книги / Механика сплошных сред (теоретические основы обработки давлением композитных материалов с задачами и решениями, примерами и упражнениями)

П1. ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОГО И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ

Девиатор Da находят как разность заданного тензора Ta и его сферической части:

П1.4. Инварианты тензоров

Согласно теореме Д. Гильберта, любому конечному множеству тензоров соответствует конечное число независимых друг от друга инвариантов по отношению к повороту множества координат, которые могут быть использованы для вычисления других, но уже зависимых от первых, инвариантов. В N-мерном пространстве для тензоров ранга n выше нулевого количество независимых инвариантов составляет Nn – 1. В частности, для тензора второго ранга Ta среди бесчисленного множества нижеприведенных инвариантов

I1 = Ta Tδ;

I2 = (TacTa) Tδ;

I3 = (TacTacTa) Tδ;

в трехмерном пространстве независимыми являются только три инварианта. В этом случае в качестве основных обычно назначают первые три инварианта, через которые могут быть выражены все остальные инварианты в (П1.57).

Упражнение П1.6. С помощью (П1.20) и (П1.21), используя закон преобразования компонент тензора (П1.26), доказать инвариантность величин I1, I2, I3.

Упражнение П1.7. Показать, что для четвертого инварианта I4 в (П1.57) справедлива формула

Упражнение П1.8. С помощью (П1.27) доказать независимость от поворота множества координат первого основного инварианта тензора третьего ранга

3 3 I1 = Τa Τ

Инварианты тензора второго ранга непосредственно связаны с его главными направлениями. Направление, характеризуемое вектором y , называется главным

461

ПРИЛОЖЕНИЕ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД)

направлением тензора Ta, если при скалярном умножении этого вектора на тензор направление вектора y остается неизменным, т. е. в тензорном виде

y Τa = λ y.

В трехмерном декартовом пространстве тензор имеет три главных направления, которые образуют главное множество осей координат тензора. Перепишем последнее уравнение в скалярной форме yiaik = λyk, перенесем правую часть влево и вынесем yi за скобки:

yi(aik – λδik) = 0,

где δik – символ Л. Кронекера (П1.13). Исключая тривиальное решение (yi = 0), устанавливаем, что все возможные значения скалярной величины λ должны удовлетворять характеристическому уравнению матрицы Ма тензора Ta:

Раскрытие определителя в (П1.58) в общем виде приводит к полному кубическому уравнению относительно λ:

в котором коэффициенты aI, aII, aIII называются первым, вторым и третьим инвариантами тензора соответственно. Эти коэффициенты получаются после группировки по степеням λ результата раскрытия определителя в (П1.58). Они связаны с основными инвариантами (П1.57) соотношениями

3

aI = I1; aII = 12 (I12 − I2 ); aIII = I33 I12I2 + I61 .

Эти соотношения можно записать через компоненты тензора Ta:

В главном множестве координат тензор (П1.29) имеет диагональную матрицу

462

П1. ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОГО И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ

a1 0 0

0 0 a3

диагональные компоненты которой a1, a2, a3 называются главными значениями тензора. Главными значениями ai тензора являются корни λ1, λ2, λ3 характеристического уравнения (П1.59), распределенные между величинами ai так, чтобы

Процедура нахождения матрицы тензора в главном множестве координат по его матрице, заданной в произвольном множестве координат (П1.29), называется диагонализацией тензора. Для трехмерного пространства выполнение этой процедуры сводится к решению кубического уравнения (П1.59) с непременным соблюдением условия (П1.62). Отметим, что для симметричных тензоров корни характеристического уравнения (П1.59) всегда являются действительными числами. При этом всегда выполняется неравенство

Если неравенство (П1.63) выполняется, то для отыскания корней уравнения (П1.64) применяется тригонометрическое решение

463

ПРИЛОЖЕНИЕ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД)

где

Τ arccos b .

2 a3

27

Тогда корни Οi уравнения (П1.59) находятся из (П1.65) с помощью (П1.66).

П1.5. Задачи по тензорному исчислению

П1.5.1. Ортонормированный векторный базис

Задача П1.5.1.1. Заданное в старых координатах (рис. 115) с базисом ej множе-

ство векторов X1 e1 +e2 = 1 1 0 ; X2 e2 +e3 = 0 1 1 ; X3 e1 +e2 +e3 = 1 1 1

привести к ортонормированному виду ek . При этом новый орт e3χ построить на

векторе X3 и определить матрицу косинусов преобразования старых координат

в новые.

Решение. Сначала необходимо проверить линейную независимость заданных векторов. Из теоретического курса известно, что для линейно независимых элементов, в данном случае векторов, определитель И.П. Грама

G Xi Xk ζ 0.

Для составления такого определителя найдем всевозможные попарные скалярные произведения заданных векторов, включая произведения этих векторов самих на себя:

Тогда определитель И. П. Грама

Рис. 115. Ортонормирование векторного базиса

464

П1. ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОГО И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ

2 1 2

G = 1 2 2 =1. 2 2 3

Условие G ≠ 0 выполняется, поэтому заданное множество состоит из линейно независимых векторов.

Для построения на Xk ортогонального множества векторов νk применим процедуру ортогонализации по Э. Шмидту:

ν1 = X1 ; νk = Xk −λkjν j (k = 2, 3 ; j < k ),

где

λkj = Xk ν2j ;

νj

ν j – нормы (модули) ортогональных векторов ν j ,

ν j = ν j ν j .

Тогда, используя νk и λkj, находим ряд ортогональных векторов. Первый вектор ν1 = 1 1 0 . Далее находим

ν2 = X2 − λ21ν1; λ21 = Xν21 ν21 ,

465

ПРИЛОЖЕНИЕ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД)

λ32 = 0. Тогда ν3 = 0 0 1 .

Самостоятельно. Убедиться в том, что полученные три вектора ν1 = 1 1 0 ,

ek′ = αkj ej ,

где

αkj = cos ek′ ej ,

удобно представлять в виде матрицы косинусов ((αkj )) поворота осей координат. Для рассматриваемой задачи

466

П1. ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОГО И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ

Компоненты αkj полученной матрицы направляющих косинусов показывают, что новый базис ek′ с осями координат xk получается путем положительного (против часовой стрелки) поворота старого базиса ej с осями координат xj

вокруг оси x3 на угол 45о (рис. 115).

Задача П1.5.1.2. Показать, что при преобразовании ортонормированного множества координат для компонент αik матриц направляющих косинусов выполняются следующие свойства:

αikαjk = δij; αkiαkj = δij.

Решение. Воспользуемся условием перехода от старого базиса к новому в виде (1.9) и в виде

ek′ = αkj ej ; ei′ = αi m em .

Перемножим скалярно соответственно левые и правые части обоих выражений:

ek′ ei′ = αkjαi m ej em .

Отметим, что для ортов должны выполняться условия их ортонормированности:

ek′ ei′ = δki ; ej em = δ j m .

Тогда, подставляя последние выражения в предыдущее, получим доказательство выполнения первого свойства компонент матрицы косинусов:

δki = αkjαi mδ j m = αkpαip .

Самостоятельно доказать справедливость второго свойства.

467

ПРИЛОЖЕНИЕ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД)

Указания. Для доказательства второго свойства воспользоваться преобразованием нового (штрихового) базиса в старый (нештриховой) базис:

ej = αmj em′ .

П1.5.2. Действия над тензорами

Задача П1.5.2.1. Показать, что скалярное произведение двух векторов a и b определяется формулой

a b = ai bi .

Решение. В фиксированном базисе

a = ai ei ; b = bk ek ,

поэтому

a b = ai bk ei ek .

Учитывая, что ei ek = δik , запишем

a b = ai bk δik = a j bj .

Задача П1.5.2.2. Найти скалярное произведение двух тензоров первого ранга

a и b в четырехмерном пространстве:

a = 2e1 +e2 +3e3 − 2e4 ; b = 3e1 +2e1 − e1 + 4e1 .

Решение. Умножение в тензорной форме

или

468

П1. ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОГО И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ

В скалярной форме

ϕ = aibi = 2 × 3 + 1 × 2 – 3 × 1 – 2 × 4 = –3.

Задача П1.5.2.3. Показать, что скаляр (тензор нулевого ранга)

ϕ = a b

инвариантен к преобразованию поворотом (не зависит от этого преобразования) базиса.

Решение. В старом базисе ek в соответствии с решением задачи П1.5.2.2

ϕ = a b = ai bi ,

где a = ai ei ; b = bk ek . В новом базисе, характеризуемом в старом базисе матрицей косинусов ((αkj )), компоненты заданных векторов изменятся по закону

a′j = α jk ak ; b′j = bk α j i bi .

Рассмотрим скалярное произведение заданных векторов в новом базисе

ϕ′ = a′j b′j .

Используя предыдущие результаты, получим

ϕ′ = α jk α j i ak bi .

Теперь воспользуемся одним из свойств компонент матрицы косинусов αkjαji = δki и запишем

ϕ′ = ak bi δk i = a j bj = ϕ.

Задача П1.5.2.4. В базисе ei заданы векторы a = 1 2 3 и b = 2 4 1 . Вычислить: 1) скалярное ϕ = a b , 2) векторное c = a×b и 3) тензорное Τc = a b

469

ПРИЛОЖЕНИЕ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД)

произведения в этом базисе и в новом базисе eiχ , полученном поворотом старых координат вокруг оси x3 на угол 60о (рис. 116).

Решение. Сначала в соответствии с рис. 116 составим матрицу косинусов

Тогда в соответствии с законом преобразования найдем в новом базисе компоненты вектора a :

а затем вектора b :

b 1 2 3 e1χ 2 3 e2χ e3χ .

1.Скалярное произведение в старом базисе

Μai bi =1υ 2+2υ 4+3υ1=13,

вновом базисе

т. е. Μχ Μ.

470