книги / Механика сплошных сред (теоретические основы обработки давлением композитных материалов с задачами и решениями, примерами и упражнениями)

3.1. ПРИМЕНЕНИЕ РАЗРЫВНЫХ КВ ПОЛЕЙ СКОРОСТЕЙ

Тогда

.в = 2 υ 144,337[69,984(1,012 – 1) 0,308 + 0,07 + + 0,06 (9,619 υ 0,308 + 0,667)] = 157,841 МПа.

Так как коэффициент запаса по пределу текучести

больше единицы, то волочение по заданным условиям задачи возможно. По формуле (3.1.63) определяем силу волочения:

P= Σ R12 .в = 3,141 υ 0,000036 υ 157,841 = 17,848 кН.

3.1.4. Оценка технологических параметров при РКУП

Задача 3.1.4.1. Определить среднее давление при равноканальном угловом прессовании (РКУП) идеальной несжимаемой жесткопластичной среды.

Решение. Суть процесса РКУП (рис. 97) состоит в продавливании металла в угло-

вой канал с постоянным поперечным сечением Н. Для сплошной несжимаемой среды коэффициент вытяжки равен единице. Однако неодинаковость пути дви-

жения металла по линиям тока в очаге деформации реального процесса приводит к неоднородности деформации и, как следствие, к неравномерности свойств металла, неодинаковости проработки структуры и т. п.

391

3.МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ОМД МЕТОДАМИ МСС

Всамом простом варианте функция тока ψ для всей области, ограниченной внешним сектором с центром в точке B (рис. 97), может быть представлена в виде линейной функции координат:

Вектор скорости дисторции d V такого поля равен нулю, и поэтому компоненты тензора скоростей деформации ξjk = 0. Таким образом, получили разрывное КВ-поле скоростей, которому соответствует однородное поступательное движение сплошной среды в угловой области.

Распишем баланс мощности (3.1.53) для рассматриваемого процесса:

Здесь vτ – скачок вектора скорости на оси симметрии x2: vτ = 2V0 sin(α/2); μт – коэффициент трения в законе Э. Зибеля (2.2.29).

Из баланса мощности находим среднее давление на пресс-шайбе при РКУП:

392

3.1. ПРИМЕНЕНИЕ РАЗРЫВНЫХ КВ ПОЛЕЙ СКОРОСТЕЙ

Здесь первое слагаемое в квадратных скобках соответствует мощности внутрен них сил, представленной мощностью разрыва вектора скорости; второе слагае мое в квадратных скобках соответствует мощности поверхностных сил трения.

Задача 3.1.4.2. На основании разрывного КВ поля скоростей предыдущей задачи определить деформационный разогрев идеальной несжимаемой жест копластичной среды при РКУП.

Решение. В связи с равенством нулю вектора скорости дисторции для пост роенного поля скоростей (3.1.64) диссипация мощности внутренних сил сосре доточена лишь на поверхности x1 = 0 (рис. 97) разрыва вектора скорости. Экви валентная этой мощности удельная работа равна произведению напряжения пластического сдвига τт на первое слагаемое в квадратных скобках формулы (3.1.66). Поэтому в соответствии с (3.1.35) можно оценить эквивалентную сте пень деформации сдвига при РКУП

Λ=2tg α2

исоответствующий деформационный разогрев

393

3.МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ОМД МЕТОДАМИ МСС

3.2.Применение непрерывных КВ%полей скоростей

Применительно к задачам ОМД разработанные в МСС общие методы построения непрерывных КВ-полей скоростей (метод склейки разрывных КВ-по- лей скоростей, методы ТФКП, метод корректировки основного решения и др.) становятся эффективными в двух случаях.

Во-первых, они эффективны, когда позволяют получить так называемые, по предложенной Е. П. Унксовым терминологии, инженерные формулы для оценки технологических параметров, а по сути – формулы для выполнения расчетов без применения сложных программ на ЭВМ или вообще без ЭВМ. Примером может служить ранее приведенная формула для расчета степени деформации сдвига (3.1.41), полученная одним из методов ТФКП, а именно, методом суперпозиции гармонических течений.

Во-вторых, методы построения непрерывных КВ-полей скоростей становятся особенно эффективными, когда они позволяют получить, чаще всего с помощью ЭВМ, либо реальное поле (Р-поле) скоростей для рассматриваемого процесса ОМД, либо КВ-поле скоростей, близкое в том или ином смысле к Р-полю скоростей. Наилучшее приближение КВ-поля к Р-полю обычно обеспечивается с помощью вариационных принципов МСС.

3.2.1. Применение методов ТФКП

Задача 3.2.1.1. Методом суперпозиции гармонических течений построить поле скоростей, соответствующее трехмерному течению металла при прокатке без учета изменения деформируемого объема.

Решение. Сначала построим поле скоростей для моделирования листовой прокатки из заготовки с прямоугольным поперечным сечением (сляб) b0 υ h0, полагая, что получаемый прокат (плита, лист, полоса и т. п.) также имеет прямоугольное сечение b1 υ h1 (рис. 98).

394

3.2. ПРИМЕНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ КВ ПОЛЕЙ СКОРОСТЕЙ

плоскости будем записывать с индексом «об». Здесь лишь приведем функцию тока, компоненты вектора скорости и компоненты тензора скоростей деформаций.

Функция тока в плоскости обжатия (2.3.16):

где параметры с1, с2 совпадают с таковыми в формулах (2.3.14); Ноб – масштабный фактор, связанный с геометрическими параметрами прокатки формулой (2.3.25); V0 – скорость входа металла в очаг деформации.

Компоненты вектора скорости в плоскости обжатия (2.3.17):

Компоненты тензора скоростей деформаций в плоскости обжатия (1.2.159):

395

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ОМД МЕТОДАМИ МСС

Все параметры в плоскости уширения будем записывать с индексом «уш». Поле скоростей в этой плоскости построим путем суперпозиции однородного потока в направлении оси Е2 и бесчисленного множества стоков, с аффиксом а, на мнимой оси Е2 с комплексным потенциалом

где ψуш – удельная мощность (интенсивность) стоков. Мнимая часть комплексного потенциала wуш представляет собой функцию тока в плоскости уширения:

Здесь параметры с3 и с4 определяются коэффициентом β = b1/b0 уширения: c3 = β2−1, c4 = β2+1 ; масштабный фактор Нуш и параметр а определяют крутиз-

ну граничной линии тока в области локального уширения и положение области наиболее интенсивного уширения относительно начала координат. Величины b1, Нуш и а можно рассматривать как варьируемые параметры в вариационной постановке объемной задачи о прокатке металла.

По формулам типа (1.2.105)

V = Ψ(E2 , E3 )× E1

находим компоненты вектора скорости в плоскости уширения

396

3.2. ПРИМЕНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ КВ ПОЛЕЙ СКОРОСТЕЙ

По формулам Дж. Стокса (1.2.137) определяем компоненты тензора скоростей деформаций в плоскости уширения:

При этом необходимо учитывать, что ψоб = ψоб (Е1, Е2), а ψуш = ψуш (Е2, Е3). Тогда

Следует отметить, что для соблюдения размерности объемного поля скоростей одно из полей (либо в плоскости обжатия, либо в плоскости уширения) дол-

397

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ОМД МЕТОДАМИ МСС

жно быть безразмерным. В рассмотренном решении безразмерным является плоское поле в плоскости уширения.

Далее по формулам Дж. Стокса (1.2.137) определяем компоненты [ik тензора скоростей деформаций объемного поля скоростей. При этом необходимо учи-

Построенное объемное поле скоростей может быть использовано при моделировании процесса прокатки в калибрах сортовой продукции (круг, овал, квадрат, ромб, швеллер, тавр, двутавр и т. п.). Для этого в произвольном поперечном сечении на одном из концов объемной области вне очага деформации (рис. 98) необходимо обозначить контур заготовки L = const одной пространственной конфигурации (например, круг). Тогда, двигаясь в очаге деформации по линиям тока, проходящим через этот контур, на другом конце объемной области вне очага деформации получим этот же контур L = const, но другой пространственной конфигурации (для приведенного примера при b0 ζh0 или b1 ζh1 – эллипс).

Если масштабный фактор Ноб в плоскости обжатия связать не с параметрами процесса прокатки (2.3.24), а с параметрами других процессов ОМД (прессование, волочение и т. п.), то объемное поле скоростей (3.2.8) может быть использовано для моделирования трехмерной деформации сложных профилей, получаемых с помощью таких процессов.

Задача 3.2.1.2. Методом интеграла К. Шварца–Э. Кристоффеля построить непрерывное поле скоростей, соответствующее течению сплошной несжимаемой среды в угловой области (рис. 99).

398

3.2. ПРИМЕНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ КВ ПОЛЕЙ СКОРОСТЕЙ

область D физической плоскости Z на область E плоскости W комплексного потенциала. При этом комплексная скорость

комплексно сопряжена с вектором скорости V течения в области D (П3.29),

V=W ′ = v1 −iv2 ,

акомплексная скорость деформации (П3.10)

W ′′ = d 2w = ξ11 −i ξ12

dz2

имеет действительной частью диагональную компоненту ξ11 тензора скоростей деформаций, а ее мнимая часть отличается знаком от боковой компоненты ξ12 этого тензора.

Из ТФКП известно, что интеграл К. Шварца–Э. Кристоффеля позволяет конформно отобразить полигональную область на верхнюю полуплоскость вспомогательной плоскости ζ. Выполняя такое отображение для области E, получаем функцию w = w(ζ), а для области D – функцию z = z(ζ), что соответствует комплексному потенциалу w = w(z), полученному в параметрическом виде.

В общем случае интеграл К. Шварца–Э. Кристоффеля, отображающий область D физической плоскости Z на верхнюю полуплоскость вспомогательной плоскости ζ (рис. 99), записывается в виде (П3.35):

ζ n

z (ζ) = c1 ∫ ∏(ζ − ak )ak −1 d ζ + c2 ,

ζ0 k =1

399

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ОМД МЕТОДАМИ МСС

нечность, то соответствующий сомножитель в подынтегральном выражении (3.2.11) равен единице.

Перепишем последний интеграл с учетом нормировки в табл. 14:

Построение поля скоростей выполним в общем виде для области с произ-

1

вольным углом α (0 ≤ α ≤ 2 ) и разными размерами каналов: на входе – H и на

выходе – h. По нормировке точке a2 = 1 плоскости ζ соответствует точка A2 = 0 в плоскости Z. Поэтому если поместить нижний предел ζ0 интеграла (3.2.11) в точку a2, то при ζ0 = 1 имеем z(1) = c2 = 0 и

Для определения констант c1 и a воспользуемся приращениями z в плоскости Z при обходе полуплоскости по окружностям CR и Cr бесконечно большого R и бесконечно малого r радиусов соответственно. Первому обходу по CR в плоскости Z (рис. 99) соответствует переход с луча A2A3 на луч A3A4 и приращение

Для вычисления полученного интеграла запишем комплексную величину ζ в виде ζ = ζ ei θ . Тогда d ζ = i ζ ei θ d θ , где 0 ≤ θ ≤ π. Теперь интеграл в (3.2.13) представляется в виде

400