книги / Механика сплошных сред (теоретические основы обработки давлением композитных материалов с задачами и решениями, примерами и упражнениями)

3.2. ПРИМЕНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ КВ ПОЛЕЙ СКОРОСТЕЙ

x2 = B1 – H(1 + k) и x1 = 0; x2 = B1 – Hk соответственно, где параметр k центра B1

внутреннего сектора находится в пределах 0 < k ≤ x2в tg(α2) (рис. 101).

По формуле Дж. Стокса (1.2.137) с помощью (3.2.38) определим компоненты тензора скоростей деформаций Tξ в зоне II:

Полученное непрерывное поле скоростей (3.1.64), (3.2.38) отражает только геометрию области течения металла, но не учитывает свойства деформируемой среды и условия контактного трения. Поэтому, в соответствии с методом М. М. Фи- лоненко-Бородича, представим функцию тока ψ задачи 3.1.4.1 вместе с (3.2.39) как основное решение скорректированной функции тока:

αx = arctg B−x1x2 ;

Ф(ψ, αх) – корректирующая функция, удовлетворяющая однородным граничным условиям. Эти условия выполняются, если используя метод разделения переменных, представить функцию Ф в виде*

где zj – варьируемые параметры для учета реологии деформируемого металла и граничных условий:

F1 = (ψ − ψ+ )(ψ − ψ− ); F2 = 3cos πααx + cos 3παα x .

Теперь, используя соотношения типа (1.2.105) с помощью (3.2.41) и (3.2.42),

определим компоненты вектора V скорректированного поля скоростей:

*В одночлене, содержащем буквенный повторяющийся в любом виде индекс, по этому индек-

су производится суммирование по правилу А. Эйнштейна.

411

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ОМД МЕТОДАМИ МСС

Затем по формуле Дж. Стокса (1.2.137) с помощью поля скоростей (3.2.43) находим скорости деформаций скорректированного решения:

412

3.2. ПРИМЕНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ КВ ПОЛЕЙ СКОРОСТЕЙ

В формулах (3.2.43), (3.2.44) скорректированного решения использованы кинематические параметры vk и ξjk основного решения (3.1.64) или (3.2.38), а также ξjk = 0 или (3.2.40) для зон I, III или II соответственно (рис. 101).

С помощью параметров (3.2.43) и (3.2.44) составлен функционал Ж. Лагранжа (2.1.7)

где для пластического течения (Т = τт) несжимаемых изотропных сред, участвующих в изотермическом процессе движения, скоростной потенциал ΠV определяется реологической зависимостью предела текучести на сдвиг τт = τт (Η) от интенсивности сдвиговых скоростей деформаций Н (2.1.5):

S+ (ψ = ψ+) и верхней S– (ψ = ψ–) граничных линиях тока (рис. 97); для плоского течения несжимаемых сред интенсивность сдвиговых скоростей деформа-

ций Η вычисляется по формуле типа (1.2.161): Η = 2 Ξ112 + Ξ122 .

Минимизацию функционала (3.2.45) по варьируемым параметрам zj можно осуществить на ЭВМ, например методом покоординатного спуска.

На рис. 102, а показано распределение изотах vk = const и линий одинакового уровня степени деформации сдвига Λ = const для основного непрерывного

413

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ОМД МЕТОДАМИ МСС

поля скоростей (3.1.64), (3.2.38), а на рис. 102, б – таких же изолиний Vk = const и /= const для скорректированного с помощью функционала Ж. Лагранжа (3.2.45) поля скоростей (3.2.43).

kΤ, и k+ учитывают влияние на Ωт интенсивности сдвиговых деформаций, температуры и интенсивности сдвиговых скоростей деформаций соответственно.

При реализации вариационного принципа Ж. Лагранжа для температуры деформации Τ τ 400 оС влияние деформационного упрочнения и температуры считали пренебрежимо малым (k = 1; kΤ = 1). Коэффициент k+ в соответствии с экспериментальными данными А. В. Третьякова и В. И. Зюзина аппроксимировали в линейном виде: k+ = 0,0175 ++ 0,833. В этом случае скоростной потенциал (3.2.46) 3V = 4,572 +2 + 43,524 +.

Для задания контактного напряжения Ωn в функционале Ж. Лагранжа (3.2.45) использовали базисное значение Ωт и закон трения Э. Зибеля (2.2.29): Ωn = 104,5 Πт. В расчетах для минимизации функционала Ж. Лагранжа (3.2.45) и построения картин на рис. 102, б использовали коэффициент трения по напряжению плас-

Задача 3.2.2.2. Используя КВ-поля скоростей предыдущей задачи, определить давление, необходимое для осуществления процесса РКУП.

Решение. Давление при РКУП определим из баланса мощности внутренних и поверхностных сил (1.4.44):

414

3.2. ПРИМЕНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ КВ ПОЛЕЙ СКОРОСТЕЙ

Для расчета среднего давления по формуле (3.2.48) воспользуемся результатами предыдущей задачи и приведенными в ней данными, соответствующими алюминиевому сплаву 2024 (Д16) при температуре 400 оС.

На рис. 103 приведено сравнение значений удельного давления прессо-

вания q/Ωт, рассчитанных по формуле (3.1.66), полученной с использованием разрывного КВ-поля скоростей для идеальной жесткопластичной

среды (Ωт = const), и по формуле Рис.103. Зависимость давления от угла канала

(3.2.48), полученной на основе скор-

ректированного непрерывного КВ-поля скоростей для вязкой среды (Ωт = var). В последнем случае для определения среднего удельного давления расчетную величину давления q относили к базисному значению напряжения пластического сдвига Ωт = 52,25 МПа.

Здесь еще раз напомним, что всякое КВ-поле скоростей позволяет получить верхнюю оценку энергосиловых параметров процесса ОМД по сравнению с Р- полем. Из двух полей скоростей скорректированное непрерывное КВ-поле скоростей ближе к Р-полю, чем разрывное. Поэтому соответствующее первому полю давление прессования имеет меньшие значения по сравнению с давлением для разрывного КВ-поля скоростей (рис. 103). При угле = 0 деформация отсутствует и давление затрачивается лишь на преодоление контактного трения. Поэтому при ο 0 для обоих полей давления становятся одинаковыми.

3.2.3. Моделирование процесса листовой прокатки

Задача 3.2.3.1. Используя разрывное КВ-поле скоростей (3.1.7) задачи 3.1.1.1 с

415

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ОМД МЕТОДАМИ МСС

III (Eн1 ≤ Е2 ≤ Ef1), IV (Ef1 < Е2 < Ef), V (Ef ≤ Е2 ≤ E+) и введем вспомогательные координаты xi. Во всех зонах I–V вспомогательная координата х1 совпадает с эйлеровой координатой Е1 (х1 = Е1). Вспомогательная координата (склеивающая функция) х2 совпадает с эйлеровой координатой Е2 (х2 = Е2) лишь в зонах I, III и V, а в зонах II и IV (П3.57)

где для зоны II: a = Eн1; b = 0,3125; g = 2(Eн1 – Eн)/π; E* = (2Е2 – Eн1 – Eн)/g, а для

зоны IV: a = Ef1; b = – 0,3125; g = 2(Ef1 – Ef)/π; E* = (2Е2 – Ef1 – Ef)/g. В этом случае разрывное поле скоростей (3.1.2) становится непрерывным и представ-

ляется в ином, чем в (3.1.7), виде (П3.58) с учетом (П3.57):

где текущая высота (П3.59) проката h, в отличие от (3.1.6), также связана с координатой (П3.57):

частная производная (П3.60)

Склеивающая функция f формул (П3.58) в зонах I, III и V равна единице, а в зонах II и III (П3.61)

f= ∂ x2 = 0,5 + 2b(9sin E + sin3E ).

∂E2

Ее производная f ′ в первых зонах равна нулю, а во вторых (П3.63)

f′ = ∂2 x2 = 4b (9cos E + 3cos3E ).

∂E22 g

416

3.2. ПРИМЕНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ КВ ПОЛЕЙ СКОРОСТЕЙ

Полю скоростей (П3.58) соответствует функция тока (П3.54)

ψ= −V0 h0hE1

сграничными значениями ψ+ = 0,5V0 h0 (E1 = – 0,5 h0) и ψ– = 0 (E1 = 0).

По формуле Дж. Стокса (1.2.137) определяем компоненты тензора скоростей деформаций основного решения:

Кинематические параметры основного решения (П3.54) (П3.58) (3.2.49), обозначенные прописными буквами, используем для построения по методу М.М. Филоненко-Бородича скорректированного решения, в котором эти же параметры будем обозначать соответствующими заглавными буквами.

Функция тока скорректированного решения

где функция тока ψ основного решения рассчитывается по формуле (П3.54). Корректирующая функция Φ в (3.2.50) должна удовлетворять однородным граничным условиям, т. е. обращаться в ноль на границе области при ψ= ψ+; ψ = ψ–

и E2 = E2+ ; E2 = E2− . Для построения такой функции воспользуемся методом разделения переменных

zj – варьируемые параметры.

417

3.МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ОМД МЕТОДАМИ МСС

Вназначенных эйлеровых координатах (рис. 103) изолинии лагранжевых

координат L1 = const совпадают с линиями тока и в гидродинамике обычно такие линии связывают с функцией тока Ψ, вдоль которых Ψ = const. Поэтому Ψ и

L1 должны совпадать с точностью до постоянного сомножителя и несущественного для поля скоростей слагаемого (1.2.103):

Ψ = – V0 L1+ С.

Тогда по формулам (2.1.105) находим компоненты вектора скорости скорректированного решения

или c учетом (3.2.50)

Задача 3.2.3.2. Используя непрерывное поле скоростей скорректированного решения (3.2.54) предыдущей задачи, определить компоненты тензора скоростей деформаций.

Решение. По формуле Дж. Стокса (1.2.137) определяем компоненты тензора скоростей деформаций скорректированного решения:

418

3.2. ПРИМЕНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ КВ ПОЛЕЙ СКОРОСТЕЙ

где в соответствии с (3.2.55)

Задача 3.2.3.3. Используя кинематические параметры задач 3.2.3.1 и 3.2.3.2, осуществить изопериметрическую постановку вариационной задачи о листовой прокатке вязкопластичных сред.

Решение. Компоненты тензора скоростей деформаций (3.2.56) скорректированного поля скоростей (3.2.54) вместе с (3.2.55) и (3.2.57) позволяют рассчитать интенсивность сдвиговых скоростей деформаций (1.2.161):

Η = 2 ξ112 − ξ122 .

Для вязкопластичных сред при заданном соотношении Τ = Τ(Η) интенсивности касательных напряжений Τ от интенсивности сдвиговых скоростей деформаций Η определяем мощность внутренних сил

E− 0

которая является целевым функционалом с варьируемыми параметрами zj (2.1.44). В формуле (3.2.58) вследствие симметрии области прокатки (рис. 103) интегрирование по координате E1 выполняется в нижней ее половине 0 ≤ E1 ≤ 0,5h, где текущая высота проката h вычисляется по формуле (П3.59).

419

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ОМД МЕТОДАМИ МСС

Непосредственно целевой функционал (3.2.58) не учитывает никаких граничных условий (ни статических, ни кинематических) и лишь опосредованно через КВ-поле скоростей (П3.58), на котором он построен, в нем учитываются только кинематические граничные условия. Поэтому на экстремали этого функционала необходимо наложить ограничения, связанные с остальными видами механических граничных условий. Таким интегральным ограничением может служить баланс мощности (2.1.54)

JБ = Int – Ext = 0,

где мощность внешних сил без учета массовых и инерционных сил

Здесь Ωn – касательное напряжение на контактной поверхности металл–валок с площадью Sот в зоне отставания и Sоп – в зоне опережения (пояснения зон даны в решении задачи 3.1.2.1).

Теоретически в изоперметрической постановке поиск экстремума целевого функционала (3.2.58) с интегральным ограничением (2.1.54) заменяется поиском экстремума вспомогательного функционала

записанного с помощью неопределенного множителя ΟЖ. Лагранжа. Для простейших задач МСС при их безмашинном решении (без применения ЭВМ) этот множитель входит как дополнительный коэффициент в замкнутое относительно варьируемых параметров zj множество уравнений

wz j

иопределяется из условия (2.1.54). Например, это показано в пп. 2.1.4 при решении задачи о движении линейно-вязкой среды в прямолинейной полосе. Более

420