книги / Механика сплошных сред (теоретические основы обработки давлением композитных материалов с задачами и решениями, примерами и упражнениями)

2.1.ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

Взаключение этого подпункта отметим, что с помощью соотношений теории малых деформаций аналогичным образом формулируется принцип миниму ма работы внутренних сил:

Упражнение 2.1.4. Показать, что экстремали функционала (2.1.50) определяются уравнением Л. Эйлера–Ж. Лагранжа, совпадающим с уравнением равновесия (1.4.18), а стационарному значению этого функционала при условии

соответствует минимум работы внутренних сил.

Упражнение 2.1.5. Показать, что экстремали функционала

определяются уравнением Л. Эйлера–Ж. Лагранжа, совпадающим с уравнением совместности малых деформаций (1.2.88), а стационарному значению этого функционала при условии

соответствует минимум работы внутренних сил

2.1.4. Изопериметрическая постановка вариационных задач

Учитывая аналогию принципов минимума мощности внутренних сил и минимума работы внутренних сил, в дальнейшем все рассуждения будем связывать с первым принципом.

Если расширить класс векторных полей скоростей или тензорных полей функций напряжения TΦ, отказываясь от выполнения всех граничных условий, то на экстремали функционала (2.1.44) или (2.1.48) необходимо накладывать некоторые ограничения, эквивалентные заданным граничным условиям. Например, для КВ-полей скоростей V или для СВ-полей функций напряжения TΦ интегральным эквивалентом граничных условий является баланс мощности (1.4.43) или (1.4.44)

321

2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

где Ext* – мощность внешних сил. Ограничения в виде функционалов Ik типа

(2.1.54) при выборе экстремалей мощности внутренних сил можно использовать для записи вспомогательного функционала J*, применяя метод неопределенных множителей λk Ж. Лагранжа (П2.67)

где Int* выступает как целевой функционал, а функционалы Ik следует рассматривать как ограничения, накладываемые на экстремали целевого функционала. При этом появляется возможность сформулировать изопериметрическую постановку задач МСС (п. П2.3): в области движения сплошной среды среди множества КВ-полей скоростей или множества СВ-полей функций напряжений найти такие V или TΦ, которые сообщают функционалу (2.1.55) стационарное значение.

При численной реализации изопериметрической постановки вариационных задач на ЭВМ могут возникнуть трудности с определением стратегии поиска экстремума вспомогательного функционала (2.1.55), так как характер экстремума (максимум или минимум) последнего не всегда совпадает с типом экстремума целевого функционала Int*. В таком случае удобно применять один из проекционных методов, например В. Ритца (п. П2.4), и использовать один или несколько коэффициентов разложения экстремалей целевого функционала по координатным функциям для безусловного выполнения ограничений, накладываемых на экстремали целевого функционала. Тогда численная реализация на ЭВМ решаемой задачи сведется к поиску экстремума целевого функционала с учетом всех ограничений.

Для иллюстрации применения изопериметрической постановки обратимся еще раз к решению тестовой задачи о движении линейно-вязкой несжимаемой изотропной однородной среды в прямолинейной полосе под действием перепада давления р = p1 – p2 (рис. 66) и найдем ее решение, используя изопериметрическую постановку.

Воспользуемся методом В. Ритца (п. П.2.4) и представим множество КВ-по- лей скоростей в виде (2.1.10). С помощью (1.2.150), (1.2.161), (2.1.10) и соотношения Т = μ*Η для линейно-вязких сред (μ* = const) запишем мощность внутренних сил:

322

2.1. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

Далее для левой и правой границ области движения среды (рис. 66) запишем мощность внешних сил:

Подстановкой (2.1.59) в (2.1.60) получаем замкнутую относительно варьируемых параметров am множество уравнений

Во всех уравнениях этого множества сомножители коэффициента a1 пропорциональны свободным членам, находящимся в правых частях уравнений (2.1.61). Поэтому все варьируемые параметры, кроме a1, равны нулю, и множество (2.1.61) сводится к одному уравнению относительно параметра a = a1:

Неопределенный множитель λ Ж. Лагранжа в (2.1.62) должен обеспечивать безусловное выполнение баланса мощности (2.1.54):

323

2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

с помощью которого окончательно определяем значение варьируемого параметра a, точно совпадающего с решением (1.5.119), полученного интегрированием множества дифференциальных уравнений. Это связано с тем, что во множество КВ-полей скоростей (2.1.10) входит, как частный вариант, Р-поле, а изопериметрическая постановка в таких случаях обеспечивает получение точного решения.

Упражнение 2.1.6. Выполнить изопериметрическую постановку предыдущей задачи с граничными условиями, показанными на рис. 68, и целевым функционалом (2.1.47), используя в качестве ограничения, накладываемого на целевой функционал, баланс мощности (2.1.54). Показать, что при поиске экстремалей среди множества функций напряжений, включающих точное решение, например в виде (2.1.32), получается точное решение (2.1.41)

Контрольные вопросы

1.В чем суть вариационного принципа Ж. Лагранжа?

2.Какой математической постановке задач МСС эквивалентен вариационный принцип Ж. Лагранжа?

3.Для каких механических граничных условий допустимо применение вариационного принципа Ж. Лагранжа?

4.В каком частном варианте вариационный принцип Ж. Лагранжа называется вариационным принципом Журдена?

5.В каких случаях решение задач МСС с помощью минимизации функционала Ж. Лагранжа и с помощью баланса мощностей дает одинаковые результаты?

6.На чем основано построение функционала А. Кастилиано?

7.Каковы требования к механическим граничным условиям при использовании вариационного принципа А. Кастилиано?

8.Какой математической постановке задач МСС эквивалентен вариационный принцип А. Кастилиано?

9.Для каких параметров напряженного и деформированного состояний мощность (работа) внутренних сил принимает минимальное значение?

324

2.1.ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

10.При каких условиях стационарному значению мощности (работы) внутренних сил соответствует минимум?

11.В чем состоит суть изопериметрической постановки вариационных задач МСС?

12.В чем преимущество изопериметрической постановки вариационных задач МСС перед постановками, использующими вариационные принципы Ж. Лагранжа или А. Кастилиано?

13.Для решения каких задач выгоднее использовать вариационные принципы Ж. Лагранжа или А. Кастилиано вместо изопериметрической постановки?

14.В чем трудность численной реализации на ЭВМ изопериметрической постановки вариационных задач и каким образом можно ее преодолеть?

15.Каковы особенности применения вариационных принципов МСС при решении задач о движении гетерогенных сплошных сред?

325

2.МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

2.2.ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНЫХ ЖЕСТКОПЛАСТИЧНЫХ СРЕД

2.2.1.Метод тонких сечений

Вобласти возмущенного движения сплошной среды выделим элемент, ограниченный двумя эквидистантными поверхностями f1(Ek) и f2(Ek), находящимися на

расстоянии d друг от друга (рис. 70). Обе поверхности образованы множеством материальных частиц, характеризуемых в исходном положении радиус-векторами

L и L +dL . Основным допущением метода тонких сечений является сохранение эквидистантности поверхностей f1 и f2 при перемещении элемента в любой момент времени. При этом предполагается, что пространственные координаты Ei всех материальных частиц одной из поверхностей, например f1, изменяются пропорционально трем соответствующим параметрам Οi:

В частности, плоские сечения, образованные плоскостями Lk = const, остаются плоскими в процессе их перемещения, сферические – сферическими и т. п.

Такое допущение приводит к отсутствию сдвиговых деформаций, сдвиговых скоростей деформаций и касательных напряжений на тангенциальных к этим поверхностям плоскостях. Иными словами, внешние напряжения, действующие на поверхностях fj рассматриваемого элемента, являются главными напряжениями. В тех случаях, когда поверхность fj имеет одинаковую кривизну во всех ее точках, эти главные напряжения имеют равномерное на этой поверхности распределение.

326

2.2. ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНЫХ ЖЕСТКОПЛАСТИЧНЫХ СРЕД

шение дифференциального уравнения равновесия (1.4.18).

Совместим направление одной из координатных эйлеровых осей Ek, например E3, с направлением главного напряжения ς3, действующего на поверхности f1 элемента шириной

в сходящемся канале

нить полной производной d ς3 в dE3

соответствии с (П1.90). При равномерном распределении напряжения ς3 на поверхности f1 в методе тонких сечений рассматривается равновесие всего элемента шириной dE3 под действием напряжения ς3 на поверхности f1, напряже-

ния ς3 + dς3 на поверхности f2 и контактных напряжений pn и Ωn на поверхно-

сти S, ограничивающей этот элемент.

В качестве примера применения метода тонких сечений приведем запись условия равновесия элемента шириной dE3, ограниченного плоскими сечениями и наклонными поверхностями при плоском движении сплошной среды (рис. 71). Пусть на поверхности высотой 2E1 действует напряжение ς3, а на поверхности высотой 2(E1 + dE1) – напряжение ς3 + dς3, вызванные действием внешних поверхностных

напряжений pn и Ωn на контактных поверхностях длиной dE3 . Силовое равно- cos

весие рассматриваемого элемента шириной dE3 приводит к уравнению

Отсюда, опуская бесконечно малые (второго порядка малости) величины, получим уравнение равновесия

называемое дифференциальным уравнением Т. Кармана.

327

2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

Теперь, учитывая, что E1 = E3tg и

Рис. 72. Равновесие тонкого сферического эле9 мента в сходящемся канале В этом уравнении равновесия содержат-

ся три неизвестных величины: ς3, pn и Ωn. Для замыкания множества уравнений необходимо воспользоваться дополнительными соотношениями, характеризующими свойства деформируемой среды и условия взаимодействия ее с окружающими телами на контактной поверхности.

Для сред, находящихся в условиях пластической деформации, должно выполняться условие пластичности (1.5.74), которое при плоском деформированном состоянии имеет вид (1.5.79). В методе тонких сечений действием касательных напряжений ς13 пренебрегают и условие пластичности используют в виде (1.5.80), полагая, что pn | ς11 = ς1; ς33 = ς3. Тогда условие (1.5.80) в приближенном виде

позволяет преобразовать уравнение (2.2.4):

Если деформируемая среда является идеальной жесткопластичной, когда Ωт = const, то уравнение равновесия (2.2.4) принимает вид

Для замыкания уравнения (2.2.7) необходимо назначить закон изменения контактного касательного напряжения Ωn (закон трения).

Упражнение 2.2.1. Записать уравнение равновесия элемента идеальной жесткопластичной среды, ограниченного сферическими поверхностями, отстоящими друг от друга на расстоянии dr, при внешнем воздействии, показанном на рис. 72

328

2.2.ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНЫХ ЖЕСТКОПЛАСТИЧНЫХ СРЕД

2.2.2.Метод линий скольжения

Рассмотрим задачу ТП о движении пластичного изотропного несжимаемого тела в условиях плоской деформации. Математическая постановка такой задачи является частным вариантом общей математической постановки задач МСС, включающей уравнения основного замкнутого множества (табл. 4) и механические краевые условия (табл. 6).

Вектор скорости при плоской деформации в координатах E1E3 имеет две компоненты, в общем случае отличные от нуля:

которые должны удовлетворять условию несжимаемости (1.2.98) и граничным кинематическим условиям.

Компоненты тензора скоростей деформаций

ξ11 0 ξ13

ξ31 0 ξ33

определяются формулами С. Стокса (1.2.137). Из пропорциональности девиаторов напряжений и скоростей деформаций для изотропных сред (1.5.31) следует, что при плоской деформации тензор напряжений

Упражнение 2.2.2. Показать, что для изотропных несжимаемых сред при их движении в условиях плоской деформации справедливо следующее соотношение:

329

2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

Компоненты тензора напряжений (2.2.10) должны удовлетворять уравнению равновесия (1.4.48), имеющему в данном случае вид

Рис. 73. Схема к определению линий скольжения Кроме того, эти напряжения должны удовлетворять условию пластичности (1.5.79) и статическим условиям на границе области движения среды, представ-

ленным статической формулой О. Коши (1.3.13).

Таким образом, получается замкнутое множество пяти уравнений (1.5.79), (1.2.98), (2.2.12), (2.2.13) с пятью неизвестными величинами ς11, ς13 = ς31, ς33, V1, V3.

Множество из трех уравнений (1.5.79), (2.2.13), содержащее три неизвестных величины ςik, можно свести к двум уравнениям относительно среднего напряжения ς0 и угла ϑ между наибольшим главным напряжением ς1 и осью E1.

Воспользуемся законом преобразования компонент тензора напряжений при повороте координат (1.3.12) и преобразуем эти компоненты при переходе от главных осей ς1, ς3 тензора напряжений к произвольным осям E1, E3 с помощью матрицы направляющих косинусов (рис. 73):

Учитывая, что в главных координатах тензор напряжений имеет вид (1.3.18), с помощью (2.2.14) выполним преобразования (1.3.12) компонент ςi главных координат в компоненты ςpq произвольного множества координат. Тогда получим

330