книги / Механика сплошных сред (теоретические основы обработки давлением композитных материалов с задачами и решениями, примерами и упражнениями)

контактной поверхности d = KdE2 , а контактные напряжения трения

τот = const и τоп = const, находим значения первого слагаемого баланса мощности (1.3.22)

и четвертого слагаемого этого баланса

где hн – высота проката в нейтральном сечении (Е2 = – н ). Отсюда сумма этих слагаемых при условии, что τот = τоп = τn, имеет вид

Переходим к расчету мощности внутренних сил Int с учетом (3.1.19):

371

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ОМД МЕТОДАМИ МСС

гдепроизведеназаменаинтегрированияпоE1 интегрированиемпоu: 2 E1 tg α2 h = u .

Тогда после интегрирования по u имеем

При интегрировании по E2 выполним замену dE2 = −0,5dhtg α2 c помощью (3.1.3). Тогда

Окончательно из баланса мощности (3.1.23) получаем значение контактного касательного напряжения при плоской листовой прокатке:

hн2

В этой формуле высота нейтрального сечения hн определяется из формулы (3.1.3) при Е2 = – н . Положение нейтрального сечения н в очаге деформации определим из уравнения равновесия всех действующих на прокатываемый металл поверхностных сил с учетом принятого условия τот = τоп = τn:

372

3.1. ПРИМЕНЕНИЕ РАЗРЫВНЫХ КВ ПОЛЕЙ СКОРОСТЕЙ

Отсюда

где с учетом абсолютного обжатия h = h0 – h1 геометрическая длина очага деформации (рис. 92)

Применяемые обычно в теории ОМД законы трения Э. Зибеля (2.2.29)

τn = 2 μт τт

и Т. Кармана (2.2.30)

τn = μp pn

позволяют записать высоту нейтрального сечения в виде

Обычно и коэффициент трения по напряжению пластического сдвига μт, и коэффициент по нормальному давлению μp определяют экспериментально. При отсутствии опытных данных для оценки значений этих коэффициентов можно использовать следующие формулы:

373

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ОМД МЕТОДАМИ МСС

где относительное обжатие

средняя высота проката hср = 0,5(h0 + h1); коэффициент, учитывающий влия ние внешних зон, – χ = 0,4 при m < 1 и χ = 0 при m ≥ 1.

Формула (3.1.23) позволяет рассчитать момент прокатки М, необходимый для вращения рабочих валков радиуса R. При известной средней ширине про ката bср. момент прокатки

где нейтральный угол определяется по формуле С. Экелунда с учетом заднего и переднего натяжений:

Центральная сила P, действующая на валок со стороны прокатываемого ме талла, с учетом (2.2.30) и (3.1.27) также определяется контактным касательным напряжением (3.1.23)

Самостоятельно. Используя кинематические параметры разрывного поля скоростей (3.1.2) при изменении текущей высоты проката h по окружности (3.1.6), по компонентам вектора скорости (3.1.7) найти компоненты тензора ско ростей деформаций (3.1.8), где

374

3.1. ПРИМЕНЕНИЕ РАЗРЫВНЫХ КВ ПОЛЕЙ СКОРОСТЕЙ

интенсивность сдвиговых скоростей деформаций (3.1.9)

и определить контактное касательное напряжение τn.

Задача 3.1.2.2. Используя интенсивность сдвиговых скоростей деформаций (3.1.19) задачи 3.1.2.1, определить приращение температуры, вызванное деформационным разогревом при прокатке несжимаемого, идеального жесткопластичного материала.

Решение. В уравнении теплопроводности (1.4.62) слагаемое, характеризующее изменение температуры θ вследствие деформационного разогрева, имеет вид

где c – удельная теплоемкость; ρ – плотность деформируемой сплошной среды; Jм – механический эквивалент тепла.

Самостоятельно. Показать, что для несжимаемых сред скалярное произведение тензора напряжений Тσ на тензор скоростей деформаций Тξ в (3.1.25) равно произведению интенсивности касательных напряжений Т на интенсивность сдвиговых скоростей деформаций Н: Тσ Тξ =ТН.

Далее, учитывая, что для идеальных жесткопластичных материалов Т = τт = const, при постоянных значениях плотности и удельной теплоемкости из (3.1.25) получаем

τt

θ= θ0 + cρтJм t∫0 Ηdt ,

375

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ОМД МЕТОДАМИ МСС

где θ0 – начальная температура деформируемого тела. В соответствии с формулой (1.2.162) здесь интегральное выражение точно представляет собой степень деформации сдвига Λ. Поэтому деформационный разогрев сплошной несжимаемой, идеальной жесткопластичной среды при постоянных теплофизических параметрах оценивается по формуле

Для вычисления Λ в стационарных процессах воспользуемся формулой (1.2.163). Тогда, применяя формулы для V2 из (3.1.5) и (3.1.19), имеем

где принимаем во внимание соотношение (3.1.3) между текущей высотой про-

α

катываемой полосы h и эйлеровой координатой E2: dE2 = –dh/2tg 2 . Тогда

В связи с тем, что при h = h1 уровень аргумента E1 (0 ≤ E1 ≤ 0,5h1) характеризует уровень линии тока на выходе из очага деформации, введем безразмерную величину u = 0,5 E1/h (0 ≤ u ≤ 1). Тогда после интегрирования по h находим значение высотного распределения накопленного к концу прокатки значения степени деформации сдвига:

Для разрывных КВ-полей скоростей часть внутренней энергии рассеивается на поверхностях разрыва вектора скорости. В данном случае это поверхности

E2 = 0 (h = h1) и E2 = – д (h = h0), для которых компоненты вектора скорости

имеют вид (3.1.21), а мощность среза на половине обеих поверхностей h = h1; h = h0 равна τтv0h0u2tg(α/2), где 0 ≤ u ≤ 1. В числителе второго слагаемого форму-

376

3.1. ПРИМЕНЕНИЕ РАЗРЫВНЫХ КВ ПОЛЕЙ СКОРОСТЕЙ

лы (3.1.36) стоит удельная работа Λτт. Исходя из теории размерностей, эквивалентная срезу удельная работа равна мощности среза, деленной на поток V0h0. Тогда эквивалентная скачку вектора скорости степень деформации сдвига в (3.1.36) Λсрез = u2tg(α/2), и окончательно эта формула принимает вид

Подстановкой (3.1.37) в (3.1.35) получим оценку распределения температуры θ, получаемой на выходе из очага деформации вследствие деформационного разогрева металла при плоской листовой прокатке:

Интегрированием (3.1.37) по u от 0 до 1 получим среднее значение степени деформации сдвига по сечению прокатанной полосы

с соответствующим средним значением деформационного разогрева прокатываемого металла

Для оценки деформационного разогрева (3.1.35) вместо формулы (3.1.36) можно использовать формулу (1.2.165), полученную методом суперпозиции гар-

монических полей скоростей (задача 1.2.7.6) при D = h20 ; d = h21 :

377

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ОМД МЕТОДАМИ МСС

При этом осевые значения степени деформации сдвига Λос (в первом случае u = 0, во втором d = D = 0) в обоих случаях совпадают и представляются в виде

В теории прокатки соотношение (3.1.43) получило название формулы С. Финка. Поверхностное значение Λ получается из (3.1.37) при u = 1:

В связи со сложностью формулы (3.1.41) значение Λср из решения, получен$ ного методом суперпозиции гармонических полей скоростей, можно опреде$ лить только численным интегрированием.

Сравнение значений Λпов, рассчитанных по формуле (3.1.44) и по формуле (3.1.41), полученной методом суперпозиции гармонических полей скоростей, а также значений Λос (3.1.42) и Λср (3.1.39) в зависимости от относительного обжа$ тия ε (3.1.28) и параметра q = 0,5 h/R приведено в табл. 12. Для справки: в этой таблице дано значение параметра m (3.1.29), который связан с ε и q формулой

Из табл. 12 видно, что обе формулы (3.1.44) и (3.1.42) показывают одинако$ вую качественную тенденцию деформационного разогрева прокатываемого ме$ талла, связанного по формуле (3.1.35) с Λ: поверхностные слои разогреваются больше, чем осевые. Такая тенденция известна на практике, когда отдача тепла в окружающую среду пренебрежимо мала. Правильность количественной оцен$ ки поведения формул (3.1.41) и (3.1.44) необходимо проверять эксперименталь$

378

3.1. ПРИМЕНЕНИЕ РАЗРЫВНЫХ КВ ПОЛЕЙ СКОРОСТЕЙ

Таблица 12. Влияние параметров прокатки на значение Λ

но. При этом следует отметить два существенных момента: 1) с уменьшением параметра q и увеличением относительного обжатия ε (смещение области параметров толстолистовой прокатки, когда m < 1, в область тонколистовой прокатки, когда m ≥ 1) значения степени деформации сдвига Λ, рассчитанные по формулам (3.1.41) и (3.1.44), сближаются; 2) поверхностные значения Λпов, рассчитанные по формуле (3.1.44), незначительно отличаются от осевых значений Λос, представленных формулой (3.1.42), что иногда в упрощенных расчетах оправдывает оценку деформационного разогрева при прокатке особо тонких изделий по формуле С. Финка (3.1.43), а в более точных расчетах – по формуле (3.1.35)

сиспользованием значения Λср, определяемого по формуле (3.1.39).

3.1.3.Оценка технологических параметров процессов прессования и

волочения круглых прутков

Задача 3.1.3.1. Используя поле скоростей (3.1.14) задачи 3.1.1.2 с изменением текущего радиуса R по линейному закону (3.1.12), определить давление, необходимое для прессования круглого прутка радиуса R1 из заготовки радиуса R0

379

а затем по преобразованной для осесимметричного течения несжимаемых сред формуле (1.2.161)

найдем интенсивность сдвиговых скоростей деформаций

Тогда первая составляющая мощности внутренних сил движения идеальной жесткопластичной среды (Т = Ωт = const) в конусе (рис. 93)

380