книги / Механика сплошных сред (теоретические основы обработки давлением композитных материалов с задачами и решениями, примерами и упражнениями)

П1. ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОГО И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ

2. Векторное произведение c =ijk a j bk ei в старом базисе имеет компоненты

c1 = 2 × 1 – 3 × 4 = –10; c2 = 3 × 2 – 1 × 1 = 5; c3 = 1 × 4 – 2 × 2 = 0

или

Проверка. Такие же компоненты вектора c в новых координатах можно получить другим путем, а именно – преобразованием для компонент этого вектора, используя полученную в начале решения матрицу косинусов:

471

ПРИЛОЖЕНИЕ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД)

3. Тензорное произведение заданных векторов в старом базисе имеет вид

в новом базисе

Проверка. Используя закон преобразования компонент тензора второго ранга в скалярной форме a′jm = α jk αmp akp или с учетом требований, предъявляемых к

матрицам сомножителям в тензорном виде a′j m = α jk akp ((amp ))т , такие же

компоненты тензора получим преобразованием предыдущей матрицы тензора (в старых координатах) после поворота координат с помощью матрицы ((αkj)) коси нусов. Для этого в (П 1.26), записанного для тензора второго ранга, сначала умно жим ((αkj)) на тензор Τa и получим промежуточный тензор

472

П1. ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОГО И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ

а затем умножим тензор Td на транспонированную матрицу косинусов:

что также позволит получить матрицу тензора Tc в новых координатах, как и в предыдущем случае, но другим способом.

Задача П1.5.2.5. По заданному тензору

1 −5 3

Τa = 7 4 8 11 6 2

найти скалярное типа р = 1 произведение его симметричной и альтернативной (кососимметричной, антисимметричной) частей.

Решение. Сначала находим транспонированный тензор

473

ПРИЛОЖЕНИЕ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД)

Далее определяем симметричную часть

Теперь искомое произведение можно найти по схеме Td = Tb cTc = [[bijcjk]]. Самостоятельно. Определить компоненты тензора Td .

Ответ:

Задача П1.5.2.6. Показать, что векторное произведение линейно зависимых

векторов a и b равно нулю.

Решение. Запишем условие линейной зависимости двух векторов:

λ1 a+ λ2 b = 0.

Отсюда следует колинеарность заданных векторов. Компоненты векторного

произведения c = a×b находим с помощью символа Т. Леви-Чивиты:

c1 = 1jkajbk = a2b3 – a3b2 = λ(b2b3 – b3b2) = 0;

c2 = 2jkajbk = a3b1 – a1b3 = λ(b3b1 – b1b3) = 0;

c3 = 13jkajbk = a1b2 – a2b1 = λ(b1b2 – b2b1) = 0.

474

П1. ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОГО И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ

Задача П1.5.2.7. Найти векторное произведение

Τc = Τa ×Τb

для тензоров второго ранга

Решение. Компоненты тензора Tc определяются с помощью символа Т. ЛевиЧивиты:

cik = ipm kjq apjbmq.

Первая компонента

c11 = 1pm 1jq apbmq = 123 123 a22b33+ 123 132 a23b32+

+ 132 123 a32b23 + 132 132 a33b22 = 1 – 12 – 2 + 4 = –9.

Самостоятельно. Определить остальные компоненты тензора Tc.

−9 18 −3

рическую Sa части.

Решение. Сферическая часть Sa = a0Tδ, где Tδ = [[δik]] – единичный тензор; среднее значение тензора Ta в трехмерном (N = 3) пространстве:

a0 = a3i i = 13 (2 + 9 + 1) = 4.

Отсюда, учитывая предыдущую формулу, сферическая часть тензора Ta

475

ПРИЛОЖЕНИЕ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД)

Решение. Процедура определения компонент тензора в главных координатах, называемая диагонализацией матрицы тензора, сводится к нахождению собственных значений его матрицы, т. е. к решению характеристического уравнения (П1.59) матрицы тензора.

Самостоятельно. Найти главные значения заданного тензора Ta.

Указание к решению: 1) если только одна из диагональных компонент заданного тензора «окружена» нулевыми боковыми компонентами с соответствующим диагональной компоненте индексом, то эта диагональная компонента является главной (λ1 = 3) и полное кубическое уравнение (П1.60) в общем случае преобразуется в квадратное уравнение; показать, что два других корня характеристического уравнения определяются соотношением

2) при распределении корней λi характеристического уравнения между главными значениями ai тензора Ta необходимо соблюдать неравенство (П1.63):

a1 ≥ a2 ≥ a3.

476

П1. ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОГО И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ

5 0 0

Ответ: Τa = 0 3 0 . 0 0 1

Проверка. Тензор второго ранга Ta имеет три инварианта aI, aII и aIII (1.3). До диагонализации:

В главных координатах:

aI = a1 + a2 + a3 = 5 + 3 + 1 = 9;

aII = a1 a2 + a2 a3 + a3 a1 =15 + 3 + 5 = 23;

aIII = a1 a2 a3 =15.

Инварианты совпадают, значит, задача решена правильно.

Задача П1.5.2.10. По условиям и результатам предыдущей задачи найти матрицу косинусов ((αkj)), соответствующую переходу от главных координат тензора второго ранга Ta к координатам, в которых задан этот тензор.

Решение. Из теоретического курса МСС известно, что оси главных координат тензора второго ранга совпадают с главными направлениями этого тензора. Вос-

пользуемся тензорной формой записи определения главного направления y :

Τa y = λ y

или в скалярной форме aikyk = λyi. В трехмерном пространстве относительно коэффициента λ отсюда получается характеристическое (в общем случае куби-

477

ПРИЛОЖЕНИЕ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД)

(рис. 117). Поэтому сначала необходимо привести в соответствие компоненты заданной и диагональной матриц одного и того же тензора:

Воспользуемся законом (П1.26) преобразования компонент тензора Ta от главных координат yk к произвольным ecj

a D2 a D2 a ; a D2 a D2 a ; a D D a D D2 a ,

11 11 1 11 3 33 31 1 33 3 13 11 31 1 13 33 3

где учтены равенство нулю боковых компонент матрицы косинусов, связанных с индексом 2, и симметрия заданного тензора (a31 = a13). С помощью угла ϑ поворота осей координат (рис. 117) такая матрица записывается в виде

с соответствующим изменением записи закона преобразования компонент тензора:

a11 = a1cos2ϑ + a3sin2ϑ; a33 = a1sin2ϑ + a3cos2ϑ; a13 = (a1 – a3)sinϑ cosϑ.

478

П1. ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОГО И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ

Воспользуемся известными тригонометрическими соотношениями

cos2γ = 12 (1+ cos2γ); sin2γ = 12 (1− cos2γ); sinγcosγ = 12 sin2γ.

Тогда

a11 = a1 +2a3 + a1−2a3 cos2γ; a33 = a1+2a3 − a1−2a3 cos2γ; a13 = a1−2a3 sin2γ.

Если теперь третье соотношение разделить на преобразованную разность первого и второго соотношений, то получим

После подстановки сюда значений компонент матрицы тензора в произволь-

ближенных значений αkj получаем окончательный ответ:

Проверка. Во-первых, полученная матрица косинусов должна удовлетворять свойствам (П1.20) и (П1.21).

Самостоятельно. Убедиться в выполнении всех свойств (П1.20) и (П1.21) полученной матрицы косинусов. При этом для точных значений cosγ и sinγ должно получиться точное выполнение свойств (П1.20) и (П1.21). Для приближенных значений компонент полученной матрицы косинусов при проверке неиз-

бежно получается ошибка вычисления. Например, α112 + α132 = 0,9996 ≈1.

Во-вторых, полученная матрица косинусов может быть использована для обратного (по отношению к исходному) преобразования компонент тензора от произвольных координат к главным. В этом случае закон (П1.27) для тензора второго ранга должен быть представлен в виде

479

ПРИЛОЖЕНИЕ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД)

akp = α jk αmp a′jm .

Поскольку вторая диагональная компонента в заданной матрице тензора являлась главной, то, естественно, при замене множества координат она не изменилась. Очевидно, проверку необходимо выполнить только для первой и третьей главных компонент заданного тензора:

a1 = α112 a11 + α11α31 a13 +α31α11 a31 +α312 a3 ;

a3 = α132 a11+ α13α33 a13 +α33α13 a31 +α332 a3 .

Самостоятельно. Подставить сюда значения полученной матрицы косинусов и получить значения главных компонент тензора. При этом для точных значений αjk должны получиться точные проверочные значения главных компонент ai: a1 = 5; a3 = 1. Для приближенных значений компонент полученной матрицы косинусов, как и при первой проверке, из-за приближенных значений матрицы косинусов неизбежно получается ошибка вычисления: a1 ≈ 4,939; a3 ≈ 1,058.

6 7 3

Задача П1.5.2.11. По заданному тензору Τa = 7 4 5 определить главные

3 5 2

компоненты и записать его в диагональном виде.

Решение. Главные компоненты находим из решения характеристического уравнения (П1.59) матрицы тензора, для составления которого найдем первый, второй и третий инварианты тензора:

aI = aii = 6 + 4 + 2 = 12;

aII = 12 (aI2 − aij a ji )= 12 (144 −36 − 49 −9 − 49 −16 − 25 −9 − 25 − 4)= − 39;

С помощью замены (П1.66) λ = ϕ+ 13 aI характеристическое уравнение (П1.60) приводится к неполному кубическому уравнению (П1.65)

480