книги / Механика сплошных сред (теоретические основы обработки давлением композитных материалов с задачами и решениями, примерами и упражнениями)

П3. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ КООРДИНАТНЫХ ФУНКЦИЙ

Тогда для фиксированного угла α при ϕ = const для действительной части w получим уравнение окружностей r = const, а при ψ = const для мнимой части w – уравнение пучка прямых k = const. Теперь, используя (П3.36) и (П3.15), вычислим комплексную скорость

координат в бесконечность и это соответствует источнику в начале координат, поток которого ограничен двумя лучами с углом παмежду ними. Если же Δψ < 0, то вектор скорости v направлен к началу координат и это соответствует стоку в начале координат, поток которого также ограничен двумя лучами с углом πα между ними. В частности, если α = 2, то с точностью до несущественной кон-

α

станты ln C1 комплексный потенциал (П3.36), соответствующий точечному источнику (стоку) в начале координат, будет иметь вид

Упражнение П3.5. Показать, что при вычислении комплексного потенциала (П3.10) в параметрическом виде (П3.34) с помощью интеграла К. Швар- ца–Э. Кристоффеля (П3.35) комплексную скорость (П3.15) можно представить в виде

571

ПРИЛОЖЕНИЕ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД)

а комплексную скорость деформации в виде

П3.1.5. Метод суперпозиции гармонических течений

Другим эффективным методом построения комплексного потенциала (П3.10) в заданной области является метод суперпозиции (линейного сложения) комплексных потенциалов простейших гармонических течений.

Простейшим течением типа m называется течение, комплексный потенциал которого представляется в виде

и т. д. Вообще, течение типа m > 2 называется мультиполем в точке z = z0. При m < 0 комплексный потенциал (П3.40) соответствует мультиполям, помещенным в точке z = ∞.

572

П3. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ КООРДИНАТНЫХ ФУНКЦИЙ

Суперпозиция известных течений успешно используется в гидро- и аэродинамике как метод построения новых течений. В основном тексте учебного пособия показано, что этот метод может быть применен для оценки кинематических параметров процессов ОМД. Рассмотрим суть этого метода.

В плоскости физического течения Z поместим j простейших течений типа m

(П3.40) с комплексными потенциалами wmj . В результате взаимодействия всех

таких течений в плоскости Z получим новое течение, комплексный потенциал которого представляется в виде линейной комбинации комплексных потенциа-

лов wmj :

где pmjk – k-е параметры суперпозируемых течений, а к повторяющимся индексам m и j применяется правило А. Эйнштейна. Применение линейного сложения простейших течений для построения новых течений покажем на примере

суперпозиции точечного источника (П3.37) или (П3.42) при C1 = Δψ2π ; z0 = 0 и

однородного потока (П3.41) при действительном положительном C0 = V∞. Комплексный потенциал

w = w1 + w0

нового течения имеет вид

w = Δψ2π ln z+V∞ z.

Разложим w на действительную ϕи мнимую ψчасти (П3.11). Тогда соответственно получим консервативную функцию

ϕ = Δψ4π ln (x12 + x22 )+V∞ x1

и функцию тока

ψ = Δψ arctg x2 +V∞ x2 . 2π x1

573

ПРИЛОЖЕНИЕ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД)

Далее находим комплексную скорость (П3.15)

w′ = Δψ2π 1z +V∞

или, учитывая (П3.39), определяем компоненты вектора скорости

Отсюда видно, что при z = ± ∞ скорость совпадает со скоростью однородного потока V∞. Исходя из природы суперпозируемых течений, можно предположить, что на действительной оси x1 существует точка, в которой скорость v равна нулю. На этой оси (x2 = 0) вторая компонента вектора v v2 = 0. Приравнивая первую компоненту вектора к нулю при мнимом аффиксе x2 = 0

ходит разложение одной линии тока на несколько линий с одним и тем же уровнем ψ = 0. Такая особая точка называется точкой бифуркации. В области ОМД примером такой точки может быть точка встречи прокатываемого металла с валками при плоской деформации.

В рассматриваемом примере линия тока, ограничивающая поток источника асимптотически при x1 → ∞, стремится к линиям x2 = а. Значение величины а найдем подстановкой уровня ψ = 0 в формулу для вычисления функции тока

0 = Δψ2π arctg x∞2 +V∞ x2 .

Отсюда получаем три решения: x2 = 0 – линия, совпадающая с осью x1; x2 = ± а,

можно интерпретировать как линию раздела потока однородного течения и по-

574

П3. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ КООРДИНАТНЫХ ФУНКЦИЙ

тока источника. Действительно, поскольку при x1 = ∞ компоненты вектора скорости v1 = V∞; v2 = 0, то поток среды, заключенный между асимптотами x2 = ± а, равен Q = 2aV∞. Подставляя сюда значение а, получим Q = Δψ.

Таким образом, с помощью суперпозиции двух простейших гармонических течений w = w1 + w0 выполнен анализ обтекания точечного источника в начале координат однородным потоком.

Упражнение П3.6. Используя представление синуса комплексного аргумента в виде бесконечного произведения (П3.23), показать, что суперпозиция источ-

ника (П3.42) при C1 = Δψ2π > 0 (стока при Δψ < 0), помещенного в начало коор-

динат (z0 = 0) с такими же источниками (стоками), находящимися на действительной оси x1 на расстоянии z0 = ± 2kH (k = 1, …, ∞) от первого, с точностью до несущественной константы приводит к комплексному потенциалу

При моделировании процессов ОМД для построения основного поля скоростей применяется суперпозиция простейших течений типа (П3.42), (П3.43) и т. п. с однородным потоком (П3.41). Обозначим область mj-го суперпозирован-

ного течения через Amj . Каждое такое течение будем называть элементом мно-

жества течений A Amj , занимающим всю плоскость Z. Пусть поток однород-

ного течения (m = 0) после суперпозиции занимает область B = А0. Тогда множество течений, входящих в область A, можно разложить на два подмножества В А и C A, где C = A\В. Течение в области B будет однородным, если C представляет собой пустое множество. В противном случае течения в области C будут источниками возмущения однородного течения в области В. Очевидно, течение в B будет определяться качеством m и количеством N источников возмущения, их интенсивностью и расположением, характеризуемыми параметрами

pmjk в С.

Воспользуемся принципом отвердения линии тока и выделим подобласть D B, ограниченную материализованными линиями тока ψ+ и ψ–. Тогда можно поставить две задачи: 1) изменяя параметры pmjk в области А, определить мероморфную

функцию w, голоморфную в замкнутой области D = D ψs (ψs = ψ+ ψ− ) и при-

нимающую на ψs заданное значение S; 2) с помощью параметров pmjk и некоторых других параметров, определяющих свойства движущейся α-среды, определить ки-

575

ПРИЛОЖЕНИЕ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД)

нематические параметры в области D , где w голоморфна, наилучшим образом обеспечивающие решение краевой задачи МСС.

Первая задача сводится к задаче о наилучшем приближении ψs к S, которое может быть определено методом наименьшего квадратичного отклонения ψs от S:

где J = || ψS – S ||. Параметры pmjk находятся из решения замкнутого множества

В частности, S может быть назначена так, что она будет соответствовать геометрической границе (если таковая известна) очага деформации одного из процессов ОМД (прессование, волочение, прокатка, прошивка, ковка и т. п.). Однако аппроксимация границы методом суперпозиции (или другим методом ТФКП) является, как правило, только первым этапом решения задачи о движении среды со сложными реологическими свойствами. На этом этапе строится лишь гармоническое поле скоростей (основное решение), которое затем требуется скорректировать в соответствии со свойствами движущейся среды и граничными условиями на S. При этом корректировка основного решения должна быть выполнена так, чтобы граница ψs оставалась неизменной после уточнения (П3.46).

Для решения второй задачи необходимо на основном решении с параметрами pmjk построить корректировку с дополнительными параметрами, которая позволит получить наилучшее, в том или ином смысле, приближение к точному решению краевой задачи.

П3.2. Склейка локальных аппроксимаций

Отсутствие общих методов построения основных решений для областей произвольной конфигурации часто затрудняет применение глобальной аппроксимации искомой функции. Другим методом построения непрерывных в рассматриваемой области необходимых функций является метод склейки локальных аппроксимаций. Метод связан с разбиением области исследования Ω на конечное количество подобластей Ωj Ω, в которых непрерывные в Ωj подходящие функции склеиваются тем или иным способом на границе соседних подобластей. Разбиение области Ω на подобласти Ωj также используется в так называе-

576

П3. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ КООРДИНАТНЫХ ФУНКЦИЙ

мых сеточных методах, когда искомая функция определяется лишь в отдельных точках на границах Ωj и Ωk, что приводит к дискретизации всей области исследования Ω. Однако в отличие от последних реализация метода склейки позволяет вычислить значения искомой функции не только в отдельных узлах на стыке соседних подобластей Ωj, но и в любой точке внутри области исследования, как и при реализации методов глобальной аппроксимации.

Суть всех вариантов метода склейки состоит в том, что в соседних подобластях Ωj индивидуально строятся функции Yj так, чтобы на границе Ωj и Ωk (j ≠ k) сами функции Yj и Yk, а при необходимости и их производные требуемого порядка, принимали соответствующие одинаковые значения.

Порядком надежности склейки двух функций Yj и Yk в точке m стыка S областей Ωj и Ωk называют наивысший порядок n производных этих функций по их аргументам, для которых справедливо равенство

Один из вариантов метода склейки предполагает применение так называемых сплайн функций, когда в каждой подобласти Ωj функция Yj представляется в виде полинома k-го порядка. В зависимости от значения этого порядка сплайны бывают линейные (k = 1), квадратичные (k = 2), кубические (k = 3) и т. д.

В качестве примера применения сплайн-функций рассмотрим решение задачи об определении экстремалей функционала

при граничных условиях Y(1) = Y(–1) = 0.

Разобьем область Ω изменения аргумента –1 ≤ х ≤ 1 сначала на две подобла-

сти Ω1: х0 ≤ х ≤ х1 и Ω2: х1 ≤ х ≤ х2 (х0 = –1; х1 = 0; х2 = 1). В каждой подобласти Ωj искомую функцию представим линейным сплайном

Легко показать, что граничные условия выполняются для Ω1 (j = 1) при

a01 = a11 и для Ω2 (j = 2) при a02 = –a12, а условия склейки нулевого порядка надежности в точке х = 0 – при a01 = a02. Таким образом, из четырех коэффици-

ентов ajk в (П3.48) неизвестным остается только один, например а = a01. Учитывая, что этот коэффициент не зависит от аргумента х, подходящие с точки зрения выполнения граничных условий и условий склейки функции Y1 и Y2 (П3.49) можно рассматривать как координатные функции для решения исходной вариационной задачи прямым методом В. Ритца (П2.72)–(П2.74).

577

ПРИЛОЖЕНИЕ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД)

Упражнение П3.7. С учетом пределов интегрирования в Ωj функций

Y1 = а(1 + х); Y2 = а(1 – х) и значений их первых производных Y1′= Y2′ = a показать, что функционал (П3.48) принимает вид

J(a) = 2Ca2 + a,

а после применения метода В. Ритца неизвестная константа и функционал при-

нимают значения a = − 41C и J = −81C .

Упражнение П3.8. Для функционала (П3.48) показать, что точное решение

которого inf J = − 61C

Отметим, что, как и следовало ожидать, точное решение и его линейная аппроксимация дают одинаковые значения в граничных точках х = –1; х = 1 области Ω и в точке х = 0 склейки линейных сплайнов (П3.49).

Теперь разобьем область Ω изменения аргумента искомой функции на четыре подобласти Ω1: х0 ≤ х ≤ х1; Ω2: х1 ≤ х ≤ х2; Ω3: х0 ≤ х ≤ х1 и Ω4: х1 ≤ х ≤ х2 (х0 = –1;

x1 = − 12 ; х2 = 0; х3 = x3 = 12 ; х4 = 1), в каждой из которых, как и в первом случае,

аппроксимируем Y линейным сплайном (П3.49). Из граничных условий и условий склейки сплайнов на стыках подобластей находим подходящие виды функ-

ций: Y1 = а01(1 + х); Y2 = 0,5(а01 + а12) + а12х; Y3 = 0,5(а01 + а12) + (а04 – а01 – а12)х; Y4 = а04(1 – х). Подстановка этих функций и их производных интегрирования в

функционал (П3.48) после интегрирования по соответствующим пределам приводит к функции

578

П3. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ КООРДИНАТНЫХ ФУНКЦИЙ

Отметим, что процедура увеличения количества подобластей привела к повышению точности вычисления экстремума функционала, характеризуемой, например, величиной

Так, для двух подобластей величина (П3.50) составляет 25 %, а для четырех – 6,26 %. Дальнейшее увеличение количества подобластей с использованием линейных сплайнов (П3.49) приведет к повышению точности решаемой задачи. В общем случае к такому же эффекту может привести повышение порядка полиномов сплайн-функций.

Упражнение П3.9. Показать, что аппроксимация экстремали функционала (П3.49) квадратичным сплайном

Yj = a0j + a1jx + a2jx2

приведет при любом количестве подобластей к точному решению задачи о поиске экстремума функционала (П3.48)

В самом широком понимании теория сплайнов по С. Б. Стечкину–А. М. Си ротину – это теория кусочно-полиномиальных приближений искомой функции. Само же слово сплайн связано с понятием гибкой линейки из дерева, стали или пластика (по-английски spline – линейка), используемой обычно в чертежных работах при проведении непрерывной линии через множество дискретно заданных точек. Если такую линейку представить функцией s(x), то при небольших искривлениях вторая производная s′′приблизительно равна кривизне функции s, а ds можно заменить на dx. В теории балок доказывается, что форме искривления линейки соответствует минимум потенциальной энергии, которая при допущении о слабом искривлении представляется функционалом

a

Отсюда с помощью уравнения Л. Эйлера–С. Пуассона (П2.56) находим s′′′′ = 0 или

В отличие от классической вариационной задачи, когда для подынтегрального выражения функционала, содержащего n-го порядка производную опре-

579

ПРИЛОЖЕНИЕ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД)

деляющей функции, задаются граничные условия для всех порядков производных от 0 до n – 1, в теории кубических сплайнов (П3.52) такие условия в естественном виде заданы лишь для самой функции s. Поэтому в виде (П3.52) из четырех констант интегрирования Ck любые две остаются свободными. И так же, как в чертежных работах, можно потратить их либо на проведение сплайна (П3.52) через две другие точки в области Ω (a ≤ x ≤ b), либо на выполнение заданных условий, если таковые имеются, для s′(x) в Ω. Обычно тактика использования полиномиального сплайна определяется стратегией решаемой задачи. Например, в рассмотренной выше задаче о поиске экстремалей функционала (П3.48) наибольшая часть коэффициентов была потрачена на склейку нулевого порядка надежности линейных сплайнов.

Естественно, что кусочно-полиномиальная аппроксимация не является единственным способом локального описания искомой функции. Для этого так же успешно можно применять ряды, отличные от полиномиальных.

До сих пор рассматривали склейку локальных аппроксимаций с помощью некоторых коэффициентов, определяющих вид самих аппроксимирующих функций. Теперь рассмотрим метод склейки, основанный на локальном изменении множества координат. Обычно этот метод эффективен, когда в области исследования Ω построена функция Y, непрерывная в Ω, но ее некоторые производные по координатам, которые по тем или иным причинам должны быть непрерывными, имеют на стыке подобластей Ωj и Ωk (Ωp Ω) разрывы. В таких случаях вдоль всей границы, разделяющей Ωj и Ωk, удобно ввести переходную зону Ωm с заменой множества координат в ней, обеспечивающую непрерывность производных функции требуемого порядка. Такой метод склейки назовем методом переходных зон. Более подробно поясним этот метод на конкретном примере.

Пусть в некотором декартовом множестве координат Е1 и Е2 в области Ω1 (–∞ ≤ E2 ≤ E–), представляющей собой прямолинейную полосу высотой h0

жется однородный поток. В области Ω2 (E– ≤ Е2 ≤ E+) происходит изменение текущей высоты полосы h от h0 до h1, симметрично относительно оси Е1 на участке длиной

где h = h0 – h1, по закону, описываемому окружностью радиуса R. В области Ω3 (E+ ≤ Е2 ≤ +∞) поток опять участвует в поступательном движении в прямоли-

580