книги / Механика сплошных сред (теоретические основы обработки давлением композитных материалов с задачами и решениями, примерами и упражнениями)
..pdf
3.2. ПРИМЕНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ КВ ПОЛЕЙ СКОРОСТЕЙ
по линиям тока (1.2.107) от точек сторон квадрата при E2 = E+ (рис. 108) в направлении, противоположном направлению прокатки:
Еi = –Vi t, |
( 3 . 2 . 1 0 1 ) |
где Vi – компоненты объемного поля скоростей (3.2.66).
Мощность внутренних сил
E E1ɤ E3ɤ
Рис. 111. Изотахи в калибрах ромб–квадрат (а) и овал–круг (б)
Int = ³ |
³ |
³ ȉ Ǿd E1 d E2 d E3 min, |
(3.2.102) |
E |
0 |
0 |
|
где Eiɤ – координаты точек, принадлежащих граничным линиям тока. Варьируемые параметры целевого функционала (3.2.102) находятся путем
минимизации этого функционала при ограничении (2.1.54), накладываемом на экстремали. Одним из варьируемых параметров является изменение ширины проката.
Аналогичным образом выполняется моделирование сортовой прокатки по схеме овал–круг. В этом случае на выходе из очага деформации E2 = E+ (рис. 105, а) уравнение контура изделия представляется в виде окружности радиуса r:
E2 |
E2 |
r2 . |
1 |
3 |
|
Изотахи Vi = const в сечении проката в зоне нейтральной поверхности при прокатке по схемам ромб–квадрат и овал–круг показаны на рис. 111.
431
3.МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ОМД МЕТОДАМИ МСС
3.3.Пластическая деформация композитов
3.3.1. Сжатие бинарного пакета
Задача 3.3.1.1. Определить логарифмическую степень деформации
δм.кр = ln h0м , при которой вместе с мягкими пластинами (М) с исходной тол-
hм.кр
щиной h0м начнут деформироваться твердые (Т) пластины при их одноосном сжатии без учета внешнего и межслойного трения. Количество пластин не ограничено.
Решение. Однокомпонентная деформация пластин М будет продолжаться до тех пор, пока их текущий предел текучести
σтм = σ0м + σм εм.кр |
(3.3.1) |
не станет равным начальному пределу текучести σ0т пластин Т. В формуле (3.3.1) σ0м – начальный предел текучести пластин М; σм – модуль упрочнения этих пластин к моменту совместной деформации всех пластин при условии
σ0т = σ0м + σм δм.кр. |
(3.3.2) |
Г. Э. Аркулис и В. Г. Дорогобид ввели понятие модуля начальной неоднородности пакета
ψн = |
σ0т − σ0м . |
(3.3.3) |
|
σм |
|
Тогда на основании (3.3.2) |
|
|
δм.кр = ψн, |
(3.3.4) |
|
т. е. при идеальной осадке многослойного тела, критическая степень деформации пластин М равна модулю начальной неоднородности пакета.
В частном варианте, когда материал пластин М является жесткопластичным (σм = 0 и σтм = const), имеем в соответствии с (3.3.3) ψн → 0 и вследствие (3.3.4) εм.кр → 0. Это означает, что совместная пластическая деформация пластин Т и жесткопластичных пластин М невозможна и деформация является ступенчатой, так как сначала полностью выжимается материал М, и только после этого начнется деформация пластин Т.
Так как δм.кр = ln h0м , то из уравнения (3.3.4) получаем соотношение
hм.кр
432
3.3. ПЛАСТИЧЕСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ КОМПОЗИТОВ
hɦ ɤɪ |
h |
ɦ e ɧ . |
(3.3.5) |
. |
0 |
|
|
Задача 3.3.1.2. Пусть сжимается пакет из пластин М и Т. Исходная толщина пластин М h0м = 6 мм. Пределы текучести материалов М и Т ς0м = 200 МПа, ς0т = 400 МПа. Модуль упрочнения материала М ςм = 280 МПа. Определить, когда начинается совместная пластическая деформация.
|
Решение. Модуль начальной неоднородности по уравнению (3.3.3) |
|||
ɧ |
|
400 200 |
0,714. По формуле (3.3.5) находим, что совместная деформа- |
|
280 |
||||
|
|
|||
ция пластин М и Т начнется в тот момент, когда пластины М будут обжаты до толщины hм.кр = 6e–0,714 = 2,94 мм.
3.3.2. Прокатка многослойных заготовок
Задача 3.3.2.1. Используя разрывное поле скоростей (3.1.2) задачи 3.1.1.1, для оценки технологических параметров построить разрывное поле скоростей, соответствующее прокатке в валках радиуса R симметричной трехслойной заготовки (рис. 112) с размерами H0 и h0. После прокатки полоса имеет размеры H1 и h1.
Решение. Воспользуемся как основным решением функцией тока (3.1.1), представленной в виде
|
Vf |
H1 E1 |
|
|
|
(3.3.6) |
||
H |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с соответствующим полем скоростей |
|
|
|
|
|
|
||
V1 Vf |
H1 E1 |
Hχ; V2 |
Vf |
H1 |
, |
(3.3.7) |
||
|
H 2 |
H |
||||||
где текущая высота H вычисляется по формуле (3.1.3):
H |
H1 |
2E2 tg |
, |
|
|
2 |
|
в которой |
|
|
|
tg |
= H0 H1 ; |
Рис. 112. Схема прокатки симметричной трех9 |
|
|
2 |
2 ɞ |
|
|
|
|
слойной полосы |
433
3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ОМД МЕТОДАМИ МСС
Vf – скорость выхода биметаллической полосы из валков; длина 
д проекции
дуги захвата на ось симметрии определяется по формуле (3.1.25).
По формуле Дж. Стокса (1.2.137) поле скоростей (3.3.7) позволяет определить компоненты ξjk тензора скоростей деформаций Tξ деформируемой моносреды:
|
2 H1 |
|
α |
|
|
4 H1 E1 |
|
2 α |
(3.3.8) |
|
ξ11 = −ξ22 = −Vf H 2 |
tg |
2 |
; |
ξ12 = ξ21 = −Vf |
H 3 |
tg |
2 . |
|||
|
||||||||||
Пусть для простоты решения точка Еп находится на уровне Е2 = −
д , точка
Ес – на уровне Е2 = 0. Тогда в соответствии с пп. 1.2.10 функции тока в i-м слое представляются в виде (1.2.176). Коэффициент Bc вычисляется по формуле (1.2.177), в которой для рассматриваемого случая
Eт |
= − |
π(2 E2 |
+ д ) |
. |
(3.3.9) |
||
|
2 |
д |
|||||
|
|
|
|
|
|||
Здесь при Е2 = − д параметр Eт |
= |
π |
и в (1.2.177) Bc = 1, а при Е2 = 0 имеем |
||||
4 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
π
Eт = – 2 и в (1.2.177) Bc = 0. В последнем случае Ψ1 = Ψ2 = ψ.
Коэффициенты bk в (1.2.178) зависят от значений функции тока (3.3.6) на входе в очаг деформации (H = H0) при Е1 = –h0/2:
ψ = ψs =Vf |
H1 h0 |
(3.3.10) |
|
2 H0 |
|||
|
|
и на выходе из очага деформации (H = H1) при Е1 = –h1/2:
ψ = ψ f =Vf |
h1 |
. |
(3.3.11) |
|
2 |
||||
|
|
|
Так, при Е2 = −
д из (1.2.177) с учетом (3.3.9) на входе в очаг деформации имеем
Bc = 1 и на общей линии тока ψ = ψs. При Е2 = 0 на выходе из очага деформации Bc = 0 и на общей линии тока Ψ1 = ψ = ψf. Тогда из первого соотношения в (1.2.176) имеем
434
3.3. ПЛАСТИЧЕСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ КОМПОЗИТОВ
ψf = ψs + b1(ψs – ψ+).
Отсюда получаем первое соотношение в (1.2.178), которое с учетом значений
ψ |
, ψ и ψ+ = V |
|
H0 |
приобретает вид |
|
||
|
2 |
|
|||||
s |
f |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b = |
H0 h1− H1 h0 |
. |
(3.3.12) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
H1 (h0 − H0 ) |
||
|
|
|
|
|
|
||
Теперь из равенства ψf = ψст + b1(ψст – ψ+)Bc определим изменение функции ψ = ψст на общей линии тока (1.2.181). Подстановкой этого значения ψ во второе соотношение в (1.2.176) ψf = ψст + b1(ψст – ψ–)Bc получаем значение коэффициента b2 функции тока Ψ2 в (3.3.8):
b |
= |
ψ f − ψст |
= |
(ψ f − ψ+ )b1 |
. |
|
|
(ψст − ψ− )Bс |
ψ f − ψ+ b1 |
|
|
||||
2 |
|
|
Bс |
|
(3.3.13) |
||
После подстановки соответствующих значений функции тока ψ получаем второе соотношение в (1.2.178), которое для рассматриваемой задачи принимает вид
b2 = |
|
|
(h1 − H1 )(H0 h1 − h0 H1 ) |
|
. |
||||
H |
h |
(h − H |
0 |
) + (H |
h |
− h H |
)B |
||
1 |
1 0 |
|
0 1 |
0 1 |
с |
||||
Теперь можно записать функции тока (1.2.176) с учетом перечисленных за-
висимостей:
Ψ1
Ψ2
|
|
|
H E |
|
|
|
|
H |
|
h |
− H h |
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
0 |
|
|
H |
|
h |
|
− H h |
|
|
||||||||
= −V |
|
|
|
1 1 |
1 |
+ |
|
|
0 |
1 |
|
1 0 |
|
B |
+ |
|
|
|
|
|
0 1 |
|
1 0 |
B |
||||||||||||||
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
f |
|
|
|
|
|
|
H |
|
(h − H |
|
) |
|
|
|
с |
|
|
|
2 H |
(h − H |
|
) |
с |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
H E |
|
|
|
|
|
|
|
|
(h − H |
1 |
)(H |
|
h − h H |
) |
|
|
|
|
||||||||||||||||
= −V |
|
|
|
1 1 |
|
1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 1 |
|
0 1 |
|
|
|
|
|
B |
||||||||||
|
|
|
H |
H h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
f |
|
|
|
|
|
(h − H ) + (H h − h H )B с |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
1 |
|
0 |
|
1 |
|
с |
|
|
|||||||
;
. (3.3.14)
На общей линии тока обоих слоев (на рис. 112 – сплошная линия) функции тока (3.3.14) имеют одинаковое Ψ1 = Ψ2 = ψf значение, что позволяет определить текущую высоту h внутреннего слоя:
435
3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ОМД МЕТОДАМИ МСС
h = |
H (h1 + H1 b1 Bс ) |
. |
(3.3.15) |
|
|||
|
H1 (1+ b1 Bс ) |
|
|
Если учесть значение Bc (1.2.177), то ясно, что h нелинейно зависит от эйлеровой координаты E2, как это схематично показано на рис. 109. С помощью функций тока (3.3.14) по формуле (1.2.105) находим компоненты вектора скорости внешнего слоя
V11 = |
∂Ψ1 |
= −v1 (1+ b1 Bс ) + (ψ − ψ+ )b1 |
∂Bс |
; |
|
|
||||||||||
|
∂E |
|
|
|||||||||||||
|
|
∂E |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
V1 |
= − ∂Ψ1 |
= v (1 |
+ b B ) |
|
|
|
|
|
|
(3.3.16) |
||
|
|
|
|
2 |
∂ E1 |
2 |
1 с |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и внутреннего слоя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V 2 = |
∂Ψ2 = v |
(1+ b B |
) + ψ |
∂b2 |
B |
+ b |
|
∂ Bс |
|
|
; |
|||||
|
|
|
||||||||||||||
1 |
∂ E2 |
|
1 |
2 |
с |
|
|
с |
2 |
|
∂ E2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
∂ E2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
V22 = − ∂Ψ2 |
= v2 (1+ b2 Bс ), |
|
|
|
|
|
(3.3.17) |
||||||
|
|
|
|
|
∂ E1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где с учетом (2.1.177) с (3.3.9) и (3.3.13)
|
∂ B |
|
0,1875π |
(3cos E |
|
|
|
); |
∂b |
ψ+ |
b2 |
∂ B |
|
||||||||
|
с |
= − |
|
|
|
|
+ cos3E |
|
|
2 |
= |
|
|
с |
. |
(3.3.18) |
|||||
|
∂ E2 |
|
|
|
|
|
|
|
ψ f − ψ+ |
|
|
||||||||||
|
|
|
д |
|
|
|
т |
|
т |
|
∂ E2 |
2 ∂ E2 |
|
||||||||
Здесь при Е = |
− |
(E = |
π ) и при Е = 0 (E = – |
π ) величина |
∂Bс |
= 0. |
|||||||||||||||
∂E2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
2 |
д |
|
т |
|
2 |
|
2 |
|
|
т |
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Перед входом в очаг деформации (Е2 = −
д ) оба слоя движутся с разными
начальными скоростями, которые получаются из V01 =V21 |
(3.3.16) и V02 =V22 |
||||||||
(3.3.17) при B = 1, |
∂Bс |
= 0 и H = H : |
|
|
|
|
|
||
∂E2 |
|
|
|
|
|
||||
c |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
H1 |
(1+ b1 ) |
2 |
|
H1 |
(1+ b2 ). |
(3.3.19) |
|
V0 =Vf H0 |
; V0 |
=Vf H0 |
||||||
|
|
||||||||
436
3.3. ПЛАСТИЧЕСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ КОМПОЗИТОВ
Кроме того, в этих слоях их векторы скорости претерпевают скачок за счет
компонент V1 |
(3.3.16) и V 2 |
(3.3.17) при дополнительном условии |
|
∂Bс |
= 0: |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂E2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
=V |
f |
2 H1 E1 |
tg |
α (1+ b ); |
V 2 =V |
f |
2 H1 E1 |
tg |
α (1+ b |
). |
(3.3.20) |
||||
|
|
|||||||||||||||
1 |
|
H02 |
|
2 |
1 |
|
H02 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
На выходе из очага деформации (Е2 = 0) оба слоя движутся с одинаковыми |
||||||||||
скоростями V1 |
=V1 |
=V |
f |
(3.3.16) и V1 |
=V 2 |
=V |
f |
(3.3.17) при B |
c |
= 0, H = H и |
f |
2 |
|
f |
2 |
|
|
1 |
|||
∂Bс = 0:
∂E2
|
|
|
Vf =V0 |
H0 |
|
. |
|
(3.3.21) |
|||
|
|
|
H |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
Однако при этом вектор скорости претерпевает скачок |
Vτ за счет компо- |
||||||||||
нент V1 |
(3.3.16) или V 2 |
(3.3.17): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
τ |
=Vf |
2 E1 |
|
|
|
α |
(3.3.22) |
|
|
|
|
H |
tg |
2 . |
||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Задача 3.3.2.2. С помощью полей скоростей в наружных (3.3.16) и внутреннем (3.3.16) слоях предыдущей задачи определить зависимость относительной
толщины внутреннего слоя заготовки h0 от относительной толщины этого слоя
H0
в изделии h1 при заданных значениях параметров прокатки симметричного
H1
пакета H0, H1, h1 и R (рис. 112). Предполагается, что материалами слоев являются сплошные изотропные несжимаемые среды.
Решение. В решаемой задаче при заданных свойствах Τ1 = Τ1(Γ1, Η1, θ1) и Τ2 = Τ2(Γ2, Η2, θ2) слоев неизвестной величиной является, например, высота заготовки внутреннего слоя h0 до прокатки, так как в этом случае толщина загото-
вок для наружных слоев вычисляется по формуле 12 (H0 − h0 ) . Тогда КВ-поля
скоростей (3.3.16) и (3.3.17), полученные в предыдущей задаче, становятся виртуальными, зависящими от высоты h0.
437
3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ОМД МЕТОДАМИ МСС
Рис. 113. Граничные условия при прокатке симмет9 ричной трехслойной полосы
Прежде чем определить толщину h0, назначим граничные условия. Воспользуемся формулами кинематики (1.2.171), (1.2.175) и статики (1.3.16), (1.3.28) для записи этих условий на участках границы, находящихся между точками Ak (рис. 113):
3
nuVun 0, ȉς ȉn Vɩɟɪ
|
|
|
|
s A1 A2 ; |
|
|
V ȉn 0, nυ Dς n υ n Ωk |
s A2 A3 A4 ; |
|
||||
nυVυ n |
|
3 |
ς1ɡɚɞɧ |
s A4 A5 ; |
|
|
0, |
ȉς ȉn |
|
||||
nυVυ n |
|
3 |
ςɡɚɞɧ2 |
s A A ; |
|
|
0, |
ȉς ȉn |
|
||||
|
|
|
|
5 |
6 |
|
nυVυ n 0, nυ Dς n υ n 0 s A6 A1 ; |
|
|||||
V ȉn |
0, nυ Dς n υ n |
Ω s Sɦɫ , |
(3.3.23) |
|||
где ςɩɟɪ – переднее натяжение; ςiɡɚɞɧ – задние натяжения, приложенные к двум
наружным (i = 1) и одному внутреннему (i = 2) слоям; Sмс – межслойная граница в очаге деформации, начинающаяся в точке A5 (рис. 113).
Граничные условия (3.3.23) позволяют воспользоваться вариационным принципом Ж. Лагранжа (пп. 2.1.1) и определить единственный варьируемый параметр h0 путем минимизации функционала Ж. Лагранжа (2.1.7):
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
ɧ |
||
JɅ ³ |
|
|
³ Ȇ1v d E1 d E2 ³ |
³Ȇv2 d E1 d E2 2ΠɬΩɬ |
1+tg |
|
³ V Ω d E2 |
||||||||||||||
|
|
2 |
|||||||||||||||||||
ɞ |
H h |
|
|
|
|
|
|
|
ɞ 0 |
|
|
|
|
|
ɞ |
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2ΠɬΩɬ |
1+tg |
|
|
0 |
V Ω d E2 2ΠɦɫΩɬɦ |
1+tg |
Ε |
0 |
VɦɫΩ |
d E2 |
||||||||||
|
|
|
³ |
|
³ |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ɧ |
|
|
|
|
|
|
ɧ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
ª |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
º |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
V0 |
¬H0 |
Vɩɟɪ h0 Vɡɚɞɧ |
H0 h0 Vɡɚɞɧ ¼. |
|
(3.3.24) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
438
3.3. ПЛАСТИЧЕСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ КОМПОЗИТОВ
Здесь первое слагаемое представляет собой мощность внутренних сил в наружном слое; второе слагаемое – то же самое во внутреннем слое. Третье слагаемое представляет собой мощность контактных сил трения в зоне отставания; четвертое слагаемое – то же самое в зоне опережения. Здесь учтено, что элемент
длины контактной поверхности d = |
d E2 |
+ d E2 = |
1+tg2 α d E . Здесь же из |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(3.3.15) при ψ = ψ+ и из (3.3.7) при E1 = H на контактной поверхности имеем |
|||||||||||
V τ = |
v2 |
+ v2 =V |
|
H1 |
1+ tg2 α (1 |
+ b B |
) . Пятое слагаемое – мощность сил |
||||
f H |
|||||||||||
|
1 |
2 |
2 |
1 с |
|
|
|
||||
трения на межслойной границе Sмс, где tgβ = (h0 − h1 )
2
д . Шестое слагаемое – мощность сил переднего и заднего натяжений.
В формуле (3.3.23) для вычисления первых двух интегралов требуется определить скоростные потенциалы типа (2.1.5), которые для изотропных сред в каждом k-м слое имеют вид
Πvk = ∫Τk d Ηk . |
(3.3.25) |
Для сред, обладающих вязким и деформационным упрочнением с учетом температурных изменений их свойств, интегрирование неопределенного интеграла (3.3.25) может вызвать затруднение. Для идеальных жесткопластичных сред, когда для каждого слоя интенсивность касательных напряжений равна посто-
янному значению напряжения пластического сдвига ( Τk = τkт ) потенциалы (3.3.25) вычисляются просто:
Πvk = τkтΗk . |
(3.3.26) |
В любом случае с помощью полей скоростей (3.3.16) и (3.3.17) необходимо для каждого из слоев найти интенсивность сдвиговых скоростей деформаций Η (1.2.161), которая для несжимаемых сред определяется компонентами тензора скоростей деформаций. Используя формулу Дж. Стокса (1.2.137), определим компоненты тензора скоростей деформаций в наружном слое:
ξ111 = −ξ122 = ξ11 (1+ b1 Bс ) − v2 b1 ∂∂EBс ; 2
ξ121 = ξ121 |
= ξ12 (1+ b1 Bс ) + |
1 |
v1 b1 |
∂ Bс |
+ |
1 |
(ψ − ψ+ )b1 |
∂2 Bс . (3.3.27) |
|
2 |
∂ E |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
∂ E2 |
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
439
3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ОМД МЕТОДАМИ МСС
Аналогичным образом определяем во втором слое:
ξ2 |
= −ξ2 |
= ξ (1+ b B |
) − v |
|
|
∂b2 |
|
B |
|
+ b |
∂ Bс |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
11 |
|
22 |
|
|
11 |
2 |
|
|
с |
|
|
|
2 |
|
∂ E2 |
|
|
с |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ E2 |
||||
ξ2 |
= ξ2 |
= ξ |
|
(1+ b B |
) + |
1 |
v |
|
|
∂b2 |
|
B |
+b |
∂ Bс |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
12 |
21 |
|
11 |
|
2 |
с |
|
|
2 |
|
1 |
∂ E2 |
|
|
с |
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ E2 |
|||||||
|
|
1 |
|
|
∂2 b |
|
|
|
∂b |
|
∂ B |
|
|
∂2 B |
|
||||||||||||
|
+ |
|
ψ |
|
2 |
B + |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
с |
+ b |
|
|
|
с . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
с |
|
|
∂ E2 |
|
∂ E2 |
2 |
|
|
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
∂ E2 |
|
|
|
|
|
|
∂ E2 |
|
|||||||||||||||
В формулах (3.3.27) и (3.3.28) в соответствии с (3.3.17)
∂2 B |
|
|
0,5625π2 |
(sin E |
|
|
|
|
|
); |
|
|||||||
|
с |
= − |
|
|
|
|
|
|
т |
+ sin3E |
т |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
∂ E2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂2 b |
|
ψ |
+ b |
|
|
|
∂b |
|
∂ B |
|
|
∂2 B |
|
|||||
2 |
= |
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
с |
+ b |
|
|
с . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
ψ f − ψ |
+ |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
||||
∂ E2 |
|
|
|
|
∂ E2 ∂ E2 |
∂ E2 |
|
|||||||||||
;
+
(3.3.28)
Для идеальных жесткопластичных сред (3.3.26) целевой функционал (3.3.23) принимает вид
|
|
|
|
0 |
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 α |
н |
|
|
|
|
||||||||
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
|
||||||||||||||||
J |
Л |
= τ |
т |
|
|
∫ |
Η d E E |
2 |
|
|
+ τ |
т |
|
∫ |
Η d E E |
− 2μ |
τ |
т |
|
1+tg |
|
2 |
∫ |
|
V d E |
+ |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
H −h |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
− д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− д |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− д |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 α |
|
|
0 |
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мс |
|
|
2 β |
|
0 |
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
+2μ |
т |
τ |
т |
1+tg |
2 |
|
|
∫ |
V |
|
|
d E |
2 |
+ |
2μ |
мс |
τ |
т |
1+tg |
|
2 |
|
∫ |
|
|
V d E |
2 |
+ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мс |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
h0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
H1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
+τ2т ∫ |
|
|
|
V 2 d E1 + τ1т |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
V1 d E1 + τ2т ∫ V τ d E1 + τ1т |
|
∫ V τ d E1 + |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
1 |
V |
H |
0 |
σ |
пер |
− h σ2 |
|
−(H |
0 |
− h )σ1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
(3.3.29) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
задн |
|
|
|
0 |
|
|
задн |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
440