Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Механика сплошных сред (теоретические основы обработки давлением композитных материалов с задачами и решениями, примерами и упражнениями).

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

9 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 4142 / 6142 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 > Следующая >>>

3.2. ПРИМЕНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ КВ ПОЛЕЙ СКОРОСТЕЙ

x2 = B1 – H(1 + k) и x1 = 0; x2 = B1 – Hk соответственно, где параметр k центра B1

внутреннего сектора находится в пределах 0 < k ≤ x2в tg(α2) (рис. 101).

По формуле Дж. Стокса (1.2.137) с помощью (3.2.38) определим компоненты тензора скоростей деформаций Tξ в зоне II:

	x	(B − x	)			(B − x		)2	− x2
ξ11 = −ξ22 = −	1	1 2		;	ξ12 = −ξ21 = −	1	2		1 .	(3.2.40)
ξ11 = −ξ22 = −		Q3		;	ξ12 = −ξ21 = −	2Q3			1 .	(3.2.40)
		Q3				2Q3

Полученное непрерывное поле скоростей (3.1.64), (3.2.38) отражает только геометрию области течения металла, но не учитывает свойства деформируемой среды и условия контактного трения. Поэтому, в соответствии с методом М. М. Фи- лоненко-Бородича, представим функцию тока ψ задачи 3.1.4.1 вместе с (3.2.39) как основное решение скорректированной функции тока:

				Ψ = ψ + Ф(ψ, αх),	(3.2.41)
	−	α	≤ αx ≤	α
где текущий угол	−	2	≤ αx ≤	2
		2		2

αx = arctg B−x1x2 ;

Ф(ψ, αх) – корректирующая функция, удовлетворяющая однородным граничным условиям. Эти условия выполняются, если используя метод разделения переменных, представить функцию Ф в виде*

Φ = z F F j+1	,	(3.2.42)
j 1 2

где zj – варьируемые параметры для учета реологии деформируемого металла и граничных условий:

F1 = (ψ − ψ+ )(ψ − ψ− ); F2 = 3cos πααx + cos 3παα x .

Теперь, используя соотношения типа (1.2.105) с помощью (3.2.41) и (3.2.42),

определим компоненты вектора V скорректированного поля скоростей:

*В одночлене, содержащем буквенный повторяющийся в любом виде индекс, по этому индек-

су производится суммирование по правилу А. Эйнштейна.

411

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ОМД МЕТОДАМИ МСС

∂Ψ

= v

∂Φ

∂αx ;

∂ x2

∂αx ∂ x2

∂ψ

= −

∂Ψ

= v

1+ ∂Φ

−

∂Φ

∂αx ,

(3.2.43)

∂ x2

∂ψ

∂αx ∂ x1

где

∂Φ = z F j+1 ∂ F1

;

∂Φ

=( j+1)z F F j ∂ F2

;

∂α

∂ψ

∂α

∂αx =

B− x2

;

∂αx =

;

(B− x

+ x2

∂ x1

(B− x

)2 + x2

∂ x2

∂ F

−

∂ F

3π

πα

x + sin

3πα

= 2ψ − ψ

− ψ

;

2 = −

sin

∂ψ

∂αx

Затем по формуле Дж. Стокса (1.2.137) с помощью поля скоростей (3.2.43) находим скорости деформаций скорректированного решения:

Ξ11 = −Ξ22 = ξ11

Ξ = −Ξ = ξ 1+

12 21 12

∂Φ − v v

∂2Φ +

v ∂αx

− v

∂αx

∂2Φ

∂ψ

1 2

∂ψ2

∂ x

∂ψ∂α

∂

2Φ

∂α

∂Φ

∂2α

;

∂α2

∂ x

∂α

∂ x ∂ x

∂ x

∂Φ

∂

∂α

∂

(v12 − v22 )

+ 2 v1

∂ x

+ v2

∂ψ

∂ψ∂α

∂ x

∂

∂α

∂Φ

∂

∂α2

∂ x

−

x −

(3.2.44)

∂α

∂ x

∂ x2

где

∂2Φ

F j+1

∂2 F

∂2Φ

= ( j+

1) z

F j

∂ F ∂ F

∂ψ2

= z

;

2 ;

∂ψ∂αx

∂ψ2

∂ψ ∂αx

412

3.2. ПРИМЕНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ КВ ПОЛЕЙ СКОРОСТЕЙ

∂2Φ2 = ( j+1) z j F1F2j

∂αx

∂2 F2 = − 3π2 ∂α2x α2

∂ F2

∂

;

∂

= 2;

∂α

∂α2

∂ψ2

πα

x + 3cos

3πα

cos

;

∂2α

(B− x

)

∂2α

(B− x − x

= −

;

∂ x12

∂ x22

(B− x

)2 + x2

∂ x1 ∂ x2

(B− x

+ x2

В формулах (3.2.43), (3.2.44) скорректированного решения использованы кинематические параметры vk и ξjk основного решения (3.1.64) или (3.2.38), а также ξjk = 0 или (3.2.40) для зон I, III или II соответственно (рис. 101).

С помощью параметров (3.2.43) и (3.2.44) составлен функционал Ж. Лагранжа (2.1.7)

JЛ =∫ Πd Ω+ ∫ τn V τ+ d S+ ∫ τn V τ− dS,			(3.2.45)
Ω	S+	S −

где для пластического течения (Т = τт) несжимаемых изотропных сред, участвующих в изотермическом процессе движения, скоростной потенциал ΠV определяется реологической зависимостью предела текучести на сдвиг τт = τт (Η) от интенсивности сдвиговых скоростей деформаций Н (2.1.5):

		ΠV =∫τт d Η ;	(3.2.46)
V τ+	и V τ−	– значения модуля вектора скорости V =	V12 + V22 на нижней

S+ (ψ = ψ+) и верхней S– (ψ = ψ–) граничных линиях тока (рис. 97); для плоского течения несжимаемых сред интенсивность сдвиговых скоростей деформа-

ций Η вычисляется по формуле типа (1.2.161): Η = 2 Ξ112 + Ξ122 .

Минимизацию функционала (3.2.45) по варьируемым параметрам zj можно осуществить на ЭВМ, например методом покоординатного спуска.

На рис. 102, а показано распределение изотах vk = const и линий одинакового уровня степени деформации сдвига Λ = const для основного непрерывного

413

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ОМД МЕТОДАМИ МСС

поля скоростей (3.1.64), (3.2.38), а на рис. 102, б – таких же изолиний Vk = const и /= const для скорректированного с помощью функционала Ж. Лагранжа (3.2.45) поля скоростей (3.2.43).

		В скорректированном поле скоростей (3.2.43)
		при построении изолиний на рис. 102, б исполь-
		зовался один варьируемый параметр z1 и реологи-
		ческие параметры, соответствующие алюминиево-
		му сплаву 2024 (Д16) при температуре 400 оС. По
	Рис. 102. Изолинии основного (а)	данным А. В. Третьякова и В.И. Зюзина, для этого
	Рис. 102. Изолинии основного (а)	сплава напряжение пластического сдвига
	и скорректированного (б) полей	сплава напряжение пластического сдвига
	и скорректированного (б) полей	Ωт = 52,25 υk kΤ k+ (МПа), где коэффициенты k ,
	скоростей	Ωт = 52,25 υk kΤ k+ (МПа), где коэффициенты k ,

kΤ, и k+ учитывают влияние на Ωт интенсивности сдвиговых деформаций, температуры и интенсивности сдвиговых скоростей деформаций соответственно.

При реализации вариационного принципа Ж. Лагранжа для температуры деформации Τ τ 400 оС влияние деформационного упрочнения и температуры считали пренебрежимо малым (k = 1; kΤ = 1). Коэффициент k+ в соответствии с экспериментальными данными А. В. Третьякова и В. И. Зюзина аппроксимировали в линейном виде: k+ = 0,0175 ++ 0,833. В этом случае скоростной потенциал (3.2.46) 3V = 4,572 +2 + 43,524 +.

Для задания контактного напряжения Ωn в функционале Ж. Лагранжа (3.2.45) использовали базисное значение Ωт и закон трения Э. Зибеля (2.2.29): Ωn = 104,5 Πт. В расчетах для минимизации функционала Ж. Лагранжа (3.2.45) и построения картин на рис. 102, б использовали коэффициент трения по напряжению плас-

тического сдвига Π	т	= 0,3 и угол = 90о.
	т

Задача 3.2.2.2. Используя КВ-поля скоростей предыдущей задачи, определить давление, необходимое для осуществления процесса РКУП.

Решение. Давление при РКУП определим из баланса мощности внутренних и поверхностных сил (1.4.44):

JɅ = qV0 H ³ǾWɬ d ȍ+ ³ Wn V Ω d S+							³ Wn V Ω d S = 0.		(3.2.47)
					S		S
			ȍ

Отсюда среднее давление при РКУП
	1	§	³ǾWɬ d ȍ+ ³ Wn V Ω d S+ ³ Wn V Ω d S					·
q =	1	¨						¸.	(3.2.48)
q =	HV	¨						¸.	(3.2.48)
	HV	¨		S		S		¸
0		©	ȍ	S		S		¹

414

3.2. ПРИМЕНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ КВ ПОЛЕЙ СКОРОСТЕЙ

Для расчета среднего давления по формуле (3.2.48) воспользуемся результатами предыдущей задачи и приведенными в ней данными, соответствующими алюминиевому сплаву 2024 (Д16) при температуре 400 оС.

На рис. 103 приведено сравнение значений удельного давления прессо-

вания q/Ωт, рассчитанных по формуле (3.1.66), полученной с использованием разрывного КВ-поля скоростей для идеальной жесткопластичной

среды (Ωт = const), и по формуле Рис.103. Зависимость давления от угла канала

(3.2.48), полученной на основе скор-

ректированного непрерывного КВ-поля скоростей для вязкой среды (Ωт = var). В последнем случае для определения среднего удельного давления расчетную величину давления q относили к базисному значению напряжения пластического сдвига Ωт = 52,25 МПа.

Здесь еще раз напомним, что всякое КВ-поле скоростей позволяет получить верхнюю оценку энергосиловых параметров процесса ОМД по сравнению с Р- полем. Из двух полей скоростей скорректированное непрерывное КВ-поле скоростей ближе к Р-полю, чем разрывное. Поэтому соответствующее первому полю давление прессования имеет меньшие значения по сравнению с давлением для разрывного КВ-поля скоростей (рис. 103). При угле = 0 деформация отсутствует и давление затрачивается лишь на преодоление контактного трения. Поэтому при ο 0 для обоих полей давления становятся одинаковыми.

3.2.3. Моделирование процесса листовой прокатки

Задача 3.2.3.1. Используя разрывное КВ-поле скоростей (3.1.7) задачи 3.1.1.1 с

изменением текущей высоты по окруж-
ности (3.1.6) методом склейки с после-
дующей корректировкой, построить не-
прерывное КВ-поле скоростей для моде-
лирования процесса прокатки в условиях
плоской деформации.
Решение. Для выполнения первого
этапа представим область прокатки
(рис. 87) в виде пяти зон (рис. 104):
I (E– δ Е	2	δ E	н	), II (E	н	< Е	2	< E	н	),	Рис. 104. Расчетная схема в плоскости обжатия
										1

415

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ОМД МЕТОДАМИ МСС

III (Eн1 ≤ Е2 ≤ Ef1), IV (Ef1 < Е2 < Ef), V (Ef ≤ Е2 ≤ E+) и введем вспомогательные координаты xi. Во всех зонах I–V вспомогательная координата х1 совпадает с эйлеровой координатой Е1 (х1 = Е1). Вспомогательная координата (склеивающая функция) х2 совпадает с эйлеровой координатой Е2 (х2 = Е2) лишь в зонах I, III и V, а в зонах II и IV (П3.57)


x	=	1	(E	+ a) − bg	9cos E +	1	cos3E	,
x	=		(E	+ a) − bg	9cos E +		cos3E	,
2		2	2			3
		2				3

где для зоны II: a = Eн1; b = 0,3125; g = 2(Eн1 – Eн)/π; E* = (2Е2 – Eн1 – Eн)/g, а для

зоны IV: a = Ef1; b = – 0,3125; g = 2(Ef1 – Ef)/π; E* = (2Е2 – Ef1 – Ef)/g. В этом случае разрывное поле скоростей (3.1.2) становится непрерывным и представ-

ляется в ином, чем в (3.1.7), виде (П3.58) с учетом (П3.57):

	h0 E2	′		h0
v1 = −V0		h f ; v2	= −V0		,
v1 = −V0	h2	h f ; v2	= −V0	h	,

где текущая высота (П3.59) проката h, в отличие от (3.1.6), также связана с координатой (П3.57):

h = h + R− 2 R2	− x2	;
1	2

частная производная (П3.60)

h′ =	∂h	=	2 x2
				.
	∂ x2		R2 − x22

Склеивающая функция f формул (П3.58) в зонах I, III и V равна единице, а в зонах II и III (П3.61)

f= ∂ x2 = 0,5 + 2b(9sin E + sin3E ).

∂E2

Ее производная f ′ в первых зонах равна нулю, а во вторых (П3.63)

f′ = ∂2 x2 = 4b (9cos E + 3cos3E ).

∂E22 g

416

3.2. ПРИМЕНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ КВ ПОЛЕЙ СКОРОСТЕЙ

Полю скоростей (П3.58) соответствует функция тока (П3.54)

ψ= −V0 h0hE1

сграничными значениями ψ+ = 0,5V0 h0 (E1 = – 0,5 h0) и ψ– = 0 (E1 = 0).

По формуле Дж. Стокса (1.2.137) определяем компоненты тензора скоростей деформаций основного решения:

ξ11 = −ξ22 =V0 hh02 h′ f ;

где из (П3.64) имеем

			h E
ξ = ξ	21	=V	0 1		h′′ f 2	+ h′ f ′−

12		0	h	2

h′′ =	∂2 h	=	2 R2				.
h′′ =	∂ x2	=	(R	2	2	3	.
	2		(R		− x2 )
	2

2h	′2	f	2	, (3.2.49)
2h		f

	h
	h

Кинематические параметры основного решения (П3.54) (П3.58) (3.2.49), обозначенные прописными буквами, используем для построения по методу М.М. Филоненко-Бородича скорректированного решения, в котором эти же параметры будем обозначать соответствующими заглавными буквами.

Функция тока скорректированного решения

Ψ = ψ+ Φ(ψ, Е ),	(3.2.50)
2

где функция тока ψ основного решения рассчитывается по формуле (П3.54). Корректирующая функция Φ в (3.2.50) должна удовлетворять однородным граничным условиям, т. е. обращаться в ноль на границе области при ψ= ψ+; ψ = ψ–

и E2 = E2+ ; E2 = E2− . Для построения такой функции воспользуемся методом разделения переменных

Φ = Φψ(ψ) ΦЕ(Е2),	(3.2.51)
где

Φψ =	(ψ − ψ+ )(ψ − ψ− )	; ΦE = z j	(E+ − E2 )(E2	− E− ) j+2	;	(3.2.52)
	ψ+ − ψ−		(E+ − E− )2 j+4

zj – варьируемые параметры.

417

3.МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ОМД МЕТОДАМИ МСС

Вназначенных эйлеровых координатах (рис. 103) изолинии лагранжевых

координат L1 = const совпадают с линиями тока и в гидродинамике обычно такие линии связывают с функцией тока Ψ, вдоль которых Ψ = const. Поэтому Ψ и

L1 должны совпадать с точностью до постоянного сомножителя и несущественного для поля скоростей слагаемого (1.2.103):

Ψ = – V0 L1+ С.

Тогда по формулам (2.1.105) находим компоненты вектора скорости скорректированного решения

Vi = ik	∂Ψ	(3.2.53)
Vi = ik	∂ E	(3.2.53)
3	∂ E
	k

или c учетом (3.2.50)

			∂Φ		∂Φ				∂Φ
V1	= v1 1	+		+		; V2	= v2 1	+		,
V1	= v1 1	+		+	∂ E2	; V2	= v2 1	+		,
			∂ψ		∂ E2				∂ψ

где в соответствии с (3.2.51)

∂Φ

∂Φψ

ΦE ;

∂Φ

= Φψ

∂Φ

E ;

∂ψ

∂ E2

∂Φψ

−2+ψ+

+ ψ−

;

∂ψ

ψ+ − ψ−

∂ΦE

(E+ − E2 )(E2 − E− ) j+1

= z

( j+ 2)

(−2 E + E+ + E− ).

(E+ − E− )2 j

∂ E2

(3.2.54)

(3.2.55)

Задача 3.2.3.2. Используя непрерывное поле скоростей скорректированного решения (3.2.54) предыдущей задачи, определить компоненты тензора скоростей деформаций.

Решение. По формуле Дж. Стокса (1.2.137) определяем компоненты тензора скоростей деформаций скорректированного решения:

				∂Φ	− v1 v2	∂2Φ	− v2	∂2Φ
Ξ11 = −Ξ22	= ξ11	1	+			∂ψ2			;
								∂ψ∂ E2
				∂ψ

418

3.2. ПРИМЕНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ КВ ПОЛЕЙ СКОРОСТЕЙ

∂Φ

∂2Φ

Ξ12

= −Ξ21

= ξ12 1

(v12 − v22 )

+ v1

, (3.2.56)

∂ψ2

∂ψ∂ E2

∂ E22

∂ψ

где в соответствии с (3.2.55)

∂2Φ

∂2Φψ

ΦE ;

∂2Φ

∂Φψ ∂Φ

;

∂2Φ

= Φψ

∂2Φ

;

∂2Φψ

= − 2;

∂ψ2

∂ψ∂ E2

∂ E22

∂ψ2

∂ψ ∂ E2

∂ E22

ΦE

(E+ − E2 )(E2 − E

− ) j

∂

= z j

( j+ 2)

(E+ − E− )2 j+4

∂ E22

) .

× ( j+1)(−2 E2

+ E

)− 2(E

− E2 )(E2 − E

−

(3.2.57)

Задача 3.2.3.3. Используя кинематические параметры задач 3.2.3.1 и 3.2.3.2, осуществить изопериметрическую постановку вариационной задачи о листовой прокатке вязкопластичных сред.

Решение. Компоненты тензора скоростей деформаций (3.2.56) скорректированного поля скоростей (3.2.54) вместе с (3.2.55) и (3.2.57) позволяют рассчитать интенсивность сдвиговых скоростей деформаций (1.2.161):

Η = 2 ξ112 − ξ122 .

Для вязкопластичных сред при заданном соотношении Τ = Τ(Η) интенсивности касательных напряжений Τ от интенсивности сдвиговых скоростей деформаций Η определяем мощность внутренних сил

E+	h
	2
Int = ∫ ∫ΤΗd E2 d E1 min ,		(3.2.58)

E− 0

которая является целевым функционалом с варьируемыми параметрами zj (2.1.44). В формуле (3.2.58) вследствие симметрии области прокатки (рис. 103) интегрирование по координате E1 выполняется в нижней ее половине 0 ≤ E1 ≤ 0,5h, где текущая высота проката h вычисляется по формуле (П3.59).

419

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ОМД МЕТОДАМИ МСС

Непосредственно целевой функционал (3.2.58) не учитывает никаких граничных условий (ни статических, ни кинематических) и лишь опосредованно через КВ-поле скоростей (П3.58), на котором он построен, в нем учитываются только кинематические граничные условия. Поэтому на экстремали этого функционала необходимо наложить ограничения, связанные с остальными видами механических граничных условий. Таким интегральным ограничением может служить баланс мощности (2.1.54)

JБ = Int – Ext = 0,

где мощность внешних сил без учета массовых и инерционных сил

Ext ³	Wn V d S ³ Wn V d S Vɩɟɪ Vɡɚɞɧ h0 b0 V0 .	(3.2.59)
Sɨɬ	Sɨɩ

Здесь Ωn – касательное напряжение на контактной поверхности металл–валок с площадью Sот в зоне отставания и Sоп – в зоне опережения (пояснения зон даны в решении задачи 3.1.2.1).

Теоретически в изоперметрической постановке поиск экстремума целевого функционала (3.2.58) с интегральным ограничением (2.1.54) заменяется поиском экстремума вспомогательного функционала

I = Int + ΟJБ,

(2.1.60)

записанного с помощью неопределенного множителя ΟЖ. Лагранжа. Для простейших задач МСС при их безмашинном решении (без применения ЭВМ) этот множитель входит как дополнительный коэффициент в замкнутое относительно варьируемых параметров zj множество уравнений

wǿ	0	(2.1.61)

wz j

иопределяется из условия (2.1.54). Например, это показано в пп. 2.1.4 при решении задачи о движении линейно-вязкой среды в прямолинейной полосе. Более

Рис. 105. Экспериментальные (метод муаровых по9 лос) (а) и теоретические (б) картины изотах

сложные задачи можно реализовать только численным методом с помощью ЭВМ. Для этого необходимо составить программу для нахождения параметров zj и построения с помощью ЭВМ кинематических параметров скорректированного КВ-поля, наиболее близкого к Р-полю (рис. 105).

420

<<< < Предыдущая 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 4142 / 6142 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги