книги / Механика сплошных сред (теоретические основы обработки давлением композитных материалов с задачами и решениями, примерами и упражнениями)

П1. ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОГО И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ

Г.Записать матрицу тензора Тb из п. В после поворота координат на угол 30о вокруг оси x1.

Д. По скалярному полю ϕ = x13 x23 в точке с координатами x1 = –1; x2 = 3 найти единичный вектор n , совпадающий по направлению с вектором

v= (Δϕ) .

Е.Расписать в скалярной форме 2 (u ) .

Вариант 28

А.Как по заданной матрице Ma = ((aik)) получить транспонированную матрицу?

Б.В каком соотношении должны находиться главные компоненты тензора Тa, если его геометрическим аналогом является эллипсоид вращения?

числить: значение c = Τb a ; скалярное произведение a и c ; векторное произведение c и a ; тензорное произведение a и c .

Г.Записать матрицу тензора Тb из п. В после поворота координат на угол 45о вокруг оси x2.

Д. По векторному полю v с компонентами v1 = x14 + x23 ; v2 = x12 − x25 в точке с координатами x1 = –2; x2 = 2 найти единичный вектор n , совпадающий по направлению с вектором u = 2 v .

Е. Расписать в скалярной форме (u× w) .

531

ПРИЛОЖЕНИЕ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД)

П2. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

П2.1. Элементы функционального анализа

При решении задач МСС очень часто удобно сводить их к поиску наилучшего, в том или ином смысле, приближенного представления решения с помощью определенного класса функций. При реализации задач важными являются вопросы о существовании, единственности и устойчивости решения этих задач, объединяемых понятием корректности математической постановки задач. Доказательство единственности и устойчивости наилучшего приближения, как правило, связано с конкретными условиями решаемой задачи.

Для изложения вопросов существования решения рассмотрим некоторые определения и понятия функционального анализа.

Если произвольная линейная комбинация (П2.1) может быть равна нулю лишь при всех λj = 0, то элементы Yj, составляющие эту комбинацию, называются линейно независимыми. Линейно независимые элементы порождают пространство этих элементов. В частности, если Yj являются функциями, то они

порождают функциональное пространство E Yj .

Множество L всех линейных комбинаций вида (П2.1) называется подпро странством пространства Е, порожденного элементами Yj: L E. Если сумма любых двух элементов из Е и произведение любого элемента из Е на скаляр также принадлежит Е, то Е называется линейным пространством, когда для любых его элементов Yj Е и любых скаляров λ и μ выполняются аксиоматические свойства:

1)Yj + Yk = Yk + Yj;

2)Yi + (Yj + Yk) = (Yi + Yj) + Yk;

3)существует элемент θ Е такой, что Yj + θ = Yj ;

4)λ(μYj) = (λμ)Yj ;

5)1Yj = Yj , θYj = θ;

532

Пространство называется линейным m мерным (m – размерность пространства), если в нем существует m линейно независимых элементов, а всякие m + k (k > 0) элементы линейно зависимы. Набор любых m линейно независимых элементов в m-мерном пространстве Е называется его базисом. Линейное пространство Е называется бесконечномерным, если для каждого натурального n в Е существует n линейно независимых элементов.

В линейном вещественном пространстве Е со свойствами (П2.2) скалярные множители λ, μ, ... – вещественные числа. Такое пространство называется евк лидовым, если каждой паре его элементов Yj и Yk ставится в соответствие вещественное число, обозначаемое (Yj , Yk) и называемое скалярным произведением этих элементов, наделенное следующими свойствами:

Рассмотрим некоторые действия над элементами функциональных пространств. В функциональном евклидовом пространстве скалярным произведением двух функций Yj и Yk в некоторой области изменения их аргументов называется определенный интеграл от произведения этих функций. Так, для функций одного аргумента Yj = Yj(х) на интервале [a, b] (a ≤ x ≤ b) скалярное произведение имеет вид

составленный из всевозможных попарных скалярных произведений линейно независимых элементов Yi , включая произведения элементов самих на себя, отличен от нуля.

533

ПРИЛОЖЕНИЕ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД)

Линейное пространство Е называется нормированным, если для каждого элемента Yj Е определено вещественное число

называемое нормой Yj, для которого выполняются следующие аксиоматические условия:

1)||Yj || > 0 Yj Е и

Yj = θ ||Yj || = 0 – невырожденность;

2)||λYj || = ||λ|| ||Yj || – однородность;

3)||Yj + Yk || ≤ ||Yj || + ||Yk || – неравенство треугольника. (П2.7)

Из всевозможных нормированных пространств выделим подпространство

L2 E функций с суммируемым квадратом, в котором норма конечна ||Yj || < ∞.

Метрическим пространством называется всякое множество элементов Ym Е, если для любых Yj и Yк из него определено неотрицательное число

называемое расстоянием между двумя элементами Yj и Yк, наделенное следующими свойствами:

1)r(Yj , Yk) ≥ 0 Ym Е и Yj = Yk r = 0;

2)r(Yj , Yk) = r(Yk, Yj );

Упражнение П2.1. Доказать, что понятие «метрические пространства» является обобщением понятия «нормированные пространства»

Вопросы существования решения связаны со сходимостью в том или ином смысле рассматриваемого ряда функций.

Последовательность элементов Yi метрического пространства Е называется

фундаментальной (сходящейся в себе), если она удовлетворяет критерию О. Коши: для любого ε > 0 существует номер N = N(ε) такой, что для любых номеров n > N и любых натуральных m выполняется неравенство

||Yn+m – Yn || < ε.

534

П2. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Элемент Y метрического пространства Е называется пределом бесконечной последовательности элементов Yk Е, если

Определенная таким образом сходимость последовательности элементов Yk

называется сходимостью по метрике (по расстоянию) пространства Е. Множество элементов A, содержащееся в метрическом пространстве Е, на-

зывается компактным множеством, если из любой бесконечной последовательности элементов Yk A можно выделить частичную последовательность, сходящуюся в Е к некоторому пределу. Если таким свойством обладает все пространство Е, то оно называется компактным пространством. Компактное множество ограничено по расстоянию.

Если для любой сходящейся к пределу Y последовательности Yk A этот предел также принадлежит A (Y A), то A называется замкнутым множеством.

Метрическое пространство называется полным, если в нем всякая фундаментальная последовательность имеет предел. Полное нормированное пространство Н, в котором норма определена скалярным произведением, называется гильбертовым пространством. Примером гильбертова пространства может служить пространство L2, для элементов которого выполняется свойство (П2.7).

Два элемента Yj и Yk гильбертова пространства называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю:

лизации по Э. Шмидту приводится к ортогональному множеству элементов hk

множества ортогональных элементов

535

ПРИЛОЖЕНИЕ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД)

Теорема Пифагора (П2.16) позволяет утверждать сходимость (по норме) ряда

∞

∑hk , составленного из попарно ортогональных элементов, при условии схо-

k =1

димости числового ряда, составленного из квадратов норм этих элементов:

n

∑hk 2 .

k =1

Множество элементов, норма которых равна единице, называется нормиро ванным множеством. Множество ортогональных элементов hk (П2.12) можно привести к множеству ортонормированных элементов γk. Для этого необходимо каждый элемент hk ортогонального множества разделить на его норму:

Полное ортонормированное множество элементов γk гильбертова пространства называется ортонормированным базисом.

Упражнение П2.3. Показать, что для ортонормированного базиса (П2.17) справедливо соотношение

Любой элемент Y H может быть представлен разложением Ж. Фурье по элементам полного ортонормированного множества γk:

Прежде чем перейти к вопросам единственности, дадим определение расстояния r(Y, L) от элемента Y до подпространства L следующим равенством*:

* inf – сокращение от infimum (нижняя грань).

536

П2. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Если Y L, то r(Y, L) = 0; если Y L, то r(Y, L) > 0.

Теорема. Пусть L – конечномерное подпространство гильбертова пространства Н и γj – его ортонормированный базис. Тогда для любого элемента Y Н в L существует единственное наилучшее приближение в виде Z = λj γj.

Доказательство. Элемент Y из Н представим в виде (П2.19) и вычислим квадрат расстояния между Y и Z:

r2 (Y , Z ) = Y 2 − 2(Y , Z ) + Z 2 .

По обобщенной теореме Пифагора, учитывая свойство ассоциативности скалярного произведения (П2.3) и ортонормированность элементов γk, имеем || Z ||2 = λk λk. Кроме того, (Y, Z) = λk(Y, γk). Откуда, учитывая разложение Ж. Фурье (П2.19) Y = αk γk, находим

r2(Y, Z) = || Y ||2 – 2 αk λk + λk λk . После преобразования суммы последних двух слагаемых

r2(Y, Z) = || Y ||2 – αk αk + (λk – αk) (λk – αk)

отметим, что минимум этого выражения достигается лишь при λk = αk. Следовательно, наилучшее приближение единственно и оно имеет вид (П2.19). В этом случае наименьший квадрат расстояния между Y и Z:

Здесь число n произвольно, а правая часть не зависит от n. Следовательно, сумма квадратов коэффициентов Ж. Фурье сходится при любом сколь угодно большом n:

Это соотношение называется неравенством Ф. Бесселя.

Если рассматривать наилучшее приближение Y L из Z L при прочих равных условиях, то вследствие произвольности Z необходимо вычислять расстояние (П2.21). В этом случае вычисление квадрата нижней грани (П2.21) приводит к соотношению

537

ПРИЛОЖЕНИЕ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД)

При оговоренных выше условиях соотношение (П2.24) также приводит к неравенству Ф. Бесселя. Таким образом, наилучшее приближение элемента гильбертова пространства с помощью его ортонормированного базиса есть разложение этого элемента в ряд Ж. Фурье (П2.19) q.e.d.*

П2.2. Некоторые сведения из вариационного исчисления

Основным понятием вариационного исчисления является понятие функционала, которое является обобщением понятия функции и частным вариантом понятия оператора. В порядке повышения сложности приведем определения этих понятий.

Если одному множеству чисел Y ставится в соответствие другое множество чисел x, то говорят, что задана функция

Если одному множеству функций Y ставится в соответствие множество чисел J, то говорят, что задан функционал

Если одному множеству функций Z ставится в соответствие множество функY ций Y, то говорят, что задан оператор A

Примером функционала может служить определенный интеграл вида

b

J = ∫Y (x)dx.

a

В метрическом пространстве Е функционал J называется непрерывным функ ционалом в точке Y Е, если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что при всех Z Е, удовлетворяющих условию r(Y, Z) < δ, имеет место неравенство

Величина J(Y) (П2.26) называется непрерывным функционалом во всем про странстве Е, если она непрерывна в каждой точке этого пространства.

* quod erud demonstrandum (лат.) – что и требовалось доказать.

538

П2. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

то он называется линейным функционалом.

Непрерывный функционал J(Y), заданный на замкнутом компактном множестве, ограничен и среди его значений есть экстремальное, т. е. наибольшее (sup J)* или наименьшее (inf J), значение.

В дальнейшем под элементами Y Е, в основном, будем понимать функции одного или нескольких аргументов. Функция Y, сообщающая функционалу экстремальное значение, называется его экстремалью.

Если функция Y Е является экстремалью функционала, а Y E – любая такая функция, что r (Y , Y ) меньше сколь угодно малого числа, то разность

называется вариацией функции Y. Варьирование функции означает бесконечно малое изменение ее при фиксированном значении аргумента. Поэтому с помощью произвольной, непрерывной, необходимое число раз дифференцируемой функции Z(x) и с помощью сколь угодно малого переменного параметра равенство (П2.30) может быть представлено в виде

Как отмечено выше, вариация δY функции Y(x) всегда рассматривается при фиксированных значениях аргумента. Поэтому всегда вариация аргумента δx = 0.

Функционал

называется вариацией (первой вариацией) функционала J(Y). Необходимым усло вием существования экстремума функционала в области изменения аргументов, определяющих его функции Y(x), является обращение в ноль первой вариации

Условие (П2.33) получается из (П2.32), если вместо Y подставить значение

экстремали Y из (П2.30).

В некоторых случаях выполнение достаточных условий существования эк стремума функционала определяется знаком второй вариации функционала δ2J. При этом δ2J > 0 на нижней грани inf J и δ2J < 0 на верхней грани sup J. В других

* sup – сокращение от supremum (верхняя грань).

539

ПРИЛОЖЕНИЕ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД)

случаях требуются более сложные исследования, например, на основании дос таточного условия К. Вейерштрасса. Более подробно об условиях необходимости и достаточности существования экстремума функционала изложено в следующем подразделе.

В заключение этого подраздела отметим, что суть всякой вариационной задачи сводится к определению экстремалей функционала, сообщающих ему экстремальное значение. Разработке методов определения экстремалей функционалов посвящен раздел математики «Вариационное исчисление». Важность этого раздела в приложениях к решению инженерных задач трудно переоценить. В частности, вариационные принципы МСС позволяют классическую математи ческую постановку задачи об интегрировании замкнутого множества уравнений, описывающих движение сплошной среды с заданными краевыми условиями, заменить эквивалентной вариационной задачей, из математической постановки которой следует, что решениями множества дифференциальных уравнений являются экстремали некоторого функционала.

П2.3. Примеры реализации вариационных задач*

В качестве функционала рассмотрим зависимость времени t от вида функ-

ции Y = Y(x) траектории , по которой с заданной скоростью V(x) перемещается материальная частица m с координатами x :

Используя этот функционал, можно сформулировать следующую вариационную задачу: найти вид Y(x) траектории материальной частицы m, движение которой из точки x = a в точку x = b под действием силы тяжести осуществляется в наикратчайшее время. Такая траектория называется брахистохроной.

Скорость движения частицы m с ускорением свободного падения g по траектории Y(x) вычисляется по формуле V = 2 g Y . Элемент траектории (П2.34) d = 1+Y ′2 d x . Тогда рассматриваемый функционал (П2.34) принимает вид

* Подраздел написан совместно с Н. А. Потапковым.

540