подгон 2018 (легендарный) / 1 курс-20241122T213915Z-001 / _4.2_ Матан / Ефимов Поспелов - Сборник задач ч
.2.pdf
7.431. |
/+оо |
|
+ cos2 x · |
|
7.432. |
|
/+оох |
|
. |
||
|
|
|
§ 5. Несобственные интегралы |
|
|||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
е2 |
dx |
|
|
|
1 |
JX |
|
|
|
|
|
lп lnx |
|
||
2. Интегралы от неограниченных фушщий. Если фующия |
|||||||||||
прерывна при |
|
х < Ь и |
х -tЬ-0 |
f |
(x) = |
|
|
то по определению |
|||
|
|
а ::::; |
lim |
|
оо, |
|
|
|
|||
159
j(x) не
|
|
|
|
Ь |
|
|
|
Ь--у |
|
|
|
|
|
|
|
|
! f |
(x) dx = |
|
lim |
J |
f(x) dx. |
|
|
(3) |
|
|
|
|
|
-y-t +O |
|
|
|
|
|||
Если существует нонечный предел в правой части формулы (3), то |
||||||||||||
несобственный интеграл называется сход.ящимс.я, |
если этот предел не |
|||||||||||
существует, то - |
расход.ящимс.я. |
|
|
|
|
|
f(x) > О есть |
|||||
Геометричесни несобственный интеграл (3) в случае |
||||||||||||
площадь фигуры, ограниченной графи1юм фуннции у = |
f(x), |
прямой |
||||||||||
х = а |
и вертинальной асимптотой х = Ь. |
|
интеграл в |
случае |
||||||||
Аналогично |
|
определяется |
несобственный |
|||||||||
im |
f(x) = оо. |
|
|
а |
|
|
|
а |
|
|
|
|
x -lt a+O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
неогра |
||
В случае, ногда Е (а, Ь) - точна разрыва и фуннция f(x) |
||||||||||||
ничена в любой |
онрестности точ1ш |
с, |
|
|
|
|
|
|||||
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
!Ь f(x) dx =
а
lim 'У1 -t+O
cJ- -r1
f(x) dx +
а
-
|
Ь |
lim |
J |
r2 -t+o |
|
c+-r2
f(x) dx. |
(4) |
Признани сходимости и расходимости несобственных интегралов от неограниченных фующий аналогичны признанам из п. 1.
На прантине в начестве интеграла, с ноторым производится сравне ние, обычно используются интегралы вида
|
ь |
|
|
|
ь |
|
( |
а > О |
) |
, |
|
(5) |
||
|
|
dx |
|
|
|
dx |
|
|||||||
|
!. (х - а)" ' |
! (Ь - х)°' |
|
|
|
|
|
|
||||||
ноторые сходятся при а < |
1 |
и расходnтся при а ;::1 (сравните |
с |
анало |
||||||||||
гичными |
а |
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
) |
. |
||
|
интегралами в случае беснонечных пределов интегрирования |
|
||||||||||||
П р и м е р <! При х -+
тан нан
3. |
Исследовать на |
|||||
1 |
|
1 |
|
х |
1 |
1 |
lп |
|
- |
||||
1 |
. . |
|
1/ lпх |
- - |
l |
|
l/(1·х |
-- l) |
|||||
|
!Ш |
- |
|
|
|
2· |
.:-tl |
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
d |
|
сходимость интеграл J |
|
|||||
|
x |
|||||
l |
Il J: |
|||||
iш( |
:сln=J.:r |
= !irп |
1/_!-:J.·__ = 11. |
|||
|
||||||
энвивалентные |
беснонечно |
|||||
--;1 . |
|
x->I |
|
|
|
|
.
большие),
160 |
Гл. 7. |
Интегральное исчисление функций одной переменной |
|||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при а = |
|
|
И |
|
! |
-- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нтеграл |
расходится |
иаи интеграл типа |
(5) |
1. |
Следо- |
||||||||||||||||||||
|
|
х - 1 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
x |
|
[> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
вательно, |
расходится |
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
и / |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Пр |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Исследовать на сходимость интеграл |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
и м е р |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
2 |
+ ../Х |
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tgx - х |
x. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
<J Задача состоит в том, чтобы установить хараитер поведения подынте |
|||||||||||||||||||||||||
гральной фуниции при х |
|
|
|
+О |
В числителе при |
х |
|
+0 имеем |
|
||||||||||||||||
|
|
|
2х |
|
|
|
|
---r . |
|
|
---r |
|
|
||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
..;х= |
|
|
|
(2хз/2 |
+ |
|
,...., |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
х1/2 |
|
l) |
х1 |
/2 |
|
|
|
||||||
В знаменателе воспользуемся формулой Маилорена для фуниции tgх:
Следовательно, при х ---+rО
Тан грал
иаи . [>
интеграл
1
о!
|
|
+ |
.JX |
х |
12 |
|
|
|
|
2х |
2 |
|
1 |
|
|
|
1 |
· |
|
---""-,....--, |
|
-- |
|||||||
tgх - х- |
хз |
/3 |
- |
3 |
х5/2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
расходится, |
то расходится и заданный инте- |
х5/2 |
Вычислить |
|||
ходимость)1: |
|
|
|
7.433. |
! |
х |
2 |
|
|||
|
о |
||
|
|
||
|
|
|
|
несоб
dx |
4 |
. |
+ х |
|
|
|
|
ственные
7.434.
|
4 |
dx |
- 8 |
|
|
7.436. |
! |
. |
|||
J |
|||||
|
бх - х2 |
|
|
||
|
2 |
|
|
|
интегралы |
(или |
||||||||
2 |
|
|
x dx |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
. |
|||
!о |
(х |
2 |
- |
1) |
4/5 |
||||
|
|||||||||
|
|
2/3 |
|
|
|
dx |
|||
|
|
|
! |
|
|
|
|||
7.437. |
х J9х2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1/3 |
|
|
|
|
||
установить их рас
-1 . |
!1 е |
x ln х |
|
|
7.435. |
|
dx |
|
|
|
|
- |
3 |
. |
|
|
-- |
|
|
|
§ 6. |
Геомет' рические приложения определенного интеграла |
|
167 |
|||||||||||||||
|
7.466. |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(х- 1) |
|
х |
|||||
|
|
|
|
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями |
|
|
|
|
|
||||||||||
х (у + 2) = и х + у = 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
7.467. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой у = Inx, |
|||||||||||||||||
касательной к ней в точ1\е |
.i: |
= с и осью |
|
|
|
|
у |
|
= |
||||||||||
|
7.468. |
Найти площадь фигуры, |
ограниченной кривыми |
|
|||||||||||||||
= |
|
|
Ох. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
ln (x + 2), |
|
y = 2 Inx, у = О. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
7.469. Найти площади каждой из двух частей, на которые круг |
|||||||||||||||||
х2 |
|
+ у2 |
|
2а |
х разделен параболой у2 |
= 2ах - а2. |
|
|
|
|
|
- |
|||||||
|
|
7.470. Найти площадь лунки, ограниченной гиперболой · ;i.:2 |
|
||||||||||||||||
- у2 = а2 |
и параболой у2 |
= |
|
ах. |
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
||||||
|
|
7.471. Найти площадь |
гиперболичешого сегмента с высотой |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а). |
|
||||||||
и основанием 2r (действительная полуось гиперболы равна |
|
||||||||||||||||||
|
|
7.472. Найти площадь фигуры, ограниченной I>ривой а |
2у2 = |
||||||||||||||||
|
|
х5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
--- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2а - х |
и ее асимптотой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
7.473. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями х2 - |
|||||||||||||||||
- у2 = а2 |
, |
(х2 - а2)3у2 = а8 и осью |
|
двух частей, на 1юторые круг |
|||||||||||||||
|
|
7.474. Найти площади 1шж.дой из Ох |
(х >·а). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
х2 |
|
+ у2 |
|
2 |
ах разделен гиперболой 4х2 - 3у2 = а2. |
|
|
|
|
|
h |
||||||||
|
|
7.475. Найти площадь эллиптичесного сегмента с высотой |
|
||||||||||||||||
и основанием 2r (большая полуось эллипса равна |
а, основание |
||||||||||||||||||
сегмента параллельно малой оси) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
7.476. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми у = |
|||||||||||||||||
|
|
а3 |
|
|
|
|
а2х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а2 |
2 |
, |
у = а2 + х2 и осью Ох. |
|
|
|
|
|
|
у2 |
|
|
|||||
|
|
7.477+х. |
Найти шющадь |
фигуры, |
|
ограниченной |
нривой |
|
|
|
|||||||||
|
|
х4 |
|
и ее асимптотами. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
а2 - |
х2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
7.478. Найти площадь |
фигуры, ограниченной астроидой х |
|
|
||||||||||||||
= а cos3 t, |
у |
|
= а sin3 t. |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
7.479. Найти площадь петли нривой х = Зt(З - t2), у = t2. |
|
|
|||||||||||||||
|
|
7.480. Найти площадь фигуры, ограниченной одной арной ци- |
|||||||||||||||||
клоиды |
х = 2(t - sint), у = 2(1 - cos t) |
и осью Ох. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
7.481. Найти площадь петли Rривой х = a(t2+1), |
у = Ь(t3 |
-3t). |
|||||||||||||||
|
|
7.482. Найти площадь петли l\ривой х = 2t - t2, |
у = 2t2 |
|
- t |
3. |
|||||||||||||
|
|
7.483. Найти площадь фигуры, ограниченной Rардиоидой r |
|
= |
|||||||||||||||
= а sin 5<p. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r' |
|
= |
||||
= a(l + sin <p). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
7.484. Найти площадь одного лепестRа нривой r = а sin 2<р. |
|
|
|||||||||||||||
|
7.485. |
Найти площадь |
фигуры, |
|
ограниченной |
нривой |
|
|
|
||||||||||
