книги / Механика сплошных сред (теоретические основы обработки давлением композитных материалов с задачами и решениями, примерами и упражнениями)

3.2. ПРИМЕНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ КВ ПОЛЕЙ СКОРОСТЕЙ

учетом уширения полосы.

Решение. Во всех плоскостях симметрии (рис. 106) присутствует деформация удлинения в направлении оси E2. В связи с тем, что в вертикальной плоскости симметрии E3 = 0 дополнительно имеет место только деформация обжатия, в дальнейшем плоскость E1E2 будем называть плоскостью обжатия и все параметры, связанные только с этой плоскостью, будем обозначать с индексом «об».

где функция тока об основного решения рассчитывается по формуле (П3.54):

где С об – несущественная для поля скоростей константа. В формуле (3.2.62) функция тока <об имеет размерность плоского потока. Если (3.2.62) использовать в (1.2.105), то получим

В горизонтальной плоскости симметрии E1 = 0 дополнительно имеет место только деформация уширения, и в дальнейшем плоскость E2E3 будем называть плоскостью уширения, а все параметры, связанные только с этой плоскостью, будем обозначать с индексом «уш». Например, функция тока скорректированного решения (3.2.50)

421

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ОМД МЕТОДАМИ МСС

где для сохранения размерности трехмерного поля скоростей (1.2.102) функция тока Ψуш и несущественная для поля скоростей константа С уш имеют размерность единицы длины. Если (3.2.63) использовать в формуле типа (1.2.105), где сомножитель V0 опускается, то получим

Теперь объемное поле скоростей (2.1.102) представляется в виде

или

По формуле Дж. Стокса (1.2.137) определяем компоненты тензора скоростей деформаций:

Плоское поле скоростей V уш (Е2, Е3), так же как поле V об (Е1, Е2), построим методом склейки плоских разрывных КВ-полей скоростей (основное решение) в

422

3.2. ПРИМЕНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ КВ ПОЛЕЙ СКОРОСТЕЙ

плоскости уширения с последующей его корректировкой по методу М. М. Фило- ненко-Бородича.

После склейки непрерывное основ-

ное КВ-поле скоростей V ɨɛ с компо-

нентами vɨɛj в плоскости обжатия Е1Е2

(рис. 104) представляется в виде (П3.57) Рис. 107. Расчетная схема в плоскости уширения

где текущая высота h изменяется по окружности валка радиуса R (П3.59).

Аналогичным образом получаем плоское КВ-поле скоростей V ɭɲ с компо-

нентами vɭɲj в плоскости уширения Е2Е3 (рис. 107):

длина геометрического очага деформации (3.1.25) определяется радиусом валка R и абсолютным обжатием h = h0 – h1 (рис. 104):

423

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ОМД МЕТОДАМИ МСС

с граничными значениями ψуш+ = 0,5b0(E3 = –0,5b) и ψуш– = 0 (E3 = 0).

По формуле Дж. Стокса (2.1.137) определяем компоненты тензора скоростей деформаций основного решения в плоскости обжатия:

Вся область движения металла в плоскостях обжатия (рис. 104) и уширения (рис. 106) в направлении оси Е2 разбита на пять зон, границы которых оговорены в задаче 3.2.3.1. В зонах II и IV применяется склеивающая функция х2(Е2)

(П3.57) и ее производные f(Е2) и f ′ (Е2).

На базе основных непрерывных кинематических параметров в плоскостях обжатия (П3.58), (3.2.68), (3.2.49) и уширения (3.2.69), (3.2.73), (3.2.74) построение корректировок в обеих плоскостях начнем с построения двух множеств кинематически возможных функций тока

где корректирующие функции Φоб; Φуш и их необходимые частные производные по ψоб, Е2; ψуш, Е2 соответственно удовлетворяют однородным граничным условиям. Последнее выполняется, как это было сделано в плоскости обжатия в задаче 3.2.3.1, с помощью метода разделения переменных и представления корректирующих функций в виде

zj в (3.2.52) – варьируемые параметры целевого функционала (3.2.58). Наилучшее приближение КВ-поля скоростей (3.2.66) к Р-полю по методу

В. Ритца (п. П2.4) определяется из замкнутого множества уравнений

424

3.2. ПРИМЕНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ КВ ПОЛЕЙ СКОРОСТЕЙ

Рис. 108. К моделированию сортовой прокатки по схемам овал – круг (а) и ромб – квадрат (б)

ωInt 0

ωz j

сучетом интегрального ограничения (2.1.54).

3.2.4.Моделирование процессов сортовой прокатки

Задача 3.2.4.1. Объемное непрерывное поле скоростей предыдущей задачи использовать для моделирования сортовой прокатки.

Решение. Пусть в области, представленной на рис. 108 (граница области обозначена тонкими линиями), получено непрерывное трехмерное КВ-поле скоростей V , например так, как это показано в задаче 3.2.3.4, соответствующее течению металла при листовой прокатке (ЛПКВ-поле).

Началом построения модели сортовой прокатки является координирование точек периметра профиля относительно произвольно назначенного центра поперечного сечения профиля

(ЦП). В самом общем случае конфигурация поперечного сечения профиля не имеет ни осей симметрии, ни плоскостей симметрии, как показано на рис. 109 для неравнополочного уголка.

Поэтому изначально исходные прямо-

угольные оси профиля E1χ; E3χ и ЦП мо- Рис. 109. Схема координирования профиля

425

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ОМД МЕТОДАМИ МСС

гут быть назначены произвольно. В этих координатах каждая i-я точка пери-

метра профиля (его границы) характеризуется радиус-вектором Gi с компонентами G1′i и G3′i , а каждая внутренняя mp-я точка профиля – радиус-вектором

ymp с компонентами y1′mp и y3′mp .

Поместим профиль с назначенными координатами в поперечное сечение трубки тока ЛПКВ-поля скоростей на выходе при Е2 = Е+ (рис. 108). В общем случае ЦП не лежит на оси Е2 и в пространстве Е1Е3 имеет координаты а1; а3, а

ось E1′ составляет с осью Е1 угол αп (рис. 109). Однако, если ЦП является осью симметрии, то для повышения производительности работы с моделью сортовой прокатки следует ЦП расположить на оси Е2 ЛПКВ-поля скоростей (а1 = 0;

а3 = 0). Кроме того, если профиль имеет плоскости симметрии, то их следы E1′

и E3′ следует совмещать с осями Е1 и Е3 ЛПКВ-поля скоростей (αп = 0).

Если вернуться к общему случаю, то повороту координат от старых осей координат Еi к новым осям Ek′ соответствует матрица косинусов

Тогда по закону преобразования компонент вектора (П1.24) для граничного вектора Gi с компонентами Gk′i при переходе от новых координат Ek′ к старым

Еj с учетом переноса начала координат имеем

В расчетах технологических параметров понадобится количество Nв верхних граничных точек и количество Nн нижних граничных точек. Если учесть, что межосевое расстояние D0 (рис. 110) и радиус валка R в ЛПКВ-поле скоростей

426

компонент радиус-вектора ymp внутренних точек профиля

или с учетом (3.2.78)

В модели сортовой прокатки наряду с параметрами zj ЛПКВ-поля скоростей угол ориентации профиля п и координаты ЦП аk также являются варьируемыми параметрами, от которых зависит минимум целевого функционала – мощности внутренних сил

с интегральным ограничением в виде баланса мощности внутренних и внешних Ext сил:

где

427

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ОМД МЕТОДАМИ МСС

τn – касательное напряжение на контактной поверхности металл – валок с пло-

щадью Sот в зоне отставания и площадью Sоп в зоне опережения; V – норма

вектора скорости металла на этой поверхности; σb и σf – заднее и переднее натяжения; S1 – площадь поперечного сечения профиля; Vf – скорость прокатки.

Интегрирование в (3.2.87) и (3.2.89) выполняется в эйлеровых координатах Еi в направлении, противоположном направлению прокатки. Поэтому в начале пути интегрирования для обеих мощностей Е2 = Е+. Для мощности внутренних сил Int (3.2.87) начальным значениям координат Е1 и Е3 присваиваются координаты как внутри профиля (3.2.86) для каждой mp-й точки, так и на его границе (3.2.80) для каждой i-й точки:

соответственно. Для мощности внешних сил Ext (3.2.89) начальным значениям координат Е1 и Е3 присваиваются координаты профиля только на его границе. В обоих случаях интегрирование проводится по линиям тока с фиксированным, заранее назначенным приращением времени t. Воспользуемся непрерывным трехмерным ЛПКВ-полем скоростей V с компонентами Vi задачи (3.2.3.4):

где компоненты Vkоб плоского поля в плоскости обжатия зависят от варьируемых параметров zj. Из дифференциального уравнения линий тока (1.2.107) для стационарного течения (Δλ = t) получаем приращения Еi эйлеровых координат вдоль линии тока:

Тогда, прибавляя к предыдущим значениям эйлеровых координат приращения (3.2.92), получаем движение вдоль линии тока Еi + Еi. Интегрирование по каждой линии тока выполняется до тех пор, пока Е2 ≥ Е–.

Модель, построенная на непрерывном поле скоростей, при необходимости позволяет учитывать деформационное и вязкое (скоростное) упрочнение деформируемого металла, а также зависимость его свойств от температуры:

При движении от точки к точке по линии тока с учетом соотношения (3.2.92) осуществляется накопление интеграла (3.2.87):

428

3.2. ПРИМЕНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ КВ ПОЛЕЙ СКОРОСТЕЙ

Для определения мощности внешних сил Ext (3.2.89) в каждой граничной точке непрерывного течения металла с использованием компонент вектора скорости (3.2.91) вычисляется норма (модуль) этого вектора

контактное касательное напряжение с учетом условия пластичности (Τ = τт) и закона трения по Э. Зибелю (2.2.29):

τn =2μтΤ;

длина элемента контактной линии тока с учетом (3.2.92):

и элемент ширины контактной поверхности

Тогда с учетом (3.2.93) и (3.2.95), (2.2.29), (3.2.96) и (3.2.97) при движении от точки к точке вдоль контактной линии тока осуществляется накопление интеграла (3.2.89):

где Ен – положение нейтрального сечения, разграничивающего зоны отставания Евх < Е2 ≤ Ен и опережения Е2 > Ен; Евх – значение координаты Е2 на входе металла

в контакт с валком (Е2 < −д , Γ = 0); Евых – значение координаты Е2 на выходе

металла из контакта с валком (Е2 ≥ 0, Γ = 0). Положение нейтрального сечения находим из баланса контактных сил трения и сил переднего и заднего натяжений:

где S0 – площадь поперечного сечения заготовки.

429

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ОМД МЕТОДАМИ МСС

Теперь можно приступать к реализации изопериметрической постанови вариационной задачи о сортовой прокатке с целевым функционалом (3.2.87) в виде (3.2.94) и интегральным ограничением (3.2.89) в виде (3.2.98), накладываемым на экстремали целевого функционала. Предположим, что изначально выбран-

ное количество параметров zj разложения корректировки ΦобE в ряд и в ее производных, записанных в задаче (3.2.3.4), равно N. Для того чтобы не анализировать характер экстремума вспомогательного функционала, потратим один из параметров zj, например z1, на безусловное выполнение баланса мощности (3.2.88). В этом случае вариационная задача сводится к поиску безусловного минимума целевого функционала (3.2.94) по N – 1 варьируемому параметру zj (2 ≤ j ≤ N). Кроме этих параметров в задаче о сортовой прокатке варьируемыми также являются: отношение zN + 1 = h0/b0 (рис. 108); коэффициент уширения zN + 2 = b1/b0 (рис. 108), а при необходимости – угол ориентации профиля в ЛПКВ-поле скоростей V zN + 3 = αп и координаты центра профиля zN + 4 = а1 и zN + 5 = а3 (рис. 109). Таким образом, в самом общем случае количество варьируемых параметров zj составит N + 5. Наилучшее приближение нового КВ-поля скоростей к Р-полю

по методу В. Ритца определяется из замкнутого множества уравнений ∂Int = 0

∂z j

с учетом интегрального ограничения (3.2.88).

Допустимый коэффициент вытяжки λ = S0/S1 за проход зависит от энергосиловых возможностей прокатного стана, угла захвата и ресурса пластичности деформируемого металла.

Задача 3.2.4.2. Построить поле скоростей для моделирования процессов сортовой прокатки по схемам ромб–квадрат и овал–круг.

Решение. Начнем с первой схемы – ромб–квадрат. Решение задачи выполним в направлении, противоположном направлению прокатки. Поэтому на выходе из очага деформации (рис. 108, б) уравнение контура изделия представляется в виде квадрата со сторонами a:

E3 = a – E1 E1 ≥ 0 и E3 ≥ 0; E3 = a + E1 E1 ≤ 0 и E3 ≥ 0;

E3 = – a – E1 E1 ≤ 0 и E3 ≤ 0; E3 = – a + E1 E1 ≥ 0 и E3 ≤ 0, (3.2.100) диагонали которого лежат в горизонтальной и вертикальной плоскостях симметрии. Все начальные узлы квадрата, в том числе и на его границе, обозначим Eiн .

Мощность контактных поверхностных сил в Ext (3.2.59) вычисляется на поверхностях тока, проходящих через стороны квадрата Ei = Eiн , при движении

430