книги / Механика сплошных сред (теоретические основы обработки давлением композитных материалов с задачами и решениями, примерами и упражнениями)

2.1. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

Так как в рассматриваемой задаче b = V , то в (2.1.5) потенциал Πb = Πv (1.5.130). Для линейно-вязкой, несжимаемой среды этот потенциал вследствие (1.4.31), (1.2.161) и (1.3.24) имеет вид

Так как функция состояния μ* в (1.5.35) линейно-вязкой среды постоянна, из

(2.1.13) имеем значение потенциала Пv = 12 μ H2 .

Перепишем функционал Ж. Лагранжа (2.1.7) для рассматриваемого случая:

ΩS

Тогда для заданных граничных условий (1.5.110), (1.5.111), с учетом симметрии течения относительно оси E1, получим

или после интегрирования

где суммирование от 1 до N осуществляется в каждом одночлене по всем индексам i, j и k, повторяющимся в том или ином виде.

Варьируемые параметры am находим из условия (П2.74):

m

Подстановка (2.1.15) в (2.1.16) приводит к замкнутому множеству уравнений относительно варьируемых параметров am:

311

2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

Легко показать, что во всех уравнениях m-е сомножители коэффициента a1 пропорциональны m-м свободным членам, находящимся в правых частях уравнений (2.1.17). Это фактически означает, что все варьируемые параметры, кроме a1, равны нулю. Поэтому множество (2.1.17) сводится к одному уравнению относительно параметра a = a1:

Отсюда получаем значение параметра a, точно совпадающее с решением (1.5.119), полученным путем интегрирования замкнутого множества дифференциальных уравнений. Это объясняется тем, что в множество КВ-полей скоростей (2.1.10) входит, как частный вариант, Р-поле. Если бы в ряде (2.1.10) параметр k изменялся в пределах 2 ≤ k ≤ N, то с помощью вариационного принципа Ж. Лагранжа было бы получено наилучшее по минимуму функционала (2.1.7) приближение к Р-полю. В этом случае

где

а определители m получаются из (2.1.20) путем замены m-го столбца столбцом,

(2.1.17).

Таким образом, на частном примере показано, что с помощью вариационного принципа Ж. Лагранжа можно выполнять решение краевой задачи, а сам принцип является эквивалентом решения такой задачи путем интегрирования замкнутого множества дифференциальных уравнений с заданными граничными условиями.

Полагая, что все коэффициенты ak, кроме a = a1, в (2.1.8) равны нулю, перепишем функционал (2.1.15):

312

2.1. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

В общем случае для сплошных композитных сред M k M функционал

1

(2.1.7) должен быть записан в областях : движения каждой компоненты с соответствующими границами S . При этом на основании (1.4.34)–(1.4.41) необ-

ходимо учитывать скачок ǻbΔΕ вектора b на границе SΔΕ компонент M и MΕ.

ти : .

Для различных моделей сплошных сред (пп. 1.5.7) могут быть записаны частные варианты функционала (2.1.23) в соответствии со свойствами этих сред. Например, если КМ состоит из нескольких идеальных жесткопластичных не-

bV представляются произведением напряжения пластического сдвига IJɬ

313

2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

α-среды на интенсивность сдвиговых скоростей деформаций Η, и функционал (2.1.23) имеет вид

Особенности граничных условий, оговоренные в начале этого подпункта, приводят к тому, что при использовании принципа Ж. Лагранжа допускаются вариации параметров напряженного состояния на участках Sv, Spv, Sτv, где соот-

ветственно V = 0 , V τ = 0 , V p = 0 . Однако вследствие равенства нулю произведений δσn V ; δτn V τ ; δ pn V p , на этих участках в функционале Ж. Лагранжа

слагаемые, связанные с интегрированием на таких участках поверхности тела M, не рассматриваются.

Упражнение 2.1.1. Используя вариационный принцип Ж. Лагранжа и множество КВ-полей скоростей

где β ≤ α –1, показать, что функционал (2.1.24), записанный для течения многослойной линейно-вязкой среды в прямолинейной полосе (рис. 66), принимает минимальное значение на Р-поле, для которого все параметры aαk =0 , кроме параметра aα = aα1 , вычисляемого по формуле (1.5.115)

2.1.2. Принцип А. Кастилиано

В основе этого вариационного принципа лежит метод виртуальных статических параметров. Пусть, как и в предыдущем подпункте, вектором b представлено либо поле перемещений U , либо поле скоростей V , а тензором Ta – либо тензор деформаций Tε, либо тензор скоростей деформаций Tξ соответственно.

Сначала предположим, что на части Sb поверхности S тела M с объемом Ω заданы кинематические граничные условия типа (1.2.171), а на частях Sσ, Spb и

Sτb заданы нулевые статические граничные условия ( σn = 0 , pn =0 , τn = 0 соответственно). На последних трех частях поверхности S кинематические граничные условия в общем случае могут быть отличными от нуля. По сути, типы оговоренных механических граничных условий определяют класс задач, решаемых рассматриваемым ниже вариационным методом, область применения которого будет расширена в конце этого подпункта.

314

2.1. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

Запишем вариацию энергии поверхностных сил ∫b δσn dS , построенную на

вариации статических параметров. Предполагается,Sчто вариация поверхностного напряжения δσn связана с вариацией тензора напряжений δTσ внутри области Ωпосредством формулы О. Коши (1.3.13). Тогда, используя (П.1.103), преобразуем поверхностный интеграл в объемный:

SΩ

ис учетом связи вектора b с тензором Ta по формуле (2.1.2) получим

Так же как и ранее, массовые и инерционные силы будем считать пренебрежимо малыми. При произвольном тензоре напряжений в (2.1.27) уравнение равновесия (1.4.18) в общем случае приводит к некоторой невязке, т.е. не будет удовлетворяться. Интеграл по объему Ω от скалярного произведения вариации этой невязки на тензор Ta обозначим через δJK. Тогда из (2.1.27) получим

SΩ

Спомощью потенциала Πσ, вариация которого

учитывая, что в поверхностном интеграле заданные кинематические параметры не связаны с вариацией поверхностных напряжений и знак вариации можно вынести за пределы этого интеграла, из (2.1.28) имеем

Отсюда с точностью до несущественной, неварьируемой функции

315

2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

множества СВ-полей напряжений Р-поле сообщает функционалу А. Кастилиано максимальное значение. Применение этого вариационного принципа продемонстрируем на примере задачи о движении изотропной, однородной линейно-вязкой среды в прямолинейной полосе с граничными условиями, представленными на рис. 68.

Воспользуемся методом В. Ритца (п. П2.3) и представим СВ-поля напряжений с помощью функции напряжений Дж. Эри (1.4.22).

Упражнение 2.1.2. Используя формулы (1.5.45), показать, что функция напряжений Дж. Эри для линейных (линейно-упругих и линейно-вязких) сред должна быть бигармонической (П1.77)

Функцию Дж. Эри представим в виде ограниченного полиномиального ряда, удовлетворяющего бигармоническому уравнению (П2.62)

Далее по формуле (1.3.24) определим квадрат интенсивности касательных напряжений

а по формуле (2.1.29), учитывая, что для линейно-вязкой среды Π* = const и

316

2.1. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

По статической формуле О. Коши (1.3.13), учитывая, что на левой границе

области Ω ( E1 = − 2 ) компоненты единичной внешней нормали n имеют зна-

чения n1 = –1; n2 = 0, а на правой границе ( E1 = 2 ) – n1 = 1; n2 = 0 (рис. 68),

находим единственную отличную от нуля проекцию полного напряжения σn на нормаль:

Теперь с учетом заданных кинематических граничных условий (рис. 68) запишем функционал А. Кастилиано (2.1.31), который после интегрирования в

пределах − 2 ≤ E1 ≤ 2 ; 0 ≤ E2 ≤ h имеет вид

Варьируемые параметры am находим из условия (П2.74):

При этом дифференцирование (2.1.37) по a1, a2 и a4 приводит к соотношениям

Подстановкой (2.1.39) и (2.1.40) в (2.1.33) получаем компоненты тензора напряжений и среднее напряжение σ0:

317

2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

ное влияние оказывает лишь разность p этих уровней, а не их индивидуальные значения. Если, как и ранее, на левой границе pn = – p1, а p = p1 – p2, то значения в (2.1.41) приведут к точному решению (1.5.116). Поведение функционала JK (2.1.37) показано на рис. 69, где использованы следующие обозначения:

y = 2x – x2, а рис. 69 показывает, что на Р-поле (x = 1) функционал (2.1.38) принимает максимальное значение (y = 1). В общем случае для сплошных композитных сред функционал (2.1.31) должен быть записан в областях : движения каждой компоненты с соответствующими границами S . При этом на основании (1.4.34)...(1.4.41) на границах SΔΕ компонент M и MΕ должен быть задан

318

2.1. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

Здесь потенциалы Πσα типа (2.1.29) должны быть рассчитаны в каждой облас-

ти Ωα.

Особенности граничных условий, оговоренные в начале этого подпункта, приводят к тому, что при использовании вариационного принципа А. Кастилиано допускается вариация кинематических параметров на таких участках Sσ, Spb,

Sτb границы S, где соответственно σn = 0 , pn = 0 , τn = 0 , но вследствие равенства нулю произведений σn δb , pn δb p , τn δb τ на этих участках в функцио-

нале А. Кастилиано такая вариация не рассматривается.

2.1.3. Принцип минимума мощности внутренних сил

Рассмотрим мощность внутренних сил, представленную в виде, полученном в (1.4.42):

Покажем, что экстремали этого функционала удовлетворяют уравнению равновесия (1.4.18).

В декартовых координатах, где d Ω = dE1 dE2 dE3 , формула (2.1.44) в скалярной форме записи имеет вид

ко функций, для определения экстремалей функционала (2.1.45) необходимо использовать множество обобщенных дифференциальных уравнений Л. Эйле-

водит к тривиальному решению, соответствующему поступательному движе-

новесия (1.4.18). Таким образом, напряжения, удовлетворяющие уравнению

319

2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

равновесия, являются экстремалями функционала (2.1.45) и, следовательно, сообщают последнему стационарное значение. Приведенное доказательство справедливо не только для декартовых, но и для любых других координат.

Пусть тензор напряжений связан с тензором скоростей деформаций соотношением (1.5.3). Учитывая (1.4.30), это соотношение можно представить в виде

Тогда функционал (2.1.44) примет вид (П2.54). Теперь с помощью (1.4.30) представим мощность внутренних сил (2.1.44) в виде

в котором для безусловного выполнения уравнения равновесия (1.4.18) воспользуемся тождеством (П1.89) и представим тензор напряжений с помощью тензора функций напряжений Э. Бельтрами (1.4.19):

Упражнение 2.1.3. Показать, что экстремали функционала (2.1.48) определяются уравнением Л. Эйлера–Ж. Лагранжа вида (1.5.45), а стационарному значению этого функционала при условии

соответствует минимум Принимая во внимание граничные условия, изложенное можно представить

в виде принципа минимума мощности внутренних сил: мощность внутренних сил при действительном медленном (без учета инерционных и массовых сил) движении в некотором объеме сплошной среды меньше мощности, затрачиваемой при произвольном движении этой среды при условии (2.1.9) или (2.1.49) с тем же распределением кинематических и статических параметров на поверхности, ограничивающей этот объем. Этот принцип позволяет заменить постановки задач МСС с уравнениями (1.2.151) или (1.4.18), изложенные в пп.1.5.2, общей эквивалентной вариационной постановкой: в области движения сплошной среды из всех возможных НДС, характеризуемых вектором скорости V или тензором функций напряжений TΦ, удовлетворяющих граничным условиям, найти такое состояние, которое сообщает минимум мощности внутренних сил.

320