книги / Механика сплошных сред (теоретические основы обработки давлением композитных материалов с задачами и решениями, примерами и упражнениями)

2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

ет задачу о поиске непрерывного поля скоростей свести к построению кинематически возможного разрывного поля скоростей.

При использовании метода разрывных полей скоростей область деформирования сплошной среды ограничивается поверхностями разрыва вектора скорости, а сама область разбивается некоторым образом на блоки. Внутри каждо-

го такого блока поле скоростей может быть однородным (V const) или неод-

нородным (V var) . Ясно, что в первом случае диссипация энергии внутри блока равна нулю.

342

2.2. ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНЫХ ЖЕСТКОПЛАСТИЧНЫХ СРЕД

где Ο h0 – коэффициент вытяжки. h1

Вследствие построения область : разделилась на три блока: I, II, III. В каждом блоке поле скоростей является однородным. Внешнюю часть области деформирования среды : назовем нулевым блоком. На границах между i-м и j-м блоками происходит скачок вектора скорости на величину Vij (i = 0, 1, 2; j = 1, 2, 3; i ζ j). При этом гладкая, без изломов траектория материальной частицы реального процесса (рис. 80) аппроксимируется ломаной линией.

Определение мощности, рассеиваемой на поверхностях разрыва вектора скорости, можно выполнить двумя способами.

Первый способ требует нахождения значений приращений Vij вектора скорости на этих поверхностях. С этой целью построим годограф скоростей (рис. 79, б).

скорость движения пресс-штемпеля. Затем из точки 1 проведем луч, параллельный линии раздела первого и второго блоков, а из точки 0 – еще один луч, параллельный образующей матрицы. Пересечение двух лучей произойдет в точке 2.

Вектор V02 является скоростью во втором блоке, а вектор V12 – скачком скорос-

ти на границе блоков I и II. Далее из точки 0 проведем луч, параллельный вектору скорости в третьем блоке, а из точки 2 – луч, параллельный линии раздела второ-

го и третьего блоков. Вектор V03 является скоростью в третьем блоке, а вектор

V23 – скачком скорости на границе блоков II и III. Из годографа скоростей, ис-

343

2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

Упражнение 2.2.6. Используя (2.2.49) и (2.2.50), показать, что на выходе из канала матрицы V23 = λV0

Теперь можно перейти к вычислению мощностей Jij* , рассеиваемых на поверхностях ij разрыва вектора скорости. Для вычисления Jij* необходимо назначить законы изменения напряжения сдвига τij на участках разрыва вектора скорости и определить длину этих участков. Предположим, что на контактных

Остальные величины ij являются технологическими параметрами процес-

са прессования: 01 – длина распрессованного слитка; 03 – длина рабочего пояска матрицы.

Если pn = p отнести к напряжению пластического сдвига τт, то, учитывая, что сама величина p является осредненной по размеру пресс-шайбы, получим безразмерное значение среднего удельного давления q = p/τт. С учетом этой величины запишем баланс мощности (1.4.44) для разрывного поля скоростей

344

2.2. ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНЫХ ЖЕСТКОПЛАСТИЧНЫХ СРЕД

Для идеальной жесткопластичной среды, о которой идет речь в рассматриваемом примере, вязкое, или скоростное, упрочнение отсутствует. Поэтому для такой среды значение скорости входа ее в зону деформации может быть произвольным. Неизвестным параметром остается угол α2 при заданном значении угла матрицы α1. В этом случае неизвестный параметр может быть определен из баланса мощности (2.2.54). Если угол α1 также является неизвестной величиной, то решение задачи может быть осуществлено с помощью изопериметрической постановки, когда баланс (2.2.54) записывается в виде ограничения, а в качестве вспомогательного выступает функционал (2.1.55). В этом случае параметры α1 и α2 с учетом (2.1.54) находятся из условия (П2.74):

Вторым способом эту же задачу можно решить, используя отображение разрывного течения в физической плоскости Z на плоскость W комплексного потенциала (П.3.12). Для этого воспользуемся тем, что вдоль линии тока, в том числе и с изломами, функция тока, связанная при плоском движении с компонентами вектора скорости соотношением (1.2.105), принимает постоянное значение. В плоскости W по оси ψ отложим уровни ψ = ψ+ и ψ = ψ– = 0 и проведем через эти уровни прямые линии, параллельные оси ϕ. В связи с тем, что граница, совпадающая с образующими контейнера и матрицы, а также ось симметрии (рис. 79, а) являются линиями тока, их образы в плоскости W будут прямыми линиям ψ+ = const и ψ– = const.

Аналогичное заключение можно сделать для любой линии тока внутри области деформирования (рис. 79, в). Для непрерывного поля скоростей образом физического течения в плоскости Z при отображении ее на плоскость W комплексного потенциала является непрерывное течение в прямолинейной полосе

*Удельное давление – безразмерная величина, равная отношению давления к напряжению,

характеризующему пластическое состояние металла (предел текучести или напряжений пласти-

ческого сдвига).

345

2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

шириной V0h0. Для разрывного физического течения его образ также является разрывным. Покажем принцип построения разрывного течения в плоскости W на примере физического течения, приведенного на рис. 79.

На линии ψ– = const в плоскости W из точки B5, помещенной, например, в начало координат, проведем линию, параллельную границе между I и II блоками физической плоскости Z до пересечения в точке B3 с линией ψ+ = const. Теперь блок II плоскости Z перенесем в плоскость W так, чтобы вершина A3 этого блока совпала с точкой B3. Затем поворотом и однородным линейным изменением размеров всего блока добьемся того, чтобы сторона A3A2 совпала с линией

ψ+ = const, а вершина A5 попала на линию ψ– = const в точке B'5 . Третья верши-

на блока II после такого преобразования будет находиться в точке B2. Теперь из точки B5 проведем луч, параллельный линии, разграничивающей блоки II и III

физической плоскости, до пересечения с линией ψ+ = const в точке B'2 . Мощности Jij , рассеиваемые на поверхностях разрыва вектора скорости,

будут пропорциональны длинам оснований блоков, лежащих на линиях ψ+ = const и ψ– = const:

Остальные составляющие мощности J01 и J03 записаны ранее (2.2.53). Под-

становкой всех значений Jij в баланс мощности определяем среднее удельное давление:

Упражнение 2.2.7. Показать, что вычисления среднего удельного давления q по формуле (2.2.54), полученной с помощью годографа скоростей, и по формуле (2.2.57), полученной с помощью отображения физического течения в плоскости Z на плоскость W комплексного потенциала, дают одинаковые значения

Изменение среднего удельного давления (2.2.54) или (2.2.57) взависимости от угла α2 при α1 = 60о и постоянном значении коэффициента вытяжки показано на рис. 81.

346

2.2. ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНЫХ ЖЕСТКОПЛАСТИЧНЫХ СРЕД

2

разрывы вектора скорости, используется условие пластичности (1.5.74).

С помощью метода разрывных полей скоростей довольно легко осуществляется моделирование многослойных стационарных течений. В частности, моделирование процесса, представленного на рис. 29, б, может быть выполнено с помощью разрывного КВ-поля скоростей в области, показанной на рис. 82. При этом осуществляется моделирование взаимодействия слоев по схеме П–С (пп. 1.2.1). Аналогичным образом строится разрывное КВ-поле скоростей для моделирования взаимодействия слоев по схеме С–П (рис. 83). В первом случае, как видно из годографа скоростей, слои имеют одинаковую скорость на выходе из очага деформации (рис. 82, б), а во втором – на входе в этот очаг (рис. 83, б).

347

2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

Контрольные вопросы

1.Какие основные гипотезы и допущения используются в методе тонких сечений?

2.К какому упрощению уравнения движения приводят гипотезы и допущения метода тонких сечений?

3.Как связаны линии скольжения с максимальными касательными напряжениями?

4.На каких гипотезах и допущениях базируется метод линий скольжения?

5.Как ориентированы касательные к α- и β-линиям семейства линий скольжения относительно главных осей координат тензора напряжений?

6.Почему метод линий скольжения можно назвать методом характеристик?

7.Каким соотношениям вдоль α- и β-линий должны удовлетворять среднее напряжение 0 и угол наклона касательной к α-линии?

8.Каким образом определить угол наклона касательной α-линии к поверхности, на которой задано касательное напряжение?

9.Какое напряженное состояние соответствует области, покрытой семейством прямолинейных ортогональных линий скольжения?

10.Какому напряженному состоянию соответствует семейство линий скольжения, образующих центрированный веер?

11.На каких поверхностях при движении КМ допускается скачкообразное изменение напряжений?

12.Как связаны КВ-поля скоростей с параметрами линий скольжения?

13.На каких допущениях базируется метод разрывных полей скоростей?

14.Как строится годограф разрывных КВ-полей скоростей для областей, разбитых на блоки с прямолинейными границами?

15.Почему диссипация мощности внутри блока с прямолинейными границами равна нулю?

16.Как отображается область стационарного течения сплошной среды, разбитая на блоки с прямолинейными границами, в физической плоскости Z на плоскость W комплексного потенциала?

17.В чем особенность отображения многослойных стационарных течений?

18.Почему реализация метода разрывных полей скоростей с помощью годографа скоростей и с помощью отображения области течения в физической плоскости Z на плоскость W комплексного потенциала дает одинаковые результаты?

348

2.3. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ КВ%ПОЛЕЙ СКОРОСТЕЙ

2.3.1. Склейка разрывных полей скоростей

Ранее было показано, что при построении разрывных полей скоростей область : течения сплошной среды разбивается на несколько блоков. Внутри каждого блока строится непрерывное поле скоростей, которое, исходя из требований к разрывным КВ-полям скоростей, стыкуется с полями скоростей соседних блоков. При этом только на границах блоков происходит скачкообразное изменение вектора скорости. Построенные таким образом разрывные КВ-поля скоростей можно использовать как решение для последующей корректировки. В частности, введением на стыке блоков переходных зон можно осуществить «склейку» разрывных полей скоростей (п. П3.2) и получить с помощью склеивающих функций непрерывные во всей области : поля скоростей. Принципы создания склеивающих функций изложены в п. П3.2. Применение их для построения непрерывных полей скоростей на основе разрывных КВ-полей покажем на примере задачи о прокатке в условиях плоской деформации, рассмотренной в пп. 1.2.6.

Пусть в эйлеровых координатах E1, E2 в области :, которая представляет собой криволинейную полосу с начальным размером h0 и конечным размером h1, движется сплошная несжимаемая однородная среда. Сначала разобьем область

hh

в:2 2 δ E1 δ 2 ; E– δ E2 δ E+, где h – текущая высота (П3.55) этой подобласти

(h1 δ h δ h0) на ее длине (П3.53)

349

2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

Теперь можно приступать к построению поля скоростей. Сначала во всей области построим разрывное КВ-поле V =Viei с помощью функции тока ψ (П3.54), удовлетворительно описывающей область Ωдвижения среды. Действительно, в подобласти Ω1 из (П3.54) имеем h = h0 и ψ = –V0E1, что после дифференцирования по E1 и E2 по формуле (1.2.105) обеспечивает выполнение кинематических граничных условий в этой подобласти: V1 = 0; V2 = V0. При этом на

верхней границе (рис. 84), где E1 = h2 , имеем ψ = ψ+ = V02h0 = const; на ниж-

ней границе, где E1 = − h2 , имеем ψ = ψ− = −V02h0 = const; на оси симметрии

E1 = 0 и ψ = 0. Легко убедиться в том, что функция тока (П3.54) является непрерывной во всей области Ω и сохраняет постоянные значения на одних и тех же линиях тока в разных подобластях Ωk. По формулам (1.2.105) и (1.2.137) определим кинематические параметры течения в каждой из подобластей.

Вподобласти Ω1 кинематические параметры не требуют корректировки. По-

этому компоненты вектора скорости V1 = 0; V2 = V0, компоненты тензора скоростей деформаций ξik = 0.

Вподобласти Ω2 текущая высота h = h(Ek) на участке д (2.3.1) должна дать конфигурацию верхней и нижней границ в виде окружности радиуса R. Если урав-

нение окружности в координатах xk представить в виде (П3.59), то при xk = Ek (П3.55) функция тока (П3.54) по формуле (1.2.95) приведет к разрывному полю скоростей

V (1.2.124) и скачкообразному изменению компонент его градиента в области Ω. В подобласти Ω3, так же как и в Ω1, кинематические параметры течения не требуют корректировки. Поэтому компоненты вектора скорости V1 = 0; V2 = Vf;

компоненты тензора скоростей деформаций ξik = 0.

Для склейки разрывных полей скоростей воспользуемся методом переходных зон (п. П3.2). Разобьем область (рис. 83) на пять участков: I (E– ≤ Е2 ≤ Eн);

II (Eн ≤−E2 ≤Eн1); III (Eн1 ≤E2 ≤Ef1); IV (Ef1 ≤E2 ≤Ef); V (Ef ≤E2 ≤E+), где Eн = −д – δ1; Eн1 = д + δ1; Ef1 = –δ2; Ef = δ2. Используя вспомогательное множество коорди-

нат xk (П3.57), получим непрерывные во всей области Ωкомпоненты вектора ско-

рости (П3.58) и его градиента (П3.62). Последние по формуле Дж. Стокса (1.2.137) позволяют определить компоненты тензора скоростей деформаций

350