книги / Механика сплошных сред (теоретические основы обработки давлением композитных материалов с задачами и решениями, примерами и упражнениями)

3.3. ПЛАСТИЧЕСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ КОМПОЗИТОВ

441

ПРИЛОЖЕНИЕ (Математические основы механики сплошных сред)

П1. ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОГО И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ

П1.1. Тензоры в декартовых координатах

Вбольшинстве случаев там, где нет специальных оговорок, все понятия рассматриваются в правом, прямоугольном, декартовом множестве осей координат и термин «тензор» обычно будет означать «декартов тензор»*.

Прежде чем дать определение тензора, обратимся к некоторым сведениям из векторной алгебры и матричного исчисления, обобщение которых приведет

кпонятию тензора произвольного ранга.

Втрехмерном пространстве, определяемом тремя отрезками ek (ортами) еди-

ничной длины, направленными по координатным осям xk, вектор a считается заданным, если заданы три его проекции (компоненты) ak на направления k-х ортов** a = ak ek .

В векторной алгебре определены два типа умножения вектора на вектор:

скалярное умножение

С помощью скалярного произведения (П1.1) введено понятие нормы (модуля,

* В учебнике вместо понятия «система координат», несовместимого с понятием «система», используется «множество (осей) координат».

** Во всем Приложении, как и в основном тексте учебника, применяются правило А. Эйнштейна и исключение из него – А. И. Лурье (см. список принятых обозначений и сокращений).

442

П1. ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОГО И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ

Если норма вектора равна нулю, то такой вектор называется нулевым, а если единице, то – единичным, или нормированным. Нулевой вектор не имеет направ ления.

В формуле (П1.2) символ Т. Леви Чивиты ijk равен единице при четной (123, 231 или 321) круговой перестановке численных значений индексов символа в трехмерном пространстве N, минус единице – при нечетной (обратной 132, 321 или 213) их перестановке и нулю – во всех остальных случаях, когда хотя бы два любых из трех индексов символа принимают одинаковые численные значения:

1 (123, 231, 312)

ранга m с m индексами. Каждый из таких символов, так же как и обычный сим вол (П1.4), может принимать только три значения + 1, 0, –1. При одинаковых цифровых значениях хотя бы двух любых индексов обобщенный символ Т. Леви Чивиты произвольного ранга равен нулю.

Если в символе Т. Леви Чивиты третьего ранга третий индекс зафиксиро вать на цифре три, то получим символ Т. Леви Чивиты второго ранга

Знаки символов Т. Леви Чивиты более высокого ранга прямо или опосредо ванно связаны определенными правилами со знаками символа Т. Леви Чивиты третьего ранга. Для четвертого ранга

и т. д. Иными словами, обобщенный символ Т. Леви Чивиты произвольного ран га m легко определяется через символ ранга m – 1. При этом, если ранг m – четная цифра и эта цифра в качестве индекса стоит на четной позиции, то зна ки символов Т. Леви Чивиты рангов m и m – 1 совпадают, а в противном слу

443

ПРИЛОЖЕНИЕ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД)

чае – различаются. Точно так же, если ранг m – нечетная цифра и эта цифра в качестве индекса стоит на нечетной позиции, то знаки символов Т. Леви-Чиви- ты рангов m и m – 1 совпадают, в противном случае – различаются.

Значение символа Т. Леви-Чивиты для МСС показано в основном тексте учебника. Здесь приведем другую полезную область его применения, связанную с раскрытием определителя произвольного порядка m:

если их скалярное произведение (П1.1) равно нулю. В частности, ортогональность и нормированность ортов

можно записать с помощью символа Л. Кронекера δjk, который равен единице при одинаковых численных значениях индексов символа и нулю – при разных:

444

П1. ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОГО И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ

Векторное произведение (П1.2) коллинеарных векторов a и b равно нулю.

В противном случае такое произведение дает новый вектор c . Если ни один из векторов-сомножителей не является нулевым вектором, то норма векторного произведения равна площади параллелограмма, построенного на сомножителях как на сторонах, а вектор c направлен перпендикулярно плоскости, содержащей два вектора-сомножителя, так что из его конца кратчайший поворот от первого сомножителя ко второму виден в положительном (против часовой стрелки) направлении. В частности, с помощью произведений (П1.1) и (П1.2) записывается более общее, чем (П1.13), условие нормированности, ортогональности и некомпланарности ортов:

Рассмотрим два множества координат xj и xk′ с общим началом: первое с ортами ej назовем старым, а второе с ортами ek′ – новым. Проекции (направляю-

щие косинусы) j-х ортов нового множества на направление k-го орта старого множества обозначим αkj. Тогда

Для трехмерного пространства девять чисел αkj в (П1.16) и (П1.17) можно записать как квадратную матрицу ((αjk)) третьего порядка направляющих косинусов:

Приведем некоторые сведения из теории матриц.

Всякая прямоугольная таблица Ma чисел ajk, состоящая из m строк и n столбцов, называется матрицей размерности m × n:

445

ПРИЛОЖЕНИЕ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД)

где матричные скобки (двойные круглые) позволяют внешне отличать матрицу от аналогичных выражений, заключенных в алгебраические (одинарные круглые) скобки. Каждая компонента (число) матрицы ajk находится на пересечении j-й строки и k-го столбца (j = 1...m; k = 1...n). При n = 1 (П1.19) называется

матрицей столбцом, а при m = 1 – матрицей строкой. Если m = n, то (П1.19) называется квадратной матрицей порядка m(n).

В квадратной матрице компоненты с одинаковыми численными значениями индексов (j = k) составляют главную диагональ, а сами такие компоненты называются диагональными. Остальные компоненты матрицы (j ≠ k) называются боковыми.

Если все компоненты квадратной матрицы, кроме диагональных, равны нулю, то она называется диагональной матрицей. Диагональная матрица, диагональные компоненты которой равны единице, называется единичной матрицей Mδ. Ее компоненты записываются с помощью символа Л. Кронекера (П1.14):

Упражнение П1.1. С помощью (П1.16) и (П1.17), используя (П1.13) и (П1.14), доказать справедливость:

свойств компонент строк матрицы косинусов (П1.18)

а с использованием (П1.14), (П1.15) и (П1.16) или (П1.17) доказать справедливость свойства определителя (П1.11), составленного из компонент матрицы косинусов (П1.18):

446

П1. ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОГО И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ

Пусть в пространстве задан вектор a с компонентами ak и a′j в старом и но-

вом множествах координат соответственно. Сам вектор в любом множестве координат остается неизменным, т. е.

а закон преобразования компонент вектора при повороте множества координат найдем из (П1.24) с помощью (П1.17):

Соотношение (П1.25) справедливо не только для рассматриваемого трехмерного, но и для любого N-мерного пространства.

Теперь дадим определение скаляра и вектора с позиции тензорной алгебры. Тензором нулевого ранга (скаляром) в N-мерном пространстве называется математическая величина, характеризуемая одной (N0 = 1) компонентой а, которая при повороте множества координат с помощью матрицы косинусов ((αjk))

(П1.18) преобразуется по закону

Тензором первого ранга (вектором) в N-мерном пространстве называется математическая величина, характеризуемая N (N1 = N) компонентами aj, каждая из которых при повороте множества координат с помощью матрицы косинусов Mα = ((αjk)) (П1.18) преобразуется по закону (П1.25).

Величины, которые не меняются в результате какого-либо преобразования, называются инвариантами по отношению к этому преобразованию. В частности, тензор нулевого ранга инвариантен (П1.26) к повороту множества координат.

Упражнение П1.2. Доказать, что величина, определяемая формулой (П1.1), инвариантна к повороту множества координат при выполнении свойств (П1.21) и (П1.22)

Таким образом, изучаемые в векторной алгебре действия над скалярами и векторами фактически являются действиями над тензорами нулевого и первого рангов соответственно.

Теперь обобщим два известных из векторной алгебры понятия, названных

тензорами нулевого и первого рангов. Это обобщение приводит к новому поня-

n

тию тензора ранга n, обозначаемого Τa .

Прежде всего обобщим законы (П1.25) и (П1.26), записанные для тензоров первого и нулевого рангов соответственно:

447

ПРИЛОЖЕНИЕ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД)

Легко показать, что (П1.27) является обобщением (П1.25) и (П1.26). Действительно, из (П1.27) при n = 0 (индексы у единственной компоненты и со-

0

множители αjk при ней отсутствуют) получим закон (П1.26) для величин a = Τa ,

1

а при n = 1 – закон (П1.25) для величин a = Τa .

n

Для новых математических величин Τa сохраним структуру определения уже известных тензоров нулевого и первого рангов.

Тензором ранга n в N-мерном пространстве называется математическая вели-

чина, характеризуемая Nn компонентами ap q , каждая из которых при пово-

n

роте множества координат с помощью матрицы косинусов Mα = ((αjk)) (П1.18) преобразуется по закону (П1.27).

Иногда ранг тензора называют валентностью тензора.

В фиксированном множестве координат всякий тензор характеризуется матрицей. В частности, матрица скаляра – одно число (одна строка и один столбец). Матрица вектора может быть представлена в виде матрицы-строки или матрицы-столбца. Тензор второго ранга (n = 2) имеет квадратную матрицу порядка N; тензоры более высокого ранга (n > 2) имеют более сложные матрицы порядка Nn – 1. Так, в трехмерном пространстве (N = 3) тензор третьего ранга характеризуется матрицей-кубом. Такая матрица получается, если в центре куба, в центрах его граней, ребер и в вершинах поместить числа. В декартовом множестве координат примером тензора третьего ранга является тензор Τ. Леви-

3

Чивиты Τ с компонентами (П1.4), которые в соответствии с (П1.27) при повороте множества координат преобразуются по закону

В компактной форме тензор ранга n обозначается в виде

n

Τa = ai k , n

448

П1. ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОГО И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ

где тензорные скобки (двойные квадратные) позволяют внешне отличать тензор от матрицы, компоненты которой заключаются в двойные круглые скобки (П1.19), и от аналогичных выражений, заключенных в алгебраические (одинарные квадратные) скобки. По существу (из определений) тензор любого ранга отличается от своей матрицы тем, что при повороте множества координат сам тензор остается неизменным, т. е.

аизменяется только его матрица.

Восновном тексте тензоры нулевого и первого рангов чаще называются скаляром и вектором и обозначаются буквой и буквой со стрелкой соответственно, как это принято в векторной алгебре. Для тензора второго ранга, как наиболее часто встречающегося в тексте учебника по сравнению с тензорами более высокого ранга, символ ранга над символом тензора опускается, а сам тензор второго ранга записывается следующим образом:

а сам тензор второго ранга назавем просто тензором.

Тензор произвольного ранга, матрица которого не меняется при повороте множества координат, называется изотропным. Простейшим таким тензором является скаляр. Примером изотропного тензора второго ранга является еди

ничный тензор

компоненты которого записываются с помощью символа Л. Кронекера (П1.13). Упражнение П1.3. Используя (П1.20) или (П1.21), показать, что компоненты единичного тензора (П1.30) в любом множестве координат имеют единичную

матрицу (П1.19) Любая допустимая комбинация, в том числе линейная, изотропных тензо-

ров образует изотропные тензоры.

П1.2. Задачи по матричному исчислению

П1.2.1. Сложение, вычитание и умножение матриц

Задача П1.2.1.1. Найти сумму (выполнить операцию сложения) матриц Ma и Mb размерностью m × n = 2 × 3:

449

ПРИЛОЖЕНИЕ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД)

Решение. Mc = Ma + Mb или cik = aik + bik:

Задача П1.2.1.2. Найти разность (выполнить операцию вычитания) матриц Ma и Mb размерностью m × n = 3 × 2:

Задача П1.2.1.3. Найти произведение (выполнить операцию умножения) числа α = 3 и матрицы Ma размерностью 3 × 4:

2131 Ma = ((ai k )) = 4205 .

1764

450