книги / Механика сплошных сред (теоретические основы обработки давлением композитных материалов с задачами и решениями, примерами и упражнениями)

П1. ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОГО И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ

Задача П1.2.1.4. Найти произведение (выполнить операцию умножения) матрицы-строки Ma = ((a1k)) размерностью 1 × 3 и прямоугольной матрицы Mb = ((bjk)) размерностью 3 × 2 :

Решение. Произведение Mc = Ma Mb в компонентной форме имеет вид

cik = aij bjk. Тогда

Mc = ((cik)) = ((a11b11 + a12b21 + a13b31 a11b12 + a12b22 + a13b32)) = ((23 22)).

Задача П1.2.1.5. Найти произведение прямоугольной матрицы строки Ma = ((aij)) размерностью 4 × 3 и матрицы-столбца Mb = ((bj1)) размерностью 3 × 1:

Решение.

Задача П1.2.1.6. Найти левое и правое произведения квадратной матрицы Ma = ((aik)) третьего порядка на квадратную матрицу Mb = ((bik)) того же порядка:

451

ПРИЛОЖЕНИЕ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД)

Решение. Произведение матрицы Ma на матрицу Mb слева:

Самостоятельно найти произведение Md = MbMa. Ответ:

П1.2.2. Транспонирование, симметрирование и альтернирование

Задача П1.2.2.1. По заданной квадратной четвертого порядка матрице

найти транспонированную матрицу Maт .

Решение. Компоненты транспонированной матрицы:

452

П1. ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОГО И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ

на симметричную Mb = ((bik)) и альтернативную (кососимметричную, антисимметричную) Mc = ((cik)) части.

Решение. Сначала находим компоненты транспонированной матрицы

которую вместе с исходной матрицей Ma используем для определения симметричной части

и альтернативной части

Проверка. Сложением полученных симметричной и альтернативной частей убеждаемся, что исходная матрица Ma = Mb + Mc.

Задача П1.2.2.3. Используя результаты предыдущей задачи, умножить альтернативную матрицу Mc на симметричную матрицу Mb.

Решение. Применяя компонентную форму умножения матриц из задачи П1.2.2.2, учитывая правило А. Эйнштейна, находим

453

ПРИЛОЖЕНИЕ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД)

П1.2.3. Диагонализация матрицы

Задача П1.2.3.1. Определить собственные значения матрицы

и записать диагональную матрицу Mдa .

Решение. Собственные значения матрицы можно найти двумя способами. 1. Составим характеристическое уравнение

| aik – λδik | = 0,

где δik – символ Л. Кронекера. Для заданной матрицы Ma:

Раскрывая определитель, имеем

(1 – λ)(4 – λ)(7 – λ)+64+64 – 16(4 – λ) – 64(1 – λ) – 4(7 – λ) = 0

или

– λ3 + 12 λ2 + 45λ = 0.

Решая это кубическое уравнение относительно λ, находим три его корня

λ1 = 0; λ2 = 15; λ3 = –3,

которые и являются собственными значениями заданной матрицы.

2. После раскрытия определителя в первом способе, группируя слагаемые по степеням λ

– λ3 + aI λ2 – aIIλ + aIII = 0,

определим коэффициенты характеристического уравнения:

454

П1. ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОГО И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ

ijk – символ Т. Леви-Чивиты. Подстановкой сюда компонент заданной матрицы находим aI = 12; aII = –45; aIII = 0. Тогда характеристическое уравнение принимает вид

– λ3 + 12 λ2 + 45λ = 0,

совпадающий с видом в предыдущем решении. Поэтому получаем те же собственные значения матрицы, что и в предыдущем решении.

Теперь с помощью собственных значений можно записать диагональную матрицу:

П1.3. Действия над тензорами различного ранга

Любое действие, в котором участвуют различные тензоры, возможно только в том случае, когда матрицы этих тензоров записаны в одном и том же множестве координат.

Многие действия над тензорами произвольного ранга сводятся к действиям над их матрицами. Так, сложение (вычитание), возможное лишь для тензоров одинакового ранга, сводится к сложению (вычитанию) соответствующих компонент матриц слагаемых (вычитаемых) тензоров. Например, для двух слагае-

сводится, по сути, к компонентной (скалярной) форме записи a j k + bj k = cj k с помощью компонент этих тензоров.

n

Умножение на скаляр a тензора Τb любого ранга вследствие инвариантности

первого можно выполнять в любом множестве координат. Для этого необходимо каждую компоненту матрицы тензора в выбранном множестве координат умножить на число, характеризующее скаляр. Ранг тензора, получаемого в результате такого умножения, равен рангу тензора, участвующего в этом действии

455

ПРИЛОЖЕНИЕ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД)

Введем понятие умножения тензоров различного ранга как обобщение скалярного (П1.1) и векторного (П1.2) умножения векторов.

Операция нахождения p-скалярного (читать: пи-скалярного) произведения

называется скалярным типа p (читать: типа пи) умножением этих тензоров.

компоненты которого равны сумме попарных произведений соответствующих компонент тензоров-сомножителей по p(j...k) повторяющимся индексам:

ci q = ai j k bk j q .

В произведении (П1.33) p не может быть больше наименьшего ранга одного из сомножителей. В некоторых случаях в зависимости от значения p произведение (П1.33) имеет следующие частные названия и соответствующую символику:

–при n = m = p = 0 из (П1.33) получается произведение скалярных величин;

–при n = p = 0 (m > 0) или m = p = 0 (n > 0) – произведение (П1.32) тензора

ранга выше нулевого на скаляр (в обоих случаях символ опускается);

–при n = m = p = 1 из (П1.33) получается скалярное произведение (П1.1) двух векторов;

–при n = p = 1 (n < m) или m = p = 1 (m < n) – скалярное произведение тензора на вектор слева или справа соответственно, а в более общем случае:

–при n = p > 1 (n < m)

456

П1. ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОГО И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ

При скалярном произведении тензоров различного ранга, когда n = m = p > 1, запись (П1.33) называется полным скалярным произведением тензоров одинако вого ранга

в результате которого получается скаляр (в последних трех случаях символ заменяется точкой «·» – символом обычного скалярного произведения вектор ной алгебры).

При n ≥ 1, m ≥ 1 и p = 0 запись (П1.33) называется тензорным произведением:

В последнем случае символ заменяется символом тензорного произведения . Например, тензор второго ранга может быть получен тензорным произведе

или в скалярной форме cik = aibk.

Тензорное произведение двух векторов (П1.38) называется диадой и отличает ся от любого другого тензора второго ранга тем, что k е компоненты его j й стро ки пропорциональны j й компоненте первого сомножителя, а j е компоненты его k го столбца пропорциональны k й компоненте второго сомножителя.

Упражнение П1.4. Показать, что всякий тензор второго ранга не единствен ным образом может быть представлен в трехмерном пространстве суммой трех диад

Тензорное произведение трех векторов

называется триадой.

457

ПРИЛОЖЕНИЕ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД)

Вообще тензорное произведение n векторов

называется полиадой ранга n.

Упражнение П1.5. Используя результаты предыдущего упражнения, показать, что в N-мерном пространстве всякий тензор ранга n (n > 1) не единственным образом может быть представлен суммой Nn – 1 полиад того же ранга (П1.39) Представление тензоров произвольного ранга в виде суммы полиад позво-

ляет ввести обобщение векторного произведения (П1.2).

Операция нахождения p-векторного (читать: пи-векторного) произведения

В произведении (П1.41) «p» не может быть больше наименьшего ранга одного из сомножителей. В некоторых случаях в зависимости от значения «p» произведение (П1.41) имеет следующие частные названия и соответствующую символику:

–при n = m = p = 1 из (П1.41) получается векторное произведение (П1.2) двух векторов;

–при n = p = 1 (n<m) или m = p = 1 (m < n) – векторное произведение тензора на вектор слева

458

П1. ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОГО И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ

соответственно, а при более общем случае, когда n = p > 1 (n < m)

–векторное произведение тензоров различного ранга;

–при n = m = p ≥ 1 запись (П1.41) называется полным векторным произведе нием тензоров одинакового ранга

в результате которого получается новый тензор того же ранга.

Из записей (П1.43)–(П1.47) видно, что во всех этих случаях символ ×р заменяется крестом «×» – символом обычного векторного произведения векторной алгебры.

Замена в полиаде (П1.40) местами любой пары векторов называется транс понированием полиады. Если такую замену соответствующих пар векторов выполнить для всех Nn – 1 полиад, сумма которых образует некоторый тензор ранга n (П1.28), то получим транспонированный тензор ранга n. Для компонент тензора ранга n (П1.28) операция транспонирования тензора сводится к замене местами соответствующих этим векторам (по их позициям в суммируемых полиадах) индексов. В общем случае допускается транспонирование по нескольким парам векторов суммируемых полиад, образующих тензор. В частности, при транспонировании тензора второго ранга (П1.29) происходит замена строк матрицы заданного тензора (П1.29) на соответствующие ее столбцы с образованием нового тензора

называемого транспонированным тензором.

Полусумма заданного тензора ранга n и тензора, транспонированного по некоторым парам индексов компонент заданного тензора, называется симмет ричной частью тензора ранга n по этим индексам, а сама операция нахождения такой части называется симметрированием заданного тензора по указанным индексам. Так, симметричная часть тензора второго ранга (П1.29) имеет вид

459

ПРИЛОЖЕНИЕ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД)

Полуразность заданного тензора ранга n (П1.28) и тензора, транспонированного по некоторым парам индексов компонент исходного тензора (П1.28), называется альтернативной (кососимметричной, антисимметричной) частью тен зора ранга n по этим индексам, а сама операция нахождения такой части называется альтернированием заданного тензора (П1.28) по указанным индексам. Для тензора второго ранга (П1.29) его альтернативная часть имеет вид

В общем случае исходный тензор ранга n (П1.28) всегда равен сумме своих симметричной и альтернативной частей. В частности, для тензора (П1.29), используя (П1.49) и (П1.50), легко показать, что

Так как любой тензор ранга n может быть представлен суммой полиад (П1.40) того же ранга, альтернативную часть всякого тензора второго ранга можно представить с помощью внешнего произведения векторов, образующих диады этого тензора. Внешнее произведение двух векторов имеет вид

Любой тензор второго ранга можно разложить на девиатор Da и сферическую

*В отдельных изданиях бывших стран СССР вместо терминов «сферическая часть тензора», или «сферический тензор», используется неправильный термин «шаровой тензор», так как геометрическим аналогом такого тензора является центральная поверхность второго порядка – сфера, а не объемное тело – шар (п. 1.6).

460