подгон 2018 (легендарный) / 1 курс-20241122T213915Z-001 / _4.2_ Матан / Ефимов Поспелов - Сборник задач ч
.2.pdf
72 Гл. 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
6.271. В ка1юй точке эллипса 16х2+9у2 = 400 ордината убывает с той же с1юростью, с 1шкой абсцисса возрастает?
6.272. Радиус шара изменяется со скоростью v. С кююй скоро стью изменяются объем и поверхность шара?
6.273. I-\олесо вращается так, что угол поворота пропорционален
квадрату времени. |
Первый оборот был сделан колесом за время |
|||
Т = 8 с. Найти угловую снорость w в момент времени t = |
32 с |
|||
после начала движения. |
|
|
||
фере1.11:цируемой |
|
§ 2. Диф ференциал |
диф |
|
|
|
Фунrщия у = f(x) называется |
||
ДиффереIЩИал 1-го порядна. |
|
|
||
|
в точие х0, если ее приращение ду(х0, дх) может быть |
|||
представлено в виде |
ду(хо, дх) = Адх + о(дх). |
|
||
|
|
(1) |
||
Главная линейная часть Адх приращения ду называется диффере11:11;и алом этой фуниции в точие х0, соответствующим приращению дх, и обозначается символом dy(x0, дх).
Для того чтобы фунrщия у = f(x) была дифференцируемой в точие
х0, необходимо и достаточно, чтобы существовала производная f'(x0);
при этом справедливо равенство .А = f' (x0 ) .
Это утверждение позволяет называть дифференцируемой всRиую фуницию, имеющую производную. Именно в таиом смысле мы и упо требляли это выражение в § 1.
Выражение для дифференциала имеет вид
dy(xo , dx) = !' (хо ) dx,
где принято обозначение dx = дх. Из формулы (1) следует, что если f' (x0) -:/::О., то при дх О приращение фуниции и ее дифференциал dy
в фи11сированной точие являютсп эививалентными бесионечно малыми, что позволRет записать приближенное равенство:
|
|
|
|
|
|
|
ду |
|
dy |
при |
|
l дxl « 1. |
|
|
(2) |
|||
|
|
П р и м е р |
|
1. Найти приближенно значение объема V шара радиуса |
||||||||||||||
r |
= 1,02 м. |
V( |
|
) |
= 4 |
|
, |
то, полагая r0 = 1, дr = 0,02 |
и используя |
|||||||||
<] |
Таи иан |
r |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
- J Гr |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
формулу (2), |
получаем3 : |
|
|
|
|
|
V'(l)= 347·Г + 47Г=. |
|
|
|
||||||||
|
|
+ |
дV(l, |
|
|
|
V(l) |
+ |
0,02 |
|
4,43 м3. 1> |
|||||||
V(l |
,02) = |
V(l) |
|
0,02) |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,02 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
§ 2. |
|
Дифференциал |
73 |
|||
Г е о м е т р и ч е с : к и й с м ы с л |
|
д и ф ф е р е н ц и а л а. Дифференциал |
||||||
dy(x0, дх) |
равен приращению ординаты :касательной ТТ' :к графи:ку |
|||||||
фун:кции у=f(х) в точ:ке |
Мо |
(хо , Уо ) |
у |
|
Т' |
|||
при приращении аргумента, равном |
|
|||||||
дх (рис. 5). |
|
|
|
|
|
|
||
6.274 . ИспользуR |
формулу |
|
|
|
||||
dy = у'dx |
и правила вычисле |
|
|
|
||||
ниR производных (см. |
§ 1, |
п. 1), |
|
|
|
|||
до:казать следующие свойства |
о |
|
|
|||||
дифференциала: |
- |
|
|
|
|
|
||
а) d(C) = О, где С |
посто- |
|
|
|||||
+ C6)2 dv; |
1u + C2v) = |
1 |
du + |
|
|
|||
RHHaR; |
|
|
|
|
|
|
||
d(C |
|
С |
|
|
d (-и:;;) |
Рис. 5 |
|
|
в) d(uv) = u dv + v du; |
|
г) |
v duv-2 u dv |
|
||||
6.275. Пусть z(x) = z(y(x) |
|
сложнаR фун:кциR, образованнаR |
||||||
:композицией фун:кций у '= у(х)) |
-и z = z(y). До:казать , что |
х |
||||||
dz(x, dx) = z (y) dy(x, dx),
т . е. выражение длR дифференциала сложной фующии через диф
ференциал промежуточного аргумента имеет та:кую же форму, что и основное определение dz(x, dx) = z (x) dx (это утверждение на
зываетсR инвариантностью формы 1-го дифференv,иаJtа).
6.276. До:казать , что длR линейной фун:кции у = ах + Ь прира щение ду и дифференциал dy совпадают.
6.277. Найти приращение ду и дифференциал dy фующии
у = х3, соответствующие значению аргумента хо = 2 и двум раз личным приращениRм аргумента (дх)1 = 0,1 и (дх)2 = 0,01.
6.278. Найти приращение ЛS и дифференциал dS площадих.
S :квадрата, соответствующие приращению дх стороны С по
мощью рисун:ка геометричес:ки истол:ковать ЛS, dS и разность
ЛS - dS.
6.279. МатериальнаR точ:ка М движетсR прRмолинейно по за
:кону s = f(t), где t - момент времени, а s - пройденный путь за |
|||
промежуто:к времени от О |
до t. |
Дать механичес:кое истол:кование |
|
дифференциала пути ds, |
соответствующего промежут1 у времени |
||
дt = t2 - t1 . |
|
|
|
6.280. ИспользуR результат предыдущей задачи и формулу |
|||
найти приближенно путь дs, пройденный точ:кой М за промежу(2), |
|||
то:к времени от |
t1 = 3 до |
t2 = |
4, если за:кон движениR точ:ки М |
задан формулой |
s = 1 + arctg t. |
Сопоставить ответ с точным зна |
|
чением дs. |
|
|
|
78 Гл. 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
6.323. Доказать , что если производная J' (x) тождественно рав
на нулю на интервале (а, Ь), то функция J (x) постоянна на этом интервале.
6.324. Доказать , что если J' (x) > О (J'(x) < О) на интервале
(а, Ь), то фушщия f (x) монотонно возрастает (монотонно убывает)
на этом интервале.
Фующин |
f(х) |
|
> О, |
|
удовлетворнет у с л о в и ю |
||
(а, Ь), если существует таное J( Е IR, J( |
|
||
Л и п ш и ц а на интервале |
|
что |
i |
длн любых х1, х2 Е (а, |
Ь) . |
sup J'(x) |
= М, |
то функция f(х) на |
||
6.325 |
. Доказать , что если |
|||||
|
|
|
а < х < Ь |
|
|
К, |
интервале (а, Ь) удовлетворяет условию Липшица с константой |
||||||
равной М . |
и <р(х) |
|
|
|
||
6.326 |
* . Пусть f х |
дважды диф ференцируемы на интер |
||||
вале (а, |
Ь). Доказать( ), |
что если J" (x) = |
<р11(х) |
на (а, Ь), то J (x) и |
||
<р(х)
6.
твиям
=
отличаются на линейное слагаемое.
327. Доказать , что если функция f (x)
теоремы Лагранжа на [а, Ь], то [f(Ь) - inf J' (x) .
удовлетворяет f(a)] :?: т(Ь - а
усло
), где
|
|
|
|
|
а : ( х : ( Ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 5х + 1 и g(x) = |
||||||||||||||
|
|
6.328. Записав формулу :Коши для J (x) = 2х3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= х |
2 |
+ 4 на отрезке [О, 2], |
найти значение · |
|
|
н е о п р е д е л е н н о с- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2. |
|
Правило Лшшталя-Бернулли. Р а с н р ы т и е |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
из способов |
0 |
|
00 |
|
|
|
|
|
|
х --+ |
а |
|
|
|
|
|
|
-0 |
и - |
<р(х) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
т е й |
|
|
т и п а |
|
- |
и |
- . |
Пусть при |
|
|
фуннции |
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
обе бесно- |
||||||||||||||||||
нечно малые или обе беснонечно большие. |
Тогда их отношение не опре |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
делено в точне х |
= а, |
и воэтом случае говорнт, |
что оно представлнет собой |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ю |
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
= а |
|
|
|||
неопределенность типа - или соответственно |
- |
. Однано это отношение |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
то• f(x) |
|
<р(хи) |
|
|
|
|
о |
|
|
|
И. |
Е л |
|
00 |
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
может иметь предел в точне |
х = а, нонечный или беснонечный. |
|
Нахо |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ждение этого предела называетсн раснрытием неопределенности. |
Одним |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ши |
|
|
|
и |
|
|
и |
.т |
--+ |
|
и |
|
|
и |
этом существует пр |
|
|
д |
|
л |
|
00 |
|
ш |
|
|
и.я |
' |
|
|||||||||||
ИХ ИМR. |
|
|
раснрытин неопределенностей типа |
|
|
о |
|
|
|
00 |
нвлнетсн пра- |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<fр'((хх)) |
||
вило Лопиталн- |
Бернулли, основанное на следующей теореме, носнщей |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ции |
Т е о р е м а. |
Пусть |
в некоторой окрестно сти |
И то'Чки |
|
|
|
|
|
функ |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
ки |
|
и |
|
|
дифференцируемы в с |
|
ду, |
кроме, |
может |
быть, |
|
само |
й |
||||||||||||||||||||||||||
ют |
|
|
|
|
|
хновременно= а, |
л <р'о(х) |
е-ск::/:о |
- |
|
|
|
|
|
|
|
f(x) |
|
|
<р(х) |
оль |
|||||||||||||||||||
|
|
с.я од |
|
|
|
|
|
|
иб |
б |
О |
не'Чно малыми, |
|
либо бесконе'Чно б |
- |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
м |
|
|
|
пр |
|
|
|
|
пр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
е |
|
|
отно |
|
|
ен |
|
|
|
|
|||||||