книги / Механика сплошных сред (теоретические основы обработки давлением композитных материалов с задачами и решениями, примерами и упражнениями)

П1. ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОГО И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ

или

xi = αk i xk′ .

Тогда

∂x′i = αk i .

∂xk

Рассмотрим производные компонент вектора a в новом базисе по новым координатам:

При переходе к новому множеству координат ai′ = αiq aq . Тогда

а это и есть закон (П1.27), записанный для преобразования компонент тензора второго ранга.

Примечание. Поскольку дифференциал каждой компоненты вектора a

или

491

ПРИЛОЖЕНИЕ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД)

Иначе, полная производная вектора по векторному аргументу образует тензор второго ранга:

Тензор с транспонированной матрицей называется градиентом вектора

Задача П1.8.1.3. В точке М(1, 2, 3) вычислить полную производную вектора a = x1 x2 e1 + x2 x3 e2 + x3 x1 e3 по вектору x , градиент этого вектора и след матриц полученных тензоров.

Решение. По формуле (П1.8.13) проводим вычисление полной производной вектора по векторному аргументу

Матрицу градиента вектора a можем получить транспонированием предыдущей матрицы

или в точке М

492

П1. ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОГО И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ

2 0 3a = 1 3 0 .

0 2 1

Отметим, что след матрицы обоих полученных тензоров равен дивергенции вектора a :

a = ∂ at .

∂xi

Спомощью числовых значений компонент матриц тензоров получим

a = 2 + 3 +1 = 6.

Задача П1.8.1.4. Показать, что альтернативная часть полной производной вектора a по векторному аргументу x связана с вихрем векторного поля a .

Решение. Разложим полную производную вектора a по векторному аргументу задачи П1.8.1.2 на симметричную и альтернативную части. Разложение, используя дифференциал вектора a , представим в виде

Здесь второе слагаемое полного дифференциала d a есть произведение антисимметричной части полной производной вектора a по векторному аргументу

на дифференциал d x . Обозначим это произведение через d b и распишем его с цифровыми индексами:

493

ПРИЛОЖЕНИЕ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД)

Теперь рассмотрим векторное произведение

d c = ( a) d x.

Компоненты промежуточного вектора (ротора вектора a )

d = × a

записываются с помощью символа Т. Леви-Чивиты (П1.4)

Тогда компоненты вектора d c = d× d x найдем как векторное произведение

Расписывая последнее соотношение по цифровым индексам, учитывая свойства символа Т. Леви-Чивиты (П1.4), получим

Сравнивая компоненты векторов d b и d c , устанавливаем, что

Задача П1.8.1.5. Показать, что ротор второго ранга градиента вектора b равен нулю.

494

П1. ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОГО И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ

Решение. Градиент вектора b обозначим тензором

Τa = b ,

Теперь вместо компонент aik подставим соответствующие значения компонент градиента вектора b и покажем, что полученный результат тождественно равен нулю:

Действительно, учитывая, что индексы j и i принадлежат одному и тому же символу Т. Леви-Чивиты, а также производится дифференцирование по аргументам xj и xi с такими же индексами, устанавливаем:

1)замена отличных друг от друга цифровых значений индексов j и i местами изменит знак символа Т. Леви-Чивиты на противоположный;

2)такая же замена не повлияет на порядок дифференцирования по аргу-

ментам xj и xi.

На основании изложенного, при суммировании по повторяющимся индексам j и i эта сумма будет состоять из нескольких пар одинаковых слагаемых, отличающихся знаком. Поэтому сама сумма будет тождественно равна нулю.

Окончательно

2 ( b ) ≡ 0.

Самостоятельно. Доказать следующее тождество

2 × dd bx ≡ 0.

495

ПРИЛОЖЕНИЕ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД)

Задача П1.8.1.6. Показать, что при векторном умножении тензорного оператора набла второго ранга на симметричную Tb и кососимметричную Tc части потенциального тензора Ta получаются нулевые тензоры.

Решение. Потенциальность тензора Ta второго ранга

2 Ta = 0

предполагает существование такого вектора d , что тензор равен градиенту этого вектора:

Τa = d .

Вэтом случае компоненты тензора

aqm = ∂dm .

∂ xq

Тогда условие потенциальности обращается в тождество:

Самостоятельно непосредственным расписыванием последнего тождества по цифровым индексам убедиться в его выполнении.

Транспонированный тензор Τaт исходного тензора имеет компоненты

am q = ∂dm ,

∂ xq

и подстановка их в условие потенциальности вместо компонент исходного тензора не внесет существенной поправки в это условие:

Таким образом, транспонированный тензор потенциального тензора также является потенциальным. Тогда для симметричной части исходного тензора получаем

496

П1. ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОГО И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ

и для альтернативной части имеем

Окончательно для потенциального тензора Ta его симметричная Tb и альтернативная Tc части также потенциальны:

2 × Tb ≡ 0; 2 × Tc ≡ 0.

П1.8.2. Дифференцирование тензорных полей по времени

Задача П1.8.2.1. По заданному тензору

определить его частную производную по времени, когда все координаты xi являются линейно независимыми и не зависят от времени t.

Решение. Для решения этой задачи необходимо найти частную производную по времени t от всех компонент заданного тензора:

Задача П1.8.2.2. По тензору, заданному в предыдущей задаче, определить его полную производную по времени t, когда все координаты xi также линейно независимы, но все они зависят от времени xi = ait, где величины ai являются константами.

497

ПРИЛОЖЕНИЕ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД)

определить указанные компоненты матрицы Mg = ((gij)).

Варианты по пункту Б ДЗ № 1

500