книги / Механика сплошных сред (теоретические основы обработки давлением композитных материалов с задачами и решениями, примерами и упражнениями)

П3. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ КООРДИНАТНЫХ ФУНКЦИЙ

дальное векторное поле v = vi ei с непрерывными компонентами его градиента, удовлетворяющее следующим граничным условиям: в Ω1 компоненты вектора

скорости v1 = 0; v2 = V0, в Ω2 нормальная к поверхностям E1 = h2 и E1 = − h2 со-

ставляющая вектора равна нулю, в Ω3 компоненты вектора v1 = 0; v2 = Vf . Ранее отмечалось, что соленоидальное векторное поле (П3.25) удобно стро-

ить с помощью функции тока (П3.27). Область движения потока удовлетворительно описывается функцией тока

Действительно, в подобласти Ω1 имеем h = h0 и ψ = –V0Е1, что после дифференцирования по Е1 и Е2 по формулам (П3.27) обеспечивает выполнение граничных

рии (Е1 = 0) ψ = 0. Легко убедиться в том, что функция тока (П3.54) является непрерывной во всей области Ω и сохраняет постоянные значения на соответствующих линиях тока. Например, для верхней и нижней границ подобласти

также выполняются условия непрерывности функции тока (ψ = ψ+ при E1 = − h21

581

ПРИЛОЖЕНИЕ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД)

и ψ = ψ– при E1 = h21 ) и граничные условия для вектора v , так как после под-

становки последнего значения функции тока в (П3.54) получаем v1 = 0; v2 = Vf. По условию задачи текущая высота полосы h = h(Ek) в подобласти Ω2 на уча-

стке д (П3.53) должна обеспечивать конфигурацию верхней и нижней границ

в виде окружности радиуса R. Если уравнение окружности записать в эйлеровых координатах Ek:

где −д ≤ E2 ≤ 0 , то нетрудно убедиться в том, что непрерывная в Ω функция тока (П3.54) после подстановки ее в (П3.27) с учетом (П3.55) приводит к разрыву векторного поля v и к скачкообразному изменению компонент его градиента на уровнях E2 = −д и Е2 = 0.

Для склейки разрывного в Ω векторного поля воспользуемся методом переходных зон. Выделим в области Ωпять участков: I (E– ≤ Е2 ≤ Ен); II (Ен ≤ Е2 ≤ Ен1); III (Ен1 ≤ Е2 ≤ Еf1); IV (Еf1 ≤ Е2 ≤ Еf); V (Еf ≤ Е2 ≤ E+), где Ен = – д – δ1; Ен1 = – д + δ1; Еf1 = –δ2; Еf = δ2. Введем вспомогательное множество координат xk такое, чтобы на участках I, III, V оно совпадало с основным множеством координат

В переходных зонах II и IV протяженностью 2δ1 и 2δ2 соответственно координату х1 оставим без изменения, а координату х2 представим в виде склеивающей функции

по формулам (П3.27) с помощью (П3.51), учитывая (П3.56) и (П3.57), можно перейти к вычислению компонент вектора v

582

П3. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ КООРДИНАТНЫХ ФУНКЦИЙ

R2 − x22

В переходных зонах (участки II и IV)

На участках I и V имеем f = 0, а на участке III – f = 1.

По формуле (П1.78), используя (П3.58), найдем компоненты градиента

583

ПРИЛОЖЕНИЕ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД)

Упражнение П3.10. Показать, что вспомогательные координаты (П3.56), (П3.57) склеивают функцию тока (П3.54) на стыке участков I…V с четвертым порядком надежности

Отметим, что локальная замена координат в переходных зонах естественно приводит к некоторому изменению их границ, а значит, и к изменению всей области исследования. При решении задач МСС, в частности ОМД, метод пе! реходных зон становится эффективным, когда в первом приближении граница области исследования аппроксимируется непрерывной линией или поверхнос! тью с изломами, в которых появляются либо разрывы, либо особенности той или иной природы и того или иного порядка. Из практики известно, что в при! роде такие изломы обходятся потоками реальных материалов, и с этой точки зрения применение переходных зон в окрестности изломов является оправдан! ным. Добавим, что протяженность переходных зон (в рассмотренном приме! ре – величины 2δ1 и 2δ2) в вариационной постановке задачи при необходимос! ти можно рассматривать как варьируемые параметры.

Все вышеприведенные методы пока были связаны с локальной аппроксима! цией искомой функции в подобластях Ωj и склейкой этих аппроксимаций на границах подобластей одномерных или двухмерных областей исследования. Применение метода разделения переменных (П3.4) позволяет задачу о построе! нии одной функции в N!мерном пространстве свести к построению N функций в одномерных пространствах.

Другим способом построения функций в многомерном пространстве явля! ется метод конечных элементов (МКЭ). Суть его состоит в том, что область ис! следования Ω разбивается на «конечные элементы», т. е. на конечное количество подобластей Ωj без разрывов и пересечений, так, чтобы объединение подобластей Ωj образовывало Ω. С этой точки зрения все рассмотренные ранее методы ло! кальной аппроксимации относятся к МКЭ в одномерных областях. Для много! мерных пространств в качестве подобластей используют симплексы (многогран! ники), в вершинах которых вид локальных аппроксимаций определяется свя! зями, накладываемыми на искомую функцию.

Контрольные вопросы

1.Каким требованиям должны удовлетворять основное решение и его кор! ректировка?

2.В чем суть метода разделения переменных?

3.Как используются R!функции для построения корректирующих функций?

4.Какие комплексные функции называются аналитическими?

5.Что называется комплексным потенциалом?

584

П3. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ КООРДИНАТНЫХ ФУНКЦИЙ

6.Какие поля скоростей называются гармоническими?

7.Что такое функция тока, консервативная функция и в каком соотношении находятся эти функции для гармонических полей скоростей?

8.Что такое конформное отображение и как это отображение выполняется?

9.Перечислите свойства интеграла К. Шварца–Э. Кристоффеля. Что означает нормировка этого интеграла?

10.Какие гармонические течения называются простейшими?

11.Чему равен вектор скорости в точке бифуркации?

12.В чем суть метода суперпозиции гармонических течений?

13.Что такое порядок надежности склейки двух функций?

14.В чем суть метода конечных элементов?

585

РЕКОМЕНДАТЕЛЬНЫЙ БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Рекомендательный библиографический список

Аркулис Г. Э., Дорогобид В. Г. Теория пластичности. – М.: Металлургия, 1987. – 352 с.

Бабич В. К., Лукашкин Н. Д., Морозов А. С. и др. Основы металлургического производства. Учебник. – М.: Металлургия, 2000. – 240 с.

Бердичевский В. Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. – М.: Наука, 1983. – 448 с.

Богатов А. А., Мижирицкий О. И., Смирнов С. В. Ресурс пластичности при обработке давлением. – М.: Металлургия, 1984. – 144 с.

Бэкофен В. Процессы деформации. – М.: Металлургия, 1977. – 288 с.

Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1967. – 576 с.

Гольденблат И. И. Некоторые вопросы механики деформируемых сред. – М.: Гостехиздат, 1955. – 272 с.

Грин А. Е., Адкинс Дж. Большие упругие деформации – М.: Мир, 1965. – 456 с.

Гун Г. Я. Теоретические основы обработки металлов давлением. М.: Металлургия, 1980. – 456 с.

Жермен П. Курс механики сплошных сред. – М.: Высшая школа, 1983. – 399 с.

Ильюшин А. А. Механика сплошной среды. Изд. 2. – М.: МГУ, 1978. – 228 с.

Качанов Л. М. Основы теории пластичности. – М.: Наука, 1969 – 420 с.

Колмогоров В. Л. Механика обработки металлов давлением. – М.: Металлургия, 1986. – 688 с.

Коппенфельс В., Штальман Ф. Практика конформных отображений. – М.: ИЛ, 1963. – 406 с.

Кристенсен Р. Введение в механику композитов. – М.: Мир, 1982. – 334.

Кучеряев Б. В. Потапков Н. А. Механика сплошных сред. Раздел: Математические методы решения задач ОМД. – М.: МИСиС, 1992. – 164 с.

Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1965. – 716 с.

Ломакин В. А. Теория упругости неоднородных тел. – М.: МГУ, 1976. – 386 с.

Лурье А. И. Теория упругости. – М.: Наука, 1970. – 940 с.

Лыков А. В. Теория теплопроводности. – М.: Высшая школа, 1967. – 480 с.

Малинин Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. – М.: Машиностроение, 1968. – 400 с.

Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред. – М.: Мир, 1974. – 320 с.

Мусхелишвили Н. И. Курс аналитической геометрии. – М.: Высшая школа, 1967. – 656 с.

Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. – М.: Наука, 1966. – 708 с.

Победря Б. Е. Механика композиционных материалов. – М.: МГУ, 1984. – 336 с.

Прагер В. Введение в механику сплошных сред. – М.: ИЛ, 1963. – 311 с.

586

РЕКОМЕНДАТЕЛЬНЫЙ БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. – М.: Наука, 1979. – 744 с.

Рвачев В. Л. Методы алгебры логики в математической физике. – Киев: Наукова думка, 1974. – 258 с.

Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. 1, 2. – М.: Наука, 1976.

Степанский Л. Г. Расчеты процессов обработки металлов давлением. – М.: Машиностроение, 1977. – 424 с.

Стечкин С. Б., Субботин Ю. Н. Сплайны в вычислительной математике. – М.: Наука, 1976. – 248 с.

Томсен Э., Янг Ч., Кобаяши Ш. Механика пластических деформаций при обработке металлов. – М.: Машиностроение, 1969. – 503 с.

Фавар Ж. Курс локальной дифференциальной геометрии. – М.: ИЛ, 1969. – 559 с.

Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. – М.: Наука, 1965. – 424 с.

587

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Предметный указатель

588

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

589

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

590