx = у4. Тогда данную систему можно записать |
||||||||||||||||||||
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у; |
= Уз, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у = у4, |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у = 2у1 - 3у2, |
|
|
|
|
|
||||
ноторая и нвлнетсн нормальной системой 4-го порндна. !> |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
П р и м е р |
2. |
|
|
Привести н нормальной системе дифференциальное |
||||||||||||||||||||
уравнение у"(х) + k2y(x) = О. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
<J |
Положим |
у' = z, |
|
тогда у" = z', и уравнение приводитсн н нормальной |
||||||||||||||||||||||
системе уравнений |
|
|
у |
= z, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z' |
= -k2y. !> |
|
|
|
|
|
|
||
