266 Глава 11 Теоретическое описание
Интегральные величины:
Электрический ток через заданную поверхность
I j nds ,
где n - единичный вектор нормали к поверхности.
Мощность тепловыделения в заданном объеме
WE jdV .
Вплоско-параллельной постановке интегральные характеристики вычисляются на единицу длины расчетной области в направлении оси z.
Область интегрирования задается в плоскости модели замкнутым или разомкнутым контуром, состоящим из отрезков и дуг окружностей.
Электрическое поле переменных токов
При анализе электрического поля переменных токов можно рассчитать электрическое поле, токи утечки и потери в проводниках и неидеальных диэлектриках в переменном электрическом поле.
Как и в задаче расчета магнитного поля переменных токов, изменение поля во времени предполагается синусоидальным. Все компоненты поля и электрического тока изменяются во времени как
z z0 cos( t z ) ,
где z0 — амплитудное (максимальное) значение z, z — фазовый угол, и — угловая частота.
Представление гармонически изменяющейся величины при помощи комплексного числа существенно облегчает анализ. Действительная и мнимая части комплексного числа
z = z0 ei( t + z),
сдвинуты по фазе на 90 градусов по отношению друг к другу, так что их линейная комбинация может представлять произвольный фазовый угол.
В зависимости от фазового сдвига между двумя осциллирующими компонентами вектора, вектор может вращаться по часовой стрелке или в противоположном направлении, либо колебаться вдоль некоторого направления. В общем случае конец вектора описывает эллипс. Главные полуоси эллипса соответствуют максимальным значениям векторной величины.
Электрическое поле переменных токов |
267 |
|
|
Отношение длин меньшей и большей полуосей определяет коэффициент поляризации вектора. Последний предполагается положительным при вращении вектора против часовой стрелки и отрицательным в противоположном случае. Нулевой коэффициент соответствует линейной поляризации вектора.
Формулировка задачи основана на уравнении Пуассона, описывающего электростатическое поле ( E = ), и уравнении растекания токов в проводящей среде ( j = -i γ) при учете закона Ома, j = γE. В результате уравнение для электрического потенциала U приобретает вид:
|
i |
|
|
|
|
|
|
U |
0 ; |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где электропроводность γ и компоненты тензора диэлектрической проницаемости z и y ( z и r) постоянны внутри каждого блока модели.
Источники поля
В задачах электрического поля переменных токов источниками поля могут быть сторонние токи или напряжения, приложенные к границам проводников. ELCUT дает возможность задать поверхностную плотность стороннего тока на ребре или линейный ток в отдельной вершине модели.
Плотность тока, заданная в конкретной точке плоскости xy, соответствует линейному проводнику с током, который перпендикулярен плоскости модели и характеризуется линейной плотностью тока. В осесимметричном случае вершина представляет кольцевой проводник вокруг оси симметрии или точечный проводник на оси симметрии. Чтобы охватить оба этих случая, точечный источник поля, заданный в вершине, всегда характеризуется полным током. Для кругового проводника полный ток связан с линейной плотностью тока соотношением I = 2 r .
Задание поверхностной плотности тока на рѐбрах в плоскости модели эквивалентно неоднородному граничному условию Неймана. Поверхностная плотность тока задается своей фазой и амплитудой.
Граничные условия
На внешних и внутренних границах расчетной области могут быть заданы следующие граничные условия.
Условие Дирихле задает известное значение электрического потенциала U0 на рѐбрах или в вершинах модели. Значение U0 на ребре может быть задано в виде функции от координат. Параметры задающей линейной функции могут
268 Глава 11 Теоретическое описание
варьироваться от ребра к ребру, но должны быть подобраны так, чтобы избежать разрывов функции U0 в точках соприкосновения границ.
Замечание. Чтобы задача была сформулирована корректно, необходимо задать условие Дирихле хотя бы в одной точке расчетной области. Если область представляет собой набор физически не связанных подобластей (компонент связности), то условие Дирихле должно быть задано хотя бы в одной точке каждой такой подобласти.
Условие Неймана имеет вид: |
|
|
jn = j |
на внешних границах, |
|
j |
+ - j - = j |
на внутренних границах, |
n |
n |
|
где jn – нормальная компонента плотности тока, индексы "+" и " " означают "слева от границы" и "справа от границы" соответственно, и j в правой части уранения – плотность внешнего тока. Если j равно нулю, граничное условие называется однородным. Этот вид граничного условия, в частности, описывает границу, являющуюся плоскостью симметрии модели. Однородное условие Неймана является естественным, оно устанавливается по умолчанию на всех тех сторонах, составляющих внешнюю границу, где явно не указано иное граничное условие.
При задании неоднородного условия Неймана на внешней границе, являющейся следом плоскости симметрии, истинную величину плотности тока следует разделить пополам.
Граничное условие равного потенциала задает поверхность изолированного проводника, обладающего существенно большей проводимостью, чем окружающие его тела. Это условие отличается от условия Дирихле тем, что значение потенциала на описываемой поверхности не известно заранее.
Ограничение. Не допускается соприкосновение поверхностей, носящих граничное условие Дирихле и условие равного потенциала. В этом случае последнее условие следует описать с помощью условия Дирихле.
Вычисляемые физические величины
При анализе результатов задачи электрического поля переменных токов ELCUT позволяет оперировать со следующими локальными и интегральными физическими величинами.
Электрическое поле переменных токов |
269 |
|
|
Локальные величины:
Комплексная амплитуда электрического потенциала U;
Комплексный вектор напряженности электрического поля E = gradU
Ex |
U |
, |
Ey |
U |
в плоском случае, |
|||||||
x |
y |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
E |
|
|
U |
|
, |
E |
U |
|
в осесимметричном случае; |
|||
z |
|
|
||||||||||
|
|
|
z |
|
r |
r |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Комплексный вектор
активной jactive γ E,
реактивной jreactive i E и
кажущейся japparent jactive + jreactive плотности тока;
Среднее и амплитудное значение
активной (Джоулевой) Qactive = jactive · E,
реактивной Qreactive = jreactive · E, и
кажущейся Qapparent = japparent · E удельной мощности;
Диэлектрическая проницаемость (наибольшая компонента в анизотропной среде);
Электропроводность γ (наибольшая компонента в анизотропной среде).
Интегральные величины:
Комплексная амплитуда тока (активная Iactive, реактивная Ireactive и кажущаяся I) через заданную поверхность I j nds ,
где n – вектор единичной нормали.
Среднее и максимальное значение активной Pactive, реактивной Preactive, и кажущейся P мощности в заданном объеме
P E jdV .
Среднее и максимальное значение электрической силы, действующей на тела, заключенные в заданном объеме
F 12 E n D D n E n E D ds ,
где интегрирование ведется по поверхности, ограничивающей объем, а n – вектор единичной внешней нормали.
Среднее и максимальное значение вращающего момента электрической силы, действующего на тела, заключенные в заданном объеме
T 12 r E n D r D n E r n E D ds ,