П1. ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОГО И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ
Б.Какие численные значения принимает символ Л. Кронекера и при каких условиях?
7 |
0 |
−2 |
|
В. По заданному вектору a = 3 −1 1 и тензору Τb = 0 |
3 |
0 |
вычис- |
−2 |
0 |
7 |
|
лить: значение c = Τb a ; скалярное произведение a и c ; векторное произведение c и a ; тензорное произведение a и c .
Г. Записать матрицу тензора Тb из п. B в главных координатах.
Д.По векторному полю v с компонентами v1 = x13 + x23 ; v2 = x12 x2 в точке с
координатами x1 = 1; x2 = 2 найти один из единичных векторов n , направленный по касательной к изолинии скалярного поля ϕ = v .
Е. Расписать в скалярной форме ( ×u ) .
Вариант 9 А. Какие действия выполняются над векторами?
Б.Как записывается обобщение формулы М.В. Остроградского–К. Гаусса для тензоров произвольного ранга?
5 |
0 |
2 |
|
В. По заданному вектору a = 2 1 4 и тензору Τb = 0 |
5 |
0 |
вычислить: |
2 |
0 |
5 |
|
значение c = a Τb ; скалярное произведение a и c ; векторное произведение a и c ; тензорное произведение c и a .
Г. Записать матрицу тензора Тb из п. B в главных координатах.
Д.По скалярному полю ϕ = x12 x2−3 в точке с координатами x1 = 2; x2 = –1 найти один из единичных векторов n , ортогональный вектору v = ϕ.
Е. Расписать в скалярной форме ( ×u ) .
Вариант 10
А.Как выполняется операция транспонирования матрицы тензора второго ранга?
ПРИЛОЖЕНИЕ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД)
Б.В каком случае геометрической интерпретацией симметричного тензора второго ранга является эллипсоид вращения?
7 |
5 |
0 |
|
В. По заданному вектору a = 3 1 3 и тензору Τb = 5 |
7 |
0 |
вычислить: |
0 |
0 |
1 |
|
значение c = Τb a ; скалярное произведение a и c ; векторное произведение c и a ; тензорное произведение a и c .
Г. Записать матрицу тензора Тb из п. B в главных координатах.
Д. По векторному полю v с компонентами v1 = x1 x2 x32 ; v2 = x1 x22 x3 в точке с координатами x1 = 2; x2 = 1; x3 = –3 найти один из единичных векторов n , ортогональный вектору u = v .
Е. Расписать в скалярной форме 2 u .
Вариант 11 А. Как находится альтернативная часть тензора второго ранга?
Б.Что является геометрическим аналогом тензора второго ранга, если его разные по значению главные компоненты ak > 0?
7 |
0 |
0 |
|
В. По заданному вектору a = 3 3 −2 и тензору Τb = 0 |
9 |
5 |
вычис- |
0 |
5 |
9 |
|
лить: значение c = a Τb ; скалярное произведение a и c ; векторное произведение a и c ; тензорное произведение c и a .
Г. Записать матрицу тензора Тb из п. B в главных координатах.
Д. По тензорному полю Τ |
|
x x3 |
x x |
2 в точке с координатами x = –2; |
a |
= 1 |
2 |
1 |
|
x x |
x3 x |
1 |
|
|
2 |
|
|
1 |
2 |
1 |
x2 = 4 найти один из единичных векторов n , ортогональный вектору
u= Τa .
Е.Расписать в скалярной форме ( Τa )× .
П1. ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОГО И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ
Вариант 12
n
А. В каком случае частная и полная производные тензора Τa (xi , t ) по времени t совпадают?
Б. Как разложить тензор второго ранга на девиатор и сферическую часть?
−1 |
5 |
0 |
|
В. По заданному вектору a = −4 1 −3 и тензору Τb = 5 |
−1 |
0 |
вы- |
0 |
0 |
6 |
|
числить: значение c = Τb a ; скалярное произведение a и c ; векторное произведение c и a ; тензорное произведение a и c .
Г. Записать матрицу тензора Тb из п. B в главных координатах.
Д.По векторному полю v с компонентами v1 = x1 x2−3 ; v2 = x14 − 0,25 x24 в точ-
ке с координатами x1 = 1; x2 = –2 найти один из единичных векторов n , направленный по касательной к изолинии скалярного поля ϕ = v .
Е. Расписать в скалярной форме 2 u .
Вариант 13 А. Как вычисляется среднее значение тензора второго ранга?
Б.Как вычисляется полная производная от интегральной тензорной величины?
−7 0 0
В. По заданному вектору a = 
−2 −1 5
и тензору Τb = 0 2 5 вы-
0 5 2
числить: значение c = a Τb ; скалярное произведение a и c ; векторное произведение a и c ; тензорное произведение c и a .
Г. Записать матрицу тензора Тb из п. B в главных координатах.
Д.По скалярному полю ϕ = x1−3 x23 в точке с координатами x1 = –2; x2 = 4 найти единичный вектор n , совпадающий по направлению с вектором
v= ϕ.
Е. Расписать в скалярной форме (u ) .
ПРИЛОЖЕНИЕ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД)
Вариант 14 А. Какие значения и при каких условиях принимает символ Т. Леви-Чивиты?
Б. Какие тензорные поля называются стационарными?
−3 |
0 |
5 |
|
В. По заданному вектору a = −2 4 1 и тензору Τb = 0 |
8 |
0 |
вычис- |
5 |
0 |
−3 |
|
лить: значение c = Τb a ; скалярное произведение a и c ; векторное произведение c и a ; тензорное произведение a и c .
Г. Записать матрицу тензора Тb из п. B в главных координатах.
Д.По векторному полю v с компонентами v1 = x14 x22 ; v2 = x12 x25 в точке с координатами x1 = –1; x2 = –2 найти единичный вектор n , совпадающий по направлению с вектором u = 2 v .
Е. Расписать в скалярной форме ψ .
Вариант 15 А. Что называется тензорным полем?
Б. Как определяется сферическая часть тензора?
7 |
0 |
1 |
|
В. По заданному вектору a = 1 −2 5 и тензору Τb = 0 |
−2 |
0 |
вычис- |
1 |
0 |
7 |
|
лить: значение c = Τb a ; скалярное произведение a и c ; векторное произведение c и a ; тензорное произведение a и c .
Г. Записать матрицу тензора Тb из п. B в главных координатах.
Д.По векторному полю v с компонентами v1 = x12 x22 ; v2 = x12 x2 в точке с
координатами x1 = 1; x2 = 2 найти один из единичных векторов n , направленный по касательной к вектору u = 2 v .
Е. Расписать в скалярной форме ( ×u )× .
Вариант 16 А. Что называется окрестностью и малой окрестностью точки?
П1. ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОГО И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ
Б. Как записывается условие некомпланарности ортов?
3 |
0 |
5 |
|
В. По заданному вектору a = 4 1 −2 и тензору Τb = 0 |
10 |
0 |
вычис- |
5 |
0 |
3 |
|
лить: значение c = a Τb ; скалярное произведение a и c ; векторное произведение a и c ; тензорное произведение c и a .
Г. Записать матрицу тензора Тb из п. B в главных координатах.
Д.По скалярному полю ϕ = x13 x23 в точке с координатами x1 = –1; x2 = –2 найти один из единичных векторов n , ортогональный вектору v = ϕ.
Е. Расписать в скалярной форме ( ×u ) .
Вариант 17 А. Какие сплошные среды называются гетерогенными?
Б.Как образуется дифференциальный оператор У. Р. Гамильтона (набла) произвольного ранга n?
2 |
3 |
0 |
|
В. По заданному вектору a = −3 2 1 и тензору Τb = 3 |
2 |
0 |
вычис- |
0 |
0 |
8 |
|
лить: значение c = Τb a ; скалярное произведение a и c ; векторное произведение c и a ; тензорное произведение a и c .
Г. Записать матрицу тензора Тb из п. В в главных координатах.
Д. По векторному полю v с компонентами v1 = x12 x2 x3 ; v2 = x1 x22 x3 в точке с координатами x1 = –1; x2 = 2; x3 = 3 найти один из единичных векторов n , ортогональный вектору u = 2 v .
Е. Расписать в скалярной форме ( ×u ) .
Вариант 18
А.Как выполняется векторное произведение двух тензоров одинакового ранга n?
ПРИЛОЖЕНИЕ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД)
Б.Как записывается закон преобразования компонент тензора второго ранга при повороте координат?
4 |
0 |
0 |
|
В. По заданному вектору a = −4 3 1 и тензору Τb = 0 |
5 |
3 |
вычис- |
0 |
3 |
5 |
|
лить: значение c = a Τb ; скалярное произведение a и c ; векторное произведение a и c ; тензорное произведение c и a .
Г. Записать матрицу тензора Тb из п. B в главных координатах.
Д. По тензорному полю Τ |
|
= |
x |
|
x2 |
x x |
|
a |
|
2 |
1 |
1 |
2 в точке с координатами x = –2; |
|
|
x x |
x2 |
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
2 |
1 |
|
x2 = 4 найти один из единичных векторов n , ортогональный вектору
u= Τa .
Е.Расписать в скалярной форме 2 ( u ) .
Вариант 19 А. Как записывается условие ортогональности ортов?
Б. Почему главные направления тензора Тa и его девиатора Da совпадают?
−1 |
4 |
0 |
|
В. По заданному вектору a = 6 1 −2 и тензору Τb = 4 |
−1 |
0 |
вычис- |
0 |
0 |
5 |
|
лить: значение c = Τb a ; скалярное произведение a и c ; векторное произведение c и a ; тензорное произведение a и c .
Г. Записать матрицу тензора Тb из п. B в главных координатах.
Д.По векторному полю v с компонентами v1 = x14 x23 ; v2 = x1 x25 в точке с ко-
ординатами x1 = 3; x2 = –2 найти единичный вектор n , совпадающий с направлением вектора u = 2 v .
Е. Расписать в скалярной форме 2 ×(u ) .
П1. ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОГО И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ
Вариант 20
n
А. Как вычисляется полная производная тензора Τa (xi , t ) по времени t в
случае, когда аргументы xi = xi(t)?
Б. Что называется главным направлением тензора?
4 |
0 |
0 |
|
В. По заданному вектору a = −2 7 1 и тензору Τb = 0 |
−8 |
3 |
вычис- |
0 |
3 |
−8 |
|
лить: значение c = a Τb ; скалярное произведение a и c ; векторное произведение a и c ; тензорное произведение c и a .
Г. Записать матрицу тензора Тb из п. B в главных координатах.
Д.По скалярному полю ϕ = x14 − x23 в точке с координатами x1 = –1; x2 = –2 найти единичный вектор n , совпадающий по направлению с вектором
v= ϕ.
Е. Расписать в скалярной форме (u ) .
Вариант 21 А. Какой вид имеет матрица тензора в главных координатах?
Б. Как записывается условие симметрии для симметричного тензора Тa?
6 |
0 |
−3 |
|
В. По заданному вектору a = −3 3 1 и тензору Τb = 0 |
3 |
0 |
вычис- |
−3 |
0 |
6 |
|
лить: значение c = Τb a ; скалярное произведение a и c ; векторное произведение c и a ; тензорное произведение a и c .
Г. Записать матрицу тензора Тb из п. B в главных координатах.
Д.По векторному полю v с компонентами v1 = x14 x23 ; v2 = x12 x25 в точке с
координатами x1 = –1; x2 = –2 найти единичный вектор n , совпадающий по направлению с вектором u = ( v ) .
Е. Расписать в скалярной форме 3 u .
ПРИЛОЖЕНИЕ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД)
Вариант 22 А. Как записывается условие асимметрии альтернативного тензора?
Б. Как получается дифференциальный оператор П. С. Лапласа?
−1 |
0 |
5 |
|
В. По заданному вектору a = 3 −1 4 и тензору Τb = 0 |
3 |
0 |
вычис- |
5 |
0 |
−1 |
|
лить: значение c = Τb a ; скалярное произведение a и c ; векторное произведение c и a ; тензорное произведение a и c .
Г.Записать матрицу тензора Тb из п. В после поворота координат на угол 60о вокруг оси x2.
Д.По векторному полю v с компонентами v1 = x1−1 x22 ; v2 = x22 в точке с ко-
ординатами x1 = 1; x2 = –2 найти один из единичных векторов n , направленный по касательной к изолинии скалярного поля ϕ = v .
Е. Расписать в скалярной форме 2 ×(u ) .
Вариант 23 А. Как получается бигармонический оператор?
Б. Как раскрывается определитель | ajk | c помощью символа Т. Леви-Чивиты?
8 |
0 |
−3 |
|
В. По заданному вектору a = 2 5 −6 и тензору Τb = 0 |
7 |
0 |
вы- |
−3 |
0 |
8 |
|
числить: значение c = a Τb ; скалярное произведение a и c ; векторное произведение a и c ; тензорное произведение c и a .
Г.Записать матрицу тензора Тb из п. В после поворота координат на угол 30о вокруг оси x2.
Д.По скалярному полю ϕ = x1−2 x2−1 в точке с координатами x1 = 2; x2 = –3 найти один из единичных векторов n , ортогональный вектору v = ϕ.
Е. Расписать в скалярной форме ( Τa ) .
П1. ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОГО И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ
Вариант 24
А.Как вычисляется производная порядка n от тензора ранга m по векторному аргументу?
Б. Чему равен первый инвариант девиатора?
9 |
2 |
0 |
|
В. По заданному вектору a = 3 −2 2 и тензору Τb = 2 |
9 |
0 |
вычис- |
0 |
0 |
3 |
|
лить: значение c = Τb a ; скалярное произведение a и c ; векторное произведение c и a ; тензорное произведение a и c .
Г.Записать матрицу тензора Тb из п. В после поворота координат на угол 60о вокруг оси x3.
Д.По векторному полю v с компонентами v1 = x1 x2−2 x3 ; v2 = x1−2 x2 x3 в точ-
ке с координатами x1 = 2; x2 = –1; x3 = 3 найти один из единичных векторов n , ортогональный вектору u = v .
Е. Расписать в скалярной форме ( ϕ ψ) .
Вариант 25
А.Как записывается уравнение центральной поверхности второго порядка в произвольных координатах?
Б.Как в одном соотношении записываются условия нормированности, ортогональности и некомпланарности трех ортов?
−1 |
0 |
0 |
|
В. По заданному вектору a = −3 3 −3 и тензору Τb = 0 |
3 |
5 |
вычис- |
0 |
5 |
3 |
|
лить: значение c = a Τb ; скалярное произведение a и c ; векторное произведение a и c ; тензорное произведение c и a .
Г.Записать матрицу тензора Тb из п. В после поворота координат на угол 60o вокруг оси x1.
Д. По тензорному полю Τ |
|
x x2 |
x x |
|
a |
= 1 |
2 |
1 |
2 в точке с координатами x = –1; |
|
x x |
x2 |
x |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
ПРИЛОЖЕНИЕ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД)
x2 = 3 найти один из единичных векторов n , ортогональный вектору
u= 3 Τa .
Е.Расписать в скалярной форме ( u ) .
Вариант 26 А. Каким условиям должны удовлетворять перемножаемые матрицы?
Б.Почему величины aI, aII, aIII тензора Тa = [[aik]] называются инвариантами тензора?
7 |
−1 |
0 |
|
В. По заданному вектору a = −1 7 −3 и тензору Τb = −1 |
7 |
0 |
вы- |
0 |
0 |
7 |
|
числить: значение c = Τb a ; скалярное произведение a и c ; векторное произведение c и a ; тензорное произведение a и c .
Г.Записать матрицу тензора Тb из п. В после поворота координат на угол 30о вокруг оси x3.
Д.По векторному полю v с компонентами v1 = x1 x23 ; v2 = x14 + 2 x24 в точке с
координатами x1 = –1; x2 = –2 найти один из единичных векторов n , направленный по касательной к изолинии скалярного поля ϕ = 2 ( v ) .
Е. Расписать в скалярной форме ( 2 ×Τa ) .
Вариант 27 А. Как вычисляется объем Ω непрямоугольного параллелепипеда, постро-
енного на трех некомпланарных векторах a , b и c ?
Б.Как записывается уравнение центральной поверхности в каноническом виде?
2 |
0 |
0 |
|
В. По заданному вектору a = −2 −1 8 и тензору Τb = 0 |
−1 |
8 |
вы- |
0 |
8 |
−1 |
|
числить: значение c = a Τb ; скалярное произведение a и c ; векторное произведение a и c ; тензорное произведение c и a .
