книги / Механика сплошных сред (теоретические основы обработки давлением композитных материалов с задачами и решениями, примерами и упражнениями)

П2. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

где Y ′ – производная функции Y по аргументу x. Значения Y(a) = Ya и Y(b) = Yb функции Y(x) в точках a и b предполагаются заданными. Движение будем рассматривать в области x > 0; Y > 0.

Функционалы типа (П2.35) можно представить в общем виде:

a

В простейшем случае концы x = a и x = b отрезка считаются фиксированными и задача вариационного исчисления состоит в нахождении функции, которая сообщает функционалу (П2.36) экстремум при заданных граничных условиях Ya и Yb.

Вдифференциальном исчислении рассматриваются два понятия экстрему-

ма: локальный экстремум, когда существует некоторая окрестность точки x0, для которой Y(x) < Y(x0) (локальный максимум) или Y(x) > Y(x0) (локальный минимум), и глобальный экстремум – наибольшее или наименьшее значение функции на заданном отрезке.

Ввариационном исчислении также вводятся понятия относительный и аб солютный экстремум функционала. Относительный экстремум ищется на множестве близких между собой функций, а абсолютный – на множестве всех функций одного класса (например, на множестве непрерывно дифференцируемых функций).

Сначала рассмотрим вариационные задачи на относительный экстремум. Как

ив дифференциальном исчислении, исследование начнем с установления необходимого условия существования экстремума функционала. Поиск экстремума осуществляется на множестве функций, близких к экстремали функционала.

Пусть Y(x) – экстремаль функционала (П2.36). Тогда совокупность множества близких к ней функций запишем из (П2.22) с помощью малого α парамет-

ра (П2.23): Y ( x) =Y (x) + αZ ( x) с однородными граничными условиями

Z(a) = Z(b) = 0. Теперь интеграл (П2.36) приводится к виду

a

Здесь запись J(α) в левой части означает, что после интегрирования подынтегрального выражения по х в пределах от a до b функционал J(Y, α, Z) превратится в функцию J = J(α). Так как экстремаль Y(x) дает экстремум интегралу J, то ясно,

541

ПРИЛОЖЕНИЕ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД)

что в (П2.37) этот экстремум получится при α = 0. В этом случае необходимым условием существования экстремума функционала является равенство нулю

первой производной функции J(α) в точке α = 0: J ′(α) α=0 = 0 . Таким образом

a

где FY, FY ′ – частные производные подынтегральной функции F по Y и Y ′ соответственно. После интегрирования по частям с учетом граничных условий для

Z получим дифференциальное уравнение Л. Эйлера–Ж. Лагранжа:

где второе слагаемое левой части представляет собой полную производную FY по х, которая определяется следующим образом:

Подстановкой (П2.39) в (П2.38) получаем окончательный вид дифференциального уравнения Л. Эйлера–Ж. Лагранжа

для которого должны выполняться граничные условия Y(a) = Ya, Y(b) = Yb и при заданном подынтегральном выражении F функционала (П2.36) производные

FY ′Y ′ , FYY ′ , FxY ′ и FY получены дифференцированием F по соответствующим переменным, вынесенным на позиции индексов.

Исходное предположение о том, что функция Y(x) является экстремалью функционала (П2.36), привело к необходимости решения уравнения (П2.40) для

определения вида этой функции. Отметим, что выражение J ′(0) , которое яв-

ляется производной функции J(α) по α в точке α = 0, в вариационном исчислении обычно обозначается δJ и в таком обозначении необходимое условие экстремума функционала совпадает с (П2.33).

Приведем несколько примеров нахождения экстремалей функционалов типа (П2.36).

542

П2. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Пример 1. Найти, на каких кривых может достигнуть экстремума функционал

π

J = ∫2 (Y ′2 −Y 2 )dx

0

при следующих граничных условиях: Y(0) = 0; Y π =1.

2

Решение. По исходному условию имеем:

FY (x, Y , Y ′) = Y ′2 −Y 2 .

Отсюда FY = –2Y, FY ′ = 2Y ′, FY ′Y ′ = 2, FYY ′ = FxY ′ = 0, и уравнение Л. Эйлера– Ж. Лагранжа (П2.40) принимает вид

Y′′+Y = 0.

Получили однородное, линейное дифференциальное уравнение второго порядка с общим решением

Y(x) = C1cosx + C2sinx.

Для определения констант интегрирования C1 и C2 воспользуемся гранич-

но, экстремум заданного функционала может достигаться только на кривой Y = sinx. Однако, чтобы установить, достигается ли в действительности экстремум (максимум или минимум) функционала на этом решении, нужно исследовать условия достаточности существования экстремума, которые будут установлены ниже.

Пример 2. На каких кривых может достигнуть экстремума функционал

J = ∫1 (Y ′2 +12 xY )dx

0

при граничных условиях Y(0) = 0; Y(1) = 1?

Решение. Здесь F (x, Y , Y ′) = Y ′2 +12 xY ; FY =12; FY ′Y ′ = 2 , а остальные сла-

гаемые уравнения Л. Эйлера–Ж. Лагранжа равны нулю, и это уравнение принимает вид

543

ПРИЛОЖЕНИЕ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД)

Y′′− 6 x = 0.

Общее решение такого уравнения получается непосредственным интегрированием

Y(x) = x3 + C1x + C2.

Подставляя граничные условия Y(0) = 0; Y(1) = 1, находим C1 = C2 = 0, и, следовательно, необходимое условие экстремума заданного функционала выполняется для кривой Y = x3.

Врассмотренных примерах использовались лишь необходимые условия существования экстремума функционала. Еще раз подчеркнем, что выполнение необходимого условия (П2.33), которое фактически сводится к отысканию решения уравнения Л. Эйлера–Ж. Лагранжа, не означает, что решение этого уравнения дает экстремум функционалу, и поэтому нужно рассмотреть выполнение достаточных условий. Отметим, продолжая сравнение дифференциального и вариационного исчислений, что установление достаточных условий существования экстремума функционала в вариационном исчислении является гораздо более трудной задачей, чем установление аналогичных условий для функции в дифференциальном исчислении.

Ввариационном исчислении существуют понятия слабого и сильного экстремумов.

Рассмотрим еще раз функционал (П2.33). Пусть для кривой Y(x) с заданными граничными условиями на закрепленных концах x = a и x = b выполняется необходимое условие существования экстремума. Рассмотрим множество функ-

В некоторых случаях выполнение достаточных условий определяется знаком величины (П2.42): при δ2J > 0 функция Y(x) сообщает функционалу (П2.33)

544

П2. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

минимум, а при δ2J <0 – максимум. В других случаях требуются более сложные исследования на основе достаточного условия К. Вейерштрасса.

Вернемся к классической вариационной задаче о брахистохроне и на примере ее решения продемонстрируем анализ необходимых и достаточных условий существования экстремума функционала. Для упрощения дальнейшего изложения в интеграле (П2.35) примем а = 0 и Y(0) = 0.

Учитывая, что в уравнении Л. Эйлера–Ж. Лагранжа FxY ′ = 0 , получим

Умножим обе части этого уравнения на Y ′. Тогда левая часть превратится в пол-

ную производную dxd (F−Y′FY′ ) . Действительно, учитывая, что подынтегральная функция F в (П2.35) явно не зависит от х, имеем

dxd (F −Y′FY′ ) = FYY ′+ FY′Y ′′−Y ′′FY′ − FYY′Y′2 − FY′Y′Y ′Y ′′ = =Y ′(FY − FYY ′Y ′− FY ′Y ′Y ′′).

Таким образом, уравнение (П2.43) приводится к виду

dxd (F−Y′FY′ ) = C

и его решением будет (F −Y ′FY ′ ) = 0 . Подставляя сюда подынтегральное выражение

функционала (П2.35), получим

545

ПРИЛОЖЕНИЕ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД)

После несложных преобразований, обозначив C1 = C12 , имеем:

Y (1+Y′2 ) = C1 .

Для дальнейшего решения этого дифференциального уравнения введем новую переменную w, полагая Y ′ = ctg w . Тогда получим

dx = C1(1 – cos2w)dw.

Отсюда

x = C21 (2 w− cos2 w) + C2 ,

где с учетом граничных условий при х = 0 функция Y(0) = 0 (w = 0), константа интегрирования C2 = 0. Следовательно, в параметрической форме уравнение искомой линии после введения новой переменной u = 2w имеет вид

где C21 – радиус катящегося круга, который определяется из условия прохожде-

ния циклоиды через точку с координатами x = b; Y(b) = Yb. Уравнение искомой линии получено как решение уравнения Л. Эйлера–Ж. Лагранжа, т. е. из необходимого условия экстремума.

Теперь нужно проверить выполнение достаточного условия, т. е. доказать, что данная кривая сообщает функционалу (П2.35) минимум. Для этого опреде-

лим знак второй вариации (П2.42). Дважды дифференцируя F по Y ′, получим

546

П2. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Отсюда видно, что при Y > 0 имеем R > 0.

Проанализируем знак сомножителя S в (П2.42). Дважды дифференцируя подынтегральное выражение F по Y, получим

P = F = 3 1+Y ′2 .

Значит, при Y > 0 имеем P > 0. Далее определяем

Напомним, что подынтегральная функция F не содержит в явном виде аргумент х. Поэтому

Отсюда ясно, что при Y > 0 знаменатель больше нуля. Кроме того, из физических представлений о спуске материальной частицы ясно, что в числителе вторая производная Y отрицательна. Поэтому в (П2.42) сомножитель S положителен и в целом вторая вариация рассматриваемого функционала (П2.35) больше нуля.

Теперь можно с полным основанием утверждать, что найдена кривая (П2.44), по которой материальная частица из положения с координатами x = a; Y = Y(a) в положение с координатами x = b; Y = Y(b) скатывается под действием силы тяжести в наикратчайшее время.

Итак, определен абсолютный минимум как минимальное значение функционала, который достигается на классе функций, непрерывных вместе со своими производными.

Рассмотрим вопрос о существовании минимума функционала вида

a

547

ПРИЛОЖЕНИЕ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД)

где p(x), q(x) и f(x) – функции, непрерывные на отрезке [a, b], причем p(x) имеет непрерывную производную и, кроме того,

Наша задача – в классе D непрерывных функций Y(x) с непрерывной производной Y ′(x), на отрезке [a, b] удовлетворяющих граничным условиям

найти такую функцию, для которой функционал (П2.45) принимает наименьшее значение.

Уравнение Л. Эйлера–Ж. Лагранжа для этого функционала имеет вид

При коэффициентах, удовлетворяющих неравенствам (П2.46), уравнение Л. Эйлера–Ж. Лагранжа имеет единственное решение на отрезке [a, b] при заданных граничных условиях (П2.47). Обозначим это решение Y0(x) и покажем, что оно дает абсолютный минимум функционалу (П2.45) или, точнее говоря, покажем, что J(Y0) ≤ J(Y), где Y – любая функция из класса D; причем равенство имеет место только в том случае, когда функция Y(x) тождественна функции

Y0(x).

Всякую функцию из класса D можно представить в следующем виде:

Y(x) = Y0(x) + Z(x), где Z(x) непрерывна вместе с производной Z ′(x) на отрезке

[a, b], а на концах отрезка сама функция удовлетворяет однородным граничным условиям.

Вычислим разность

a

Для первого слагаемого первого интеграла выполним интегрирование по частям. Затем с учетом нулевых граничных условий для функции Z(x) и того, что функция Y0(x) удовлетворяет уравнению Л. Эйлера–Ж. Лагранжа, устанавливаем обращение в ноль первого интеграла в (П2.49). Тогда

548

П2. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

a

Причем знак равенства будет только в том случае, когда Z(x) = 0, т. е. когда функция Y(x) равна функции Y0(x), удовлетворяющей уравнению Л. Эйлера– Ж. Лагранжа.

Таким образом, доказано, что функция Y0(x) дает абсолютный минимум (наименьшее значение) функционалу (П2.45) на классе функций D (непрерывных функций с непрерывными производными).

Пример 3. На каких кривых может достигаться экстремум функционала

при следующих граничных условиях: Y(0) = a; Y(1) = b?

Решение. Уравнение Л. Эйлера–Ж. Лагранжа для этого функционала имеет вид

с учетом граничных условий получим множество из двух уравнений

C1 + C2 = a,

C1e + Ce2 = b.

Главный определитель этого множества уравнений

549

ПРИЛОЖЕНИЕ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД)

отличен от нуля. Поэтому множество дает единственное решение для коэффициентов C1 = C1 и C2 = C2 , где

Определенная таким образом функция Y0(x) удовлетворяет необходимому условию существования экстремума функционала (П2.51). Так как коэффици-

енты при Y и Y ′ в функционале больше нуля, то в соответствии с вышеизложенными результатами можно ожидать, что функционал (П2.51) имеет на экстремали

Y (x) = C1 ex + C2e− x

абсолютный минимум.

Рассматриваемый функционал (П2.51) отличается от (П2.45) отсутствием члена f(x)Y и дополнительным членом x2, что не должно изменить результата. Тем не менее проведем исследование на абсолютный минимум непосредственно для функционала (П2.51).

Абсолютный минимум будем искать в классе функций Y(x), непрерывных вместе с производными Y ′(x), и удовлетворяющих граничным условиям.

Представим функцию в виде Y(x) = Y0(x) + Z(x), где Z(0) = Z(1) = 0, и составим разность

Проинтегрируем первое слагаемое в первом интеграле по частям. Тогда первый интеграл приводится к виду

1

Y ′Z 10 + ∫(−Y0′′+Y0 )Z dx.

0

Здесь, вследствие нулевых граничных условий для функции Z(x), первое слагаемое равно нулю, а в подынтегральном выражении – Y0′′+ Y0 = 0 , так как Y0(x) есть решение дифференциального уравнения (П2.52). Поэтому получаем

550