книги / Механика сплошных сред (теоретические основы обработки давлением композитных материалов с задачами и решениями, примерами и упражнениями)

П2. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

J (Y0 + Z ) − J (Y0 ) = ∫1 (Z′2 + Z 2 )dx ≥ 0,

0

причем знак равенства будет иметь место лишь при Z(x) = 0. Следовательно, функция Y(x), удовлетворяющая уравнению Л. Эйлера–Ж. Лагранжа (П2.52) функционала (П2.51), сообщает этому функционалу абсолютный минимум среди всех непрерывно дифференцируемых функций.

Уравнение Л. Эйлера–Ж. Лагранжа (П2.38) имеет следующие обобщения. Так, если

то при заданных граничных условиях для всех производных функций Yk по аргументам xj порядка от 0 до n – 1 экстремали функционала (П2.54) могут определяться решением множества обобщенных дифференциальных уравнений Л. Эй

лера–Ж. Лагранжа

Для одной функции Y (k = 1) одного аргумента (j = 1) из (П2.55) получается

дифференциальное уравнение Л. Эйлера–С. Пуассона

а для одной функции Y двух аргументов (j = 2) с производными этой функции в подынтегральном выражении не выше первого порядка – дифференциальное

уравнение Л. Эйлера–М.В. Остроградского

551

ПРИЛОЖЕНИЕ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД)

Упражнение П2.4. Показать, что функционал

π

J = ∫2 (Y1′2 + Y2′2 + 2Y1Y2 )dx

0

ляться функция Y = cosx.

Упражнение П2.6. Показать, что функции, которые могут сообщать экстремум функционалу

где – оператор (П1.76), а при f = 0 – должны быть гармоническими, т. е. удовлетворять гармоническому дифференциальному уравнению П. Лапласа

Упражнение П2.7. Показать, что функции, которые могут сообщить экстремум функционалу

должны быть бигармоническими функциями, т. е. удовлетворять бигармоническо

му дифференциальному уравнению

где 2 – бигармонический оператор (П1.77)

552

П2. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

В приложениях встречаются задачи о нахождении экстремалей функционала в рамках определенных ограничений, накладываемых на варьируемую функцию. Пусть требуется найти экстремум функционала (П2.54) при дополнительных ограничениях, накладываемых на функции Yk:

называемых голономными связями. Для решения такой задачи вместо функционала (П2.54), называемого в данном случае целевым функционалом, записывают

вспомогательный функционал

подынтегральное выражение которого представляют в виде

Φ= F + λj fj .

Вэтом случае неопределенные множители Ж. Лагранжа λj и функции Yk находятся из решения замкнутого множества (П2.55), с заменой в них F на Φ (F → Φ), и уравнений (П2.63). Таким же образом поступают при наложении неголономных связей

где через pk и qk обозначены такие же величины, как в формуле (П2.54). При этом в замкнутое множество вместо уравнения (П2.63) включают уравнения (П2.65).

Если накладываемые на экстремали ограничения представлены в интегральном виде

то такие ограничения называются изопериметрическими, а вариационные задачи о поиске экстремума с интегральными ограничениями типа (П2.66) – изопе риметрическими задачами. Для решения таких задач вспомогательный функционал I записывают в виде суммы основного функционала, например (П2.54), и интегральных ограничений типа (П2.66), умноженных на неопределенные множители λp Ж. Лагранжа:

Теперь для функционала (П2.67) можно решать обычную вариационную задачу об определении экстремалей с заданными граничными условиями. При этом решение такой задачи будет зависеть от неопределенных множителей Ж. Лагран-

553

ПРИЛОЖЕНИЕ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД)

жа, которые определяются из замкнутого множества уравнений, получаемого подстановкой этих решений в интегральные ограничения типа (П2.66).

Упражнение П2.8. Записать замкнутое множество уравнений для определения функций x2 = x2(x1); x3 = x3(x1) и неопределенного множителя λ, соответствующих наикратчайшему расстоянию

между точками на поверхности f(xk) = 0 с координатами x1 = a1 и x1 = b1. Упражнение П2.9. Найти уравнение линии Y = Y(x) заданной длины

b

= ∫ 1+Y ′2 dx,

a

площадь

b

S = ∫Y dx

a

криволинейной трапеции под которой при Y(a) = Ya; Y(b) = Yb принимает максимальное значение

Таким образом, постановка вариационных задач заключается в записи функционала и определении условий для нахождения его экстремума. Определение экстремалей функционала из дифференциальных уравнений типа Л. Эйлера–Ж. Лагранжа с соответствующими граничными условиями и необходимыми связями, накладываемыми на подходящие для экстремалей функции и их производные, будем называть прямым решением вариационной задачи. При обратном решении вариационной задачи предполагается заданным некоторое замкнутое относительно конечного количества функций множество уравнений с необходимыми граничными условиями и связями, накладываемыми на эти функции и их производные. Рассматривая это множество как уравнения типа Л. Эйлера–Ж. Лагранжа для некоторого функционала, по нему восстанавливается этот функционал и определяется характер его экстремума (максимум или минимум) на экстремалях функционала. Тогда обратное решение вариационной задачи сводится к максимизации или минимизации восстановленного функционала с соблюдением граничных условий и связей, накладываемых на его экстремали и их производные. В связи с отсутствием в математике общих методов решения множеств нелинейных, неоднородных дифференциальных уравнений произвольного порядка, к которым в наиболее общем случае сводится прямое решение, а также благодаря развитию численных методов поиска экстремумов функций и широкому распространению электронных цифровых вы-

554

П2. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

числительных машин (ЭЦВМ), обратное решение наиболее часто применяется в реализации постановки вариационных задач.

Известно, что вычисление интегралов на ЭЦВМ связано с обязательной дис! кретизацией области интегрирования, в узлах которой любая функция задается множеством чисел. Поэтому величина (П2.19), изначально задаваемая как фун! кционал, при вычислении на ЭЦВМ превращается в заданное соответствие меж! ду двумя множествами чисел, а это по определению – функция, и поиск экстре! мума функционала при численной реализации обратного решения сводится к поиску экстремума функции.

Некоторые прикладные задачи позволяют составить функционал, завися! щий от двух функций J (Y, Z), принадлежащих различным множествам Y M; Z N. При этом для функционала справедливо равенство

Обозначая точное решение (П2.68) через I с помощью (П2.69) и (П2.70), полу! чаем две эквивалентные вариационные задачи

которые для функционала I называются двойственными вариационными задачами.

П2.4. Проекционные методы

Разложение функции Y гильбертова пространства в ряд Ж. Фурье (П2.19) по элементам ортонормированного полного множества (П2.17) со свойствами (П2.18) можно рассматривать как проектирование Y с помощью коэффициентов Ж. Фурье (П2.20) на элементы этого множества γi. Учитывая некоторую анало! гию между функциональными и векторными пространствами, графически на! глядно это можно изобразить в векторном пространстве, проектируя направ! ленный отрезок, являющийся геометрической интерпретацией вектора (П1.24)

555

ПРИЛОЖЕНИЕ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД)

с компонентами (П1.25), на направления ортов (П1.15). С этой точки зрения, всякое разложение функции Y по линейно независимым элементам Yj (П2.1), в том числе и ортонормированным γi, можно назвать проектированием Y на эти элементы. В таких случаях элементы Yj в (П2.1) называются координатными функциями, а коэффициенты λj разложения – проекциями функции Y на Yj .

Методы решения задач, основанные на применении координатных функций, называются проекционными методами. В вариационном исчислении такие методы получили название прямых вариационных методов. Суть их состоит в том, что исходную вариационную задачу рассматривают как предельную для некоторой вспомогательной задачи о поиске либо экстремума функции конечного количества переменных (например, в методе В. Ритца), либо экстремума функционала, зависящего от функций, определяемых меньшим количеством аргументов, чем функции функционала исходной вариационной задачи (например, в методе Л. В. Канторовича). При этом экстремум функции или функционала вспомогательной задачи отыскивается обычным способом, а решение исходной вариационной задачи получается, если это удается, предельным переходом. Если это не удается, то решение вспомогательной задачи можно рассматривать как некоторую оценку решения исходной вариационной задачи.

Рассмотрим некоторые прямые вариационные методы.

Пусть задан некоторый функционал J(Y), для которого требуется определить экстремаль. Представим искомую функцию Y(xk) в виде разложения по координатным функциям

В методе В. Ритца коэффициенты разложения αp не зависят от аргументов xk искомой и координатных функций. В этом случае исходный функционал будет иметь вид

После интегрирования назначенных в соответствии с граничными условиями координатных функций функционал (П2.73) превращается в функцию J(αp) коэффициентов разложения, которые находятся из решения замкнутого множества уравнений

Таким образом, прямой вариационный метод В. Ритца фактически сводит решение вариационной задачи к задаче о поиске экстремума функции. В приложениях этот метод часто оказывается весьма эффективным.

556

П2. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Если функционал J(Y) исходной вариационной задачи является многомерным интегралом, то для ее решения иногда эффективным является метод Л.В. Кан торовича, согласно которому исходная задача сводится к другой вариационной задаче с интегральной записью функционала меньшей размерности. Действительно, представим в разложении (П2.72) коэффициенты αp функциями одного из аргументов xk функции Y, например x = x1. Тогда в функционале J исходной задачи можно выполнить интегрирование назначенных координатных функций Yp по всем аргументам, кроме x1, и получить новый функционал I = I[αp(x)Zp(x)], где функции Zp(x) являются результатом такого интегрирования координатных функций Yp.

Теперь исходная вариационная задача свелась к определению экстремума функционала I. Экстремали такого функционала должны удовлетворять множеству обобщенных дифференциальных уравнений Л. Эйлера–Ж. Лагранжа типа (П2.55):

Для решения прямой вариационной задачи функцию Y, удовлетворяющую дифференциальному уравнению Л. Эйлера–Ж. Лагранжа, можно определить, используя проекционный метод И. Г. Бубнова–Б. Г. Галеркина. По своей сути этот метод не относится к вариационным методам и предназначен для решения дифференциальных уравнений. Однако, в связи с тем что всякая прямая вариационная задача всегда сводится к решению таких уравнений, изложению метода И. Г. Бубнова–Б. Г. Галеркина в вариационном исчислении уделяется должное внимание.

Представим дифференциальное уравнение типа уравнения Л. Эйлера–Ж. Лагранжа в общем виде с помощью некоторого дифференциального оператора L:

Так же как и в методе В. Ритца, в методе И. Г. Бубнова–Б. Г. Галеркина решение Y(xk) дифференциального уравнения (П2.75) раскладывается в ряд (П2.72) по не зависящим от аргументов функции Y коэффициентам αp. При подстановке в дифференциальное уравнение (П2.75) разложения (П2.72) в общем случае получим невязку f(xk) = L(αpYp), отличную от нуля. В соответствии с методом

557

ПРИЛОЖЕНИЕ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД)

И. Г. Бубнова–Б. Г. Галеркина коэффициенты разложения αp находятся из условия ортогональности каждой координатной функции Yp невязке f:

Поиск неизвестных коэффициентов αp при назначенных в соответствии с граничными условиями координатных функциях Yp сводится к решению замкнутого относительно этих коэффициентов множества уравнений (П2.76).

Контрольные вопросы

1.Назовите признаки корректности математической постановки задач.

2.Какие элементы называются линейно независимыми и как установить линейную независимость множества элементов с помощью определителя И. П. Грама?

3.Какое пространство называется линейным конечномерным?

4.Что называется базисом линейного пространства?

5.Как выполняется скалярное произведение двух функций?

6.Какие две функции называются взаимно ортогональными?

7.Что такое норма функции?

8.Какие функции образуют пространство L2?

9.Какое пространство называется метрическим и какими свойствами должно быть наделено расстояние между элементами метрического пространства?

10.Перечислите признаки принадлежности функций гильбертову пространству?

11.Как выполняется процедура ортогонолизации ряда линейно независимых функций и как этот ряд привести к ортонормированному виду?

12.Какие типы сходимости ряда функций вам известны и каковы признаки этих сходимостей?

13.Что называется функционалом? Приведите пример преобразования функционала в функцию.

14.Какая функция называется экстремалью функционала?

15.В чем состоит суть вариационной задачи?

16.Как осуществляются прямое и обратное решения вариационной задачи?

17.В чем суть изопериметрической постановки вариационных задач?

18.Как выполняется решение вариационных задач с помощью проекционных методов?

19.В чем состоит связь метода И. Г. Бубнова–Б. Г. Галеркина с решением вариационных задач?

558

П3. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ КООРДИНАТНЫХ ФУНКЦИЙ

П3.1. Глобальная аппроксимация с учетом граничных условий

П3.1.1. Метод М. М. Филоненко%Бородича

Область Ω, в которой предполагается выполнить построение необходимой функции Y преобразованием множества координат, обычно можно представить простой фигурой (плоской – прямоугольником, окружностью или объемной – прямоугольным параллелепипедом, цилиндром и т. п.). Удобно с помощью дополнительного преобразования координат привести их к такому виду xk, чтобы область исследования рассматривалась в пределах 0 ≤ xk ≤ 1.

Приведем пример функции y(x), удовлетворяющей на отрезке 0 ≤ x ≤ 1 граничным условиям y(0) = y+; y(1) = y–:

Естественно, что представление в таком виде позволяет получать лишь «фатальные» значения Y внутри исследуемой области изменения аргумента при Y = y.

Если на функцию Y наложены связи в виде, например, дифференциального уравнения Л. Эйлера–Ж. Лагранжа (П2.39), то построение такой функции можно выполнить, используя метод М. М. Филоненко Бородича, предложенный им для решения задач теории упругости (раздела МДТТ). Суть метода состоит в том, что искомая функция представляется в виде основного решения y(x), удовлетворяющего заданным граничным условиям, например, как в (П3.1), и кор ректировки z(x), удовлетворяющей однородным граничным условиям. Напомним, что условия на границе некоторой области для функции называются однородными, если функция на этой границе обращается в ноль. Таким образом,

где корректирующая функция z при разложении в ряд типа (П2.1) строится на координатных функциях zk, удовлетворяющих однородным граничным условиям. В рассмотренном выше примере построения функции на отрезке 0 ≤ x ≤ 1 основное решение может быть записано в виде (П3.1), а корректировка в виде

Упражнение П3.1. Показать, что ряд координатных функций в (П3.3) сходится по норме на отрезке 0 ≤ x ≤ 1

Отметим, что для построения корректирующих функций наряду с полиномиальными рядами типа (П3.3) часто применяются тригонометрические, сходящиеся в том или ином смысле ряды.

559

ПРИЛОЖЕНИЕ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД)

Корректировку функции Y нескольких аргументов xp можно построить, используя метод разделения переменных, когда корректирующая часть z(xp) искомой функции представляется в виде произведения нескольких функций Ak:

каждая из которых зависит только от одного из аргументов искомой функции Y и обеспечивает выполнение однородных граничных условий для всей корректировки z в целом. В частности, в гиперкубе 0 ≤ xk ≤ 1 при однородных граничных условиях для построения функций Ak(xk) можно использовать представления типа (П3.3):

П3.1.2. Метод В. Л. Рвачева

Универсальным методом построения удовлетворяющих однородным граничным условиям корректирующих функций является метод с применением R функ ций В. Л. Рвачева. Суть метода основана на алгебре логики, которая позволяет ввести три операции:

1) R конъюнкция (и)

2) R дизъюнкция (или)

где α – произвольная функция (–1 ≤ α(x, y) ≤ 1); 3) R отрицание

С помощью этих операций область Ω разбивается на ряд канонических (простых) подобластей, заданных уравнениями wj. При этом способ разбиения Ω на Ωj полностью определяет вид уравнения w, описывающего область Ω с помощью уравнений wj.

560