книги / Механика сплошных сред (теоретические основы обработки давлением композитных материалов с задачами и решениями, примерами и упражнениями)

П1. ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОГО И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ

ϕ3 + ϕa + b = 0,

где коэффициенты

a = 13 (3aII − aI2 )= 13 (117 +144) = −87;

b = 271 (−2aI3 + 9aI aII − 27 aIII )= 271 (−3456 − 4212 + 702) = −258

для симметричных тензоров удовлетворяют неравенству (П1.64)

b2 + a3 < 0, 4 27

что подтверждается в рассматриваемом случае: 16641 – 24389 = –7784 < 0.

Три корня ϕj уравнения (П1.65) определяются тригонометрическим решением (П1.67) через угол

Учитывая, что одна треть от первого инварианта равна 4, из соотношения (П1.66) находим корни характеристического уравнения λ1 = 10,577 + 4 = 14,557; λ2 = –3,429 + 4 = 0,571; λ3 = –7,128 + 4 = –3,128. В данном случае можно записать ai = λi, так как получаемые при этом главные значения ai удовлетворяют соотношению (П1.63). Значит, можно записать окончательный ответ:

481

ПРИЛОЖЕНИЕ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД)

Проверка. Основанием проверки правильности решения является независимость трех инвариантов тензора от выбираемых координат, в том числе и главных:

aI = aii = 14,577 + 0,571 – 0,318 = 12;

aII = 12 (aI2 − aij a ji )= 12 (144 −14,5572 − 0,5712 −3,1282 )= −38,997;

Первый и третий инварианты совпали точно. Небольшое несовпадение для второго инварианта в произвольном и главном множествах координат вызвано округлением промежуточных вычислений с точностью до третьего знака после запятой.

П1.6. Физические и геометрические аналоги тензоров

В предыдущих подразделах Приложения тензоры различного ранга рассматривались как некоторая математическая абстракция, характеризуемая определенным количеством компонент, каждая из которых при повороте множества координат преобразуется по закону (П1.27). В основном тексте учебника параметры движения сплошных сред представляются как соответствующие физические аналоги тензоров различного ранга. Так, плотность, масса, объем, температура, мощность не зависят от ориентации множества координат и для их математического описания используются тензоры нулевого ранга или скаляры; перемещение, скорость, ускорение, сила, напряжение описываются с помощью тензоров первого ранга или векторов; параметры деформированного и напряженного состояний окрестности движущихся материальных частиц – с помощью тензоров второго ранга; вычисление объема непрямоугольного параллеле-

пипеда с ребрами a , b и c в декартовом множестве координат

Ω = (a×b ) c

можно выполнить с помощью тензора третьего ранга Т. Леви-Чивиты (П1.28):

482

П1. ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОГО И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ

свойства деформируемых анизотропных материалов могут быть описаны тензорами четвертого и более высокого ранга.

Кроме приведенных физических аналогов можно привести геометрическую интерпретацию тензоров различного ранга.

Из векторной алгебры известно, что геометрическим аналогом скалярной величины является точка, вектора – направленный отрезок.

Геометрическим аналогом тензора второго ранга является центральная по верхность второго порядка. Из аналитической геометрии известно, что уравнение такой поверхности имеет вид

ся по закону (П1.27) преобразования компонент тензора второго ранга Ta. При этом вид уравнения (П1.68) не изменяется:

Поэтому скалярные формы записи (П1.68), (П1.69) уравнения центральной поверхности второго порядка могут быть представлены в тензорном виде

Следовательно, всякому тензору Ta второго ранга можно поставить в соответствие центральную поверхность второго порядка – его геометрический аналог.

Если xm′ – множество главных осей координат тензора Ta, то уравнение (П1.69) имеет канонический вид

При am > 0 поверхность (П1.70) или (П1.71) представляет собой действительный эллипсоид, у которого в соответствии с (П1.61) наименьший диаметр равен

вращения, а при a1 = a2 = a3 – сфера. Последнее обстоятельство послужило поводом назвать величину Sa (П1.53) тензора Ta его сферической частью. Легко показать, что всякое направление координатных осей, в которых рассматривается изотропный тензор, в том числе сферическая часть тензора второго ранга,

483

ПРИЛОЖЕНИЕ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД)

является главным. Поэтому главные направления тензора Ta и его девиатора Da (П1.56) всегда совпадают.

Из аналитической геометрии известно, что при am < 0 уравнением (П1.71) описывается мнимый эллипсоид. При a1 > 0, a2 > 0 и a3 < 0 (П1.71) является уравнением однополостного гиперболоида, а при a1 > 0, a2 < 0 и a3 < 0 – двухпо лостного гиперболоида.

В двухмерном множестве координат x1 , x2 при am > 0 геометрическим обра зом тензора второго ранга является действительный эллипс, а при a1 = a2 – ок ружность. Если am < 0, то (П1.71) является уравнением мнимого эллипса, а при a1 > 0, a2 < 0 – уравнением гиперболы.

Аналогичным образом с помощью гиперповерхностей произвольного поряд ка дается геометрическая интерпретация тензоров соответствующего этому по рядку ранга.

П1.7. Методы анализа тензорных полей

Если каждой точке некоторого пространства в любой момент времени t од нозначно ставится в соответствие тензор, то это означает, что в этом простран стве задано однозначное тензорное поле. Введем в пространстве множество ко ординат xj и закоординируем все точки этого пространства. Тогда в общем слу чае тензорное поле может быть представлено тензорной функцией координат точек пространства и времени

Такое поле называется нестационарным тензорным полем. Стационарное тен зорное поле одинаково в рассматриваемой точке с координатами xj в любой момент времени:

В учебнике рассматриваются непрерывные и необходимое число раз диф ференцируемые по координатам и времени тензорные поля.

Дифференциальные операции над тензорами удобно выполнять с помощью

векторного дифференциального оператора У. Р. Гамильтона (набла)

484

П1. ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОГО И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ

С помощью тензорного произведения (П1.40) введем понятие тензорного ранга n дифференциального оператора У.Р. Гамильтона (набла ранга n):

Все другие известные из курса математического анализа дифференциальные операторы и их обобщения получаются с помощью оператора (П1.74) путем их скалярного типа р умножения (П1.34) друг на друга. Например:

скалярный дифференциальный оператор П. С. Лапласа

Ниже приведены дифференциальные операции над тензорными полями, которые получаются путем выполнения различных типов умножения (П1.34)– (П1.42) тензоров на дифференциальные операторы (П1.75). Например, известные из векторного анализа дифференциальные операции над тензорными полями имеют вид: ϕ = gradϕ (градиент скалярного поля ϕ), a = div a (дивергенция

векторного поля a ), ×a = rot a (ротор или вихрь векторного поля a ). Обобщениями этих дифференциальных операций являются:

– левый и правый порядка n градиенты тензора ранга m

485

ПРИЛОЖЕНИЕ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД)

В дифференциальных операциях (П1.78)–(П1.80) n ≤ m. При n = m операции (П1.80) становятся одинаковыми:

и называются полными левым и правым роторами ранга n. Правый градиент в (П1.78) иногда называют производной порядка n тензора ранга m по векторному

аргументу:

Упражнение П1.9. Показать, что внешнее произведение (П1.53) дифферен-

циального оператора (П1.74) и вектора a равно удвоенной альтернативной части (П1.51) градиента (П1.78) этого вектора:

Дифференциальные операции (П1.78)–(П1.80) в общем случае не являются коммутативными и лишь в отдельных случаях левые и правые операции при выполнении их над тензорами становятся одинаковыми. В частности, левые дифференциальные операции (П1.78) и (П1.80) совпадают с соответствующими правыми операциями при их выполнении над симметричными тензорами второго ранга.

Упражнение П1.10. Доказать справедливость нижеследующих тождеств:

486

П1. ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОГО И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ

Дифференциальные операции (П1.78)–(П1.84), приведенные выше, записаны в предположении, что все аргументы xj тензорных полей являются независимыми величинами. В противном случае необходимо применять правила дифференцирования сложных функций. Так, полная производная по зависимым друг от друга аргументам имеет вид

Если здесь предположить, что в четырехмерном пространстве x1, x2, x3, x4 = t первые три аргумента не зависят друг от друга, но все они являются функциями времени t, то из (П1.90) получим формулу для вычисления полной производной по времени тензорных величин

Из этой формулы видно, что полная и частная производные тензора по времени совпадают лишь в случае независимости координат xj от времени

Взаключение этого подраздела отметим преимущество записи дифференциальных операций в тензорной форме с помощью тензорных ранга n дифференциальных операторов (П1.76) в отличие от компонентной (скалярной) формы записи. Во-первых, тензорная запись компактна, а во-вторых, что наиболее важно, она справедлива для любого (не только прямолинейного) множества координат.

Вкриволинейном множестве координат, характеризуемом базисом ej , вектор a задается контравариантными компонентами aj. Во взаимном базисе e k

487

ПРИЛОЖЕНИЕ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД)

где Ωe = e1 (e2×e3 ), этот же вектор задается ковариантными компонентами ak.

Эти контравариантные и ковариантные компоненты вектора связаны между собой с помощью компонент gjk метрического тензора

Все ранее приведенные тензорные записи дифференциальных операций остаются в силе в пространстве, заданном криволинейным множеством координат. При этом вид скалярных аналогов таких записей зависит от значений компонент метрического тензора и требует вычисления символов Э.Б. Кристоффе ля второго рода:

В частности, в криволинейном множестве координат нижеследующие дифференциальные операции имеют вид:

– градиент вектора (П1.78)

– дивергенция тензора (П1.79)

488

П1. ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОГО И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ

Впоследней операции учтено, что диадное представление тензоров (П1.40)

вкриволинейном пространстве позволяет записать компоненты тензора в кон-

травариантном aij, ковариантном aij и смешанном aij видах. В декартовом пря-

молинейном множестве координат символы Э. Б. Кристоффеля второго рода (П1.97) равны нулю, а разница между основным и взаимным базисами, а также между соответствующими компонентами тензоров в них пропадает.

С помощью компонент метрических тензоров (П1.94) и символов Э.Б. Крис

тоффеля первого рода

которые в евклидовом пространстве равны нулю.

П1.8. Задачи по анализу тензорных полей

П1.8.1. Дифференциальные операции над тензорными полями

Задача П1.8.1.1. Вычислить производную скалярной функции ϕ = x1 x22 x33 в

точке М(1, 2, 3) по направлению к точке N(4, 6, 8). Решение. Искомая производная вычисляется по формуле

∂∂ϕn = ϕ n ,

489

ПРИЛОЖЕНИЕ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД)

где n = ni ei – единичный вектор, характеризующий направление дифференцирования.

Определим направляющие косинусы ni единичного вектора n :

В точке М

∂∂ϕn = 12965 2 .

Задача П1.8.1.2. Показать, что частные производные компонент ai вектора

Решение. Если xk и xi′ – координаты соответственно в старом и новом базисах, то в соответствии с (П1.25)

xi′ = αik xk

490