книги / Механика сплошных сред (теоретические основы обработки давлением композитных материалов с задачами и решениями, примерами и упражнениями)

3.2. ПРИМЕНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ КВ ПОЛЕЙ СКОРОСТЕЙ

Используя этот результат и пренебрегая бесконечно малыми величинами, из (5.95) получаем

Второму обходу по Cr в плоскости Z (рис. 99) соответствует переход с луча A2A1 на луч A1A4, и приращение

где 0(r) – бесконечно малая величина порядка r. Для этого же обхода в плоско-

Используя этот результат и пренебрегая бесконечно малыми величинами, из (3.2.16) получаем

aα = πhc1 = Hh e−i απ .

Отсюда

401

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ОМД МЕТОДАМИ МСС

Окончательно интеграл (3.2.11) с учетом (3.2.14) и (3.2.17) имеет вид

где s = ω a–α. Структурно оба интеграла, входящие в (3.2.19), одинаковы. Ниже приведены частные варианты результатов их интегрирования:

402

3.2. ПРИМЕНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ КВ ПОЛЕЙ СКОРОСТЕЙ

Во всех вариантах при вычислении первого интеграла из (3.2.19) следует вместо x подставлять Ζ, а при вычислении второго интеграла следует вместо x подставлять s.

Теперь также с помощью интеграла К. Шварца–Э. Кристоффеля

выполним отображение полосы E плоскости комплексного потенциала W на полуплоскость вспомогательной плоскости ] (рис. 100).

Для голоморфной функции w = w(z), обеспечивающей конформное отображение D из Z на E из W, консервативная (эквипотенциальная) функция Μ вместе с функцией тока удовлетворяют соотношению Ж. дχАламбера–Л. Эйлера, а изолинии Μ = const и = const образуют в плоскостях Z и W ортогональную сетку. В связи с тем что границы A1A2A3 и A3A4A1 физического течения в области D (рис. 99) входят в семейство линий тока = const (для A1A2A3 обозначим = –, а для A3A4A1 обозначим = +), угловая область D отображается на прямолинейную полосу E ( – δ δ+), которая представляет собой двуугольник с вершинами B1 и B3 (рис. 99).

Воспользуемся нормировкой констант bk интеграла К. Шварца–Э. Кристоффеля (3.2.20), представленной в табл. 15.

Для верхнего предела ] = ]0 в (3.2.20) имеем w(]0) = c4. Если ]0 поместить в точку b2, то w(1) = 0 и c4 = 0. В этом случае с учетом нормировки (табл.15) формула (3.2.20) имеет вид

403

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ОМД МЕТОДАМИ МСС

w(ζ) = c3 ∫ζ dζζ = c3 lnζ.

1

Для определения постоянного сомножителя c3 в плоскости ζ воспользуемся вспомогательной точкой b5 = – 1, симметричной относительно начала координат точке b2 = 1. Образ B5 новой точки в плоскости W будет находиться на пересечении оси абсцисс ψс нижним берегом B5 = – iψ– полосы E. Тогда –i ψ– = ic3π.

Отсюда c3 = − ψπ− , и окончательно интеграл К. Шварца–Э. Кристоффеля (3.2.20) имеет вид

Таким образом, комплексный потенциал w = w(z) построен в параметрическом виде z = z(ζ) (3.2.18); w = w(ζ) (3.2.21).

Используя (3.2.18) и (3.2.21), также в параметрическом виде построим комплексную скорость (3.2.10). Сначала из (3.2.18) определим

404

3.2.ПРИМЕНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ КВ ПОЛЕЙ СКОРОСТЕЙ

Вфизической области D плоскости Z воспользуемся тем, что в точках Ak значения вектора скорости известны. Так, если модуль начальной скорости в A3

Для точки A1 (a3 = 0) из (3.2.25) имеем v1 = −V0 Hh ; v2 = 0; для точки A2 (a3 = 1)

из (3.2.18) имеем v1 = 0; v2 = 0, а для точки A4, используя ранее найденное значе-

1

Вычислим комплексную скорость деформации (П3.30):

При определенных допущениях полученные кинематические параметры (3.2.27), (3.2.28) в угловой области D (рис. 98) можно использовать для моделирования движения металла при его обработке резанием, прессованием и др.

405

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ОМД МЕТОДАМИ МСС

Задача 3.2.1.3. Используя результаты предыдущей задачи, определить кинематические параметры процесса РКУП.

Решение. При РКУП размеры каналов одинаковы H = h (рис. 99). Воспользуемся частным вариантом (H = h) формул (3.2.18), (3.2.21) и запишем

в параметрическом виде через параметр ζ связь между комплексным потенциалом w и комплексным аргументом z для произвольного угла встречи каналов:

Для определенности рассмотрим случай, когда α = 12 . При этом в соответствии с (3.2.30) устанавливаем, что

Учитывая, что z = x1 + ix2, из (3.2.31) после разделения выражения, стоящего в квадратных скобках, на действительную и мнимую части имеем

Интегрированию (3.2.31) в плоскости Z вдоль линии тока ψ = const в плоскости ζ (рис. 99) соответствует интегрирование также вдоль линии тока с постоянным углом наклона θ = const. Поэтому кинематические параметры удобно записать в цилиндрических координатах ρ, θ плоскости ζ, в которой ζ = ρ(cosθ + isinθ); ρ2 = ξ2 + η2; θ = arctgξ/η. В частности, для формулы (3.2.32)

406

3.2. ПРИМЕНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ КВ ПОЛЕЙ СКОРОСТЕЙ

1

Комплексная скорость при H = h и α = 2 имеет вид

Отсюда после разложения корня на действительную и мнимую части после преобразований получаем компоненты вектора скорости

где

u = arctg 2ρsinθ;

ρ2 −1

модуль вектора скорости

При разложении dz(ζ) = dx1 + idx2 из (3.2.34) на мнимую и действительную части при H = h и α = 12 , учитывая, что в цилиндрическом множестве коорди-

нат при интегрировании вдоль линии тока (θ = const) dζ = dρ(cosθ + isinθ), где dρ2 = dξ2 + dη2; θ = arctgξ/η, имеем

407

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ОМД МЕТОДАМИ МСС

модуль вектора dx равен:

В соответствии с дифференциальным уравнением линии тока (1.2.107) дифференциал dt можно представить в виде

d t = dd vx .

Отсюда с помощью (3.2.34) и (3.2.35) находим

Комплексная скорость деформации (3.2.29) при H = h и α = 12 имеет вид

После разложения

ξ11 = πHV0Cρ (ρ2 +1)cosθ + 2ρ ;

где

C = (ρ2 + 2ρcos2θ +1)2 + 4ρ2sin2θ(2ρcosθ +1).

408

3.2. ПРИМЕНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ КВ ПОЛЕЙ СКОРОСТЕЙ

Таким образом, формулы (3.2.33) и (3.2.37) позволяют определить кинема-

тические параметры РКУП при угле α = 12 .

Самостоятельно. Используя формулы (3.2.30), определить кинематические параметры РКУП для произвольного угла .

В заключение этого подпункта отметим, что построенные методами ТФКП непрерывные КВ-поля скоростей учитывают только геометрические параметры области движения сплошной среды, а также связанные с ними кинематические граничные условия, но не учитывают реологию этой среды и другие типы граничных условий. Для учета последних гармонические поля скоростей можно использовать как основное решение для последующей корректировки.

3.2.2. Моделирование процесса РКУП

Задача 3.2.2.1. Построить непрерывное КВ-поле скоростей, соответствующее течению при плоской деформации вязкой несжимаемой сплошной среды при РКУП и определить степень деформации сдвига для этого процесса.

Прежде чем приступить к решению, наметим путь возможной реализации сформулированной задачи.

Решение задач МСС путем интегрирования замкнутого множества уравнений с заданными граничными условиями обычно выполнимо лишь в отдельных частных случаях для течения простых, как правило, линейных сред в несложных областях. В более сложных случаях обычно используют эквивалентную такому подходу вариационную постановку краевых задач. Учитывая, что входу в канал (рис. 96) и выходу из него соответствуют поверхности Spv (на входе: pn = q, Vτ = 0; на выходе без подпора: pn = 0, Vτ = 0), а стенкам контейнера соответствуют поверхности Sτv (τn = τ, Vp = 0), выбираем для решения задачи вариационный принцип Ж. Лагранжа, которому соответствует такой тип граничных условий. Применение этого принципа может быть основано на использовании виртуального множества КВ-полей скоростей, наилучшее приближение из которого к Р-полю находится путем минимизации функционала Ж. Лагранжа (2.1.6). Построение такого множества возможно методом М. М. Филоненко-Бородича, когда искомое множество записывается через основное решение с последующей его корректировкой.

Для процесса РКУП в задаче 3.1.3.5 в параметрическом виде методом интеграла К. Шварца–Э. Кристоффеля построено непрерывное поле скоростей, которое, в принципе, может быть использовано в качестве основного решения. Однако выполнение интегральных операций на ЭВМ с комплексными функциями довольно трудоемко. Поэтому далее предлагается методом склейки разрывных полей скоростей из поля скоростей (3.1.64) задачи 3.1.4.1 получить не-

409

поле скоростей (3.1.64), (3.2.38) во всей области стало непрерывным и на новых граничных линиях тока в зоне II (на рис. 100 – пунктир) значения + и – функции тока (3.2.39) сохраняются, например в точках с координатами x1 = 0;

410