подгон 2018 (легендарный) / 1 курс-20241122T213915Z-001 / _4.2_ Матан / Ефимов Поспелов - Сборник задач ч

§ 5. Векторные и комплексные функции д йствит.

переменной 103

е

6.556* . Дано

уравнение движения:

r = Зti + (4t

- t

2

)j

. Опреде­

лить

ус:корение w

движения и его тангенциальную

Wт

и нормаль­

ную

Wn

составляющие в ·

любой момент t

и при t

= О.

+

2

6.557. Дано уравнение движения:

r

=

t

2

i +

! (2t

1 ) 31 j .

2

3

и

нормаль-

Определить ус:корение движения и его тангенциальную

ную составляющие в любой момент t

и при t

= О.

3. Касательная

R пространственной нривой и нормальная

плосностъ.

Уравнения насательной

н

пространственной

нривой

х

= x(t)

,

у

= y(t),

z = z(t)

в точне Мо(хо,

Уо,

zo ) , ноторой

соответствует

значение

параме­

тра

to, имеют

вид

х - хо

у

- Уо

-

z

- zo

'

где

z -

dx/dtJt=to

- dy/dtJt

=to

dz/dtJt

=to

Уравнение нор­

х, у,

тенущие

но

ординаты точни насательной.

мальной

плосности

в

той же

точне

:

dz

d

x

d

1

t=to

y

t=to

dt 1

t=to

dt

+

dt 1

+

(

z - z

(х - хо)-

(у - уо) -

o)-

= О.

r =

П р и м е р

2. Доназать

,

что насательная

н

винтовой

линии

(a cos t, a sin t,

bt)

образует постоянный

угол

с

осью

Oz.

<J Найдем ве1,

тор, иасательный и годографу

ве1,

тора

r:

Отсюда

: =

(-a sin t, a cos t, Ь).

z'(t)

Ь

'У = const. С>

COS '}'

=

ldrjdt/

=

.,/а2

+ Ь2 '

т. е.

Написать

уравнения насательной и нормальной плос­

П р и м е р

3.

ности н

нривой х

= t

2

- 1

,

у

= t +

1 ,

z = t

3

в точне М0(

0,

2,

1) .

<J Данной точне соответствует значение

параметра

t = 1 .

Имеем

d

x

d

dz

'

y

'

2

dt

dt

=

1

dt

= 3t .

- = 2t

Подставляя значение t = 1 , получаем

=

'

dx

'

y '

dz

t=1

-

'

d

t=1

t=1

-

.

dt

2

dt

1

,

dt

3

Уравнения насательной:

2х + у + 3z

- 5 = О. 1>

или

6.558. х = 4 sin2 t, у = 4 siн tcos t,

z = 2 cos2 t при t = 1Г/4.

1

у =

1

1

при t = 2.

6.559. х = -t2

'

-t3

'

z = -t4

2

3

4

6.560. х = a ch t,

у = a sht,

z = at при t = О.

6.561. х2 + у2

=

10,

у2 + z2

= 25 в точ:ке Mo(l, 3, 4).

.562. 2х2 + Зу2 +z2

= 9,

3x2 +y2 - z2 = О в точ:ке Mo(l, -1, 2).

4. ДиффереIЩИальные харавтеристиви плосвих нривых. Пусть кри­

вая в плос1юсти Оху

является годографом вектор-функции r = r(s)

= (x(s), y(s)) , где s

- длина дуги кривой.

Кривизной кривой в точке Мо называется число

Здесь13)l.{J

к = !Mн- -mt Mo .Л:!!s 1 _

..._

- угол поворотаднасательнойs

, соответствующий дуге М0М

(рис.

данной нривой,

а

-

дуги.

длина этойR =

r<s>

Величинаусом кривизны1. /К называется ради-

шениемКривизна·

К определяется соотно­

Рис. 13

Приведем ряд формул для вычисления

нривизны нривых:

то

1) если нривая задана уравнением в явной форме у = f(x),