книги / Механика сплошных сред (теоретические основы обработки давлением композитных материалов с задачами и решениями, примерами и упражнениями)

2.2. ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНЫХ ЖЕСТКОПЛАСТИЧНЫХ СРЕД

При этом вследствие симметрии тензора напряжений σ31= σ13, а остальные бо ковые компоненты σpq (p ≠ q) равны нулю. Далее воспользуемся тригонометри ческими преобразованиями:

Полагая, что движущаяся среда находится в пластическом состоянии, вос пользуемся условием пластичности в главных координатах тензора напряже ний (1.5.80), а также соотношением (2.2.11). Тогда из (2.2.15) получим

Подставим (2.2.16) в (2.2.13), полагая, что деформируемая среда является идеальной жесткопластичной (рис. 58, д). Тогда τт = const и относительно пара метров σ0, γ получаем замкнутое множество уравнений:

Известно (пп. 1.3.4), что максимальные касательные напряжения (1.3.49)

π

действуют на площадках, наклоненных под углом 4 к главным направлениям

тензора напряжений. Из рис. 73 следует, что в каждой точке среды имеются два таких направления и соответственно две площадки максимальных касательных напряжений. В дальнейшем с этими площадками будем связывать два направ ления. Условимся одно из таких направлений, которое при отрицательном (по часовой стрелке) вращении от наибольшего главного напряжения σ1 встречает ся первым, называть α направлением. Другое направление, которое при таком

331

2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

вращении от σ1 в противоположном направлении встречается первым, будем называть β направлением. Очевидно, α- и β-направления в каждой точке среды образуют локальное правое множество, в общем случае, криволинейных координат. Непрерывную линию, касающуюся в каждой точке α-направления (β- направления), будем называть α9линией (β9линией). Ясно, что всю область сплошной среды можно покрыть ортогональной сеткой семейств α- и β-линий. Эти линии называются линиями скольжения.

Воспользуемся углом ϕ = γ − π4 между α-направлением и осью E1 вместо угла в множестве уравнений (2.2.17):

Теперь после дифференцирования первого уравнения (2.2.18) по E3, а второго – по E1 и вычитания второго результата дифференцирования из первого получим одно дифференциальное уравнение относительно одной неизвестной величины ϕ. Полученное таким образом уравнение относится к типу дифференциальных уравнений, которые называются дифференциальными уравнениями в частных производных второго порядка:

В дополнение к уравнению (2.2.19) введем очевидные соотношения (П.1.83)

332

2.2. ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНЫХ ЖЕСТКОПЛАСТИЧНЫХ СРЕД

Тогда получаем замкнутое множество из трех уравнений относительно вторых

составленный из коэффициентов при неизвестных величинах, отличен от нуля. Приравнивание определителя (2.2.21) нулю дает два направления

ляются. При b2 − 4a c > 0 уравнения (2.2.18) называются множеством диффе ренциальных уравнений гиперболического типа, а его вещественные направления позволяют определить два семейства кривых, называемых характеристиками. Если использовать из (2.2.19) значения коэффициентов a, b и c, то радикал в

жество уравнений (2.2.18) к гиперболическому типу. Подстановкой a, b и c в

(2.2.22) получим два уравнения характеристик:

Отметим, что точно такие же уравнения получаются при записи отношений дифференциалов dE1 и dE3 при перемещении вдоль линий скольжения семейств α и β соответственно (рис. 73). Это означает, что характеристики уравнения (2.2.19) совпадают с линиями скольжения. Продолжая анализ уравнений (2.2.19), (2.2.20), можно показать, что вдоль α- и β-линий должны выполняться соответствующие соотношения

333

2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

Упражнение 2.2.3. Показать, что при плоском деформированном состоянии модуль нормального напряжения (1.3.26) имеет вид

Рассмотрим некоторую область движения сплошной среды с границей S, касательная к которой наклонена к оси E1 под углом (рис. 74). Тогда единичная внешняя нормаль к поверхности S представляется в виде

Упражнение 2.2.4. С помощью (2.2.25) и (2.2.27) показать, что модули касательного (1.3.29) и нормального (2.2.26) напряжений на наклонной площадке с

нормалью n связаны с параметрами линий скольжения соотношениями

При решении задач ОМД наиболее часто используют закон трения Э. Зибе ля – по напряжению пластического сдвига:

где Πт – коэффициент трения по напряжению пластического сдвига, и закон тре ния Т. Кармана – по нормальному давлению:

334

2.2. ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНЫХ ЖЕСТКОПЛАСТИЧНЫХ СРЕД

который является следствием закона трения Г. Кулона–С.А. Амонтона, известного из курса физики средней школы. В формуле (2.2.30) Πp – коэффициент тре

ния по нормальному давлению.

При подстановке (2.2.29) во вторую формулу (2.2.28) получим

С помощью заданного коэффициента Πт трения по напряжению пластического сдвига и угла формула (2.2.31) позволяет определить наклон -линий скольжения к контактной поверхности.

При подстановке (2.2.30) в (2.2.28) получим

Знаки перед радикалом в (2.2.32) определяются конкретными условиями решаемой задачи. При заданном коэффициенте Πp трения по нормальному давле-

нию и углу формула (2.2.32) позволяет используя отношение ς0 определить

2Ωɬ

наклон -линии скольжения к контактной поверхности.

Из сравнения (2.2.31) и (2.2.32) следует, что при любых действительных значениях углов Μформулы (2.2.31) и (2.2.32) не совпадают. Это означает, что в точке контакта, где закон (2.2.29) переходит в закон (2.2.30), сетка линий скольжения должна иметь центрированный веер.

335

2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

лупространство (рис. 76).

Решение начнем со свободной границы (pn = 0; Ωn = 0), на которой для удоб-

ства введем локальное вспомогательное множество координат E1' E3' . В этом

множестве = 0 и из (2.2.28), зная, что Ωn = 0, определяем Μ Σ . Теперь, ис-

4

пользуя первое уравнение в (2.2.28), учитывая, что pn = 0, определяем среднее напряжение ς0 = – Ωт.

Для основных координат на этой же границе Μ Σ , а среднее напряже-

4

ние вследствие его инвариантности останется неизменным, равным Ωт. Теперь по формуле (2.2.24) для -линии определим константу

которая сохраняет свое значение при движении вдоль этой линии. Осуществляя такое движение, попадем на контактную поверхность. Здесь наклон линии скольжения к оси E1 определяем по формуле (2.2.31), учитывая, что для этой поверхности = 0, а угол Μ является отрицательным:

336

2.2. ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНЫХ ЖЕСТКОПЛАСТИЧНЫХ СРЕД

Подставим (2.2.35) в (2.2.24) и определим значение ξ для рассматриваемой α-линии:

В связи с тем, что значения ξ, вычисляемые по формулам (2.2.34) и (2.2.36), принадлежат одной и той же α-линии, их можно приравнять. Из этого равенства определяем среднее напряжение под штампом:

Теперь, учитывая, что γ = ϕ + π4 , по формулам (2.2.16) с помощью (2.2.35) и (2.2.37) рассчитаем значения компонент тензора напряжений:

Далее по формулам (2.2.28), учитывая, что на контактной поверхности n1 = 0 и n3 = 1, определяем контактные напряжения pn и τn:

Таким образом, построенная сетка линий скольжения и заданные граничные условия позволили определить все статические параметры рассмотренного процесса. Следует, однако, заметить, что, хотя всякая сетка линий скольжения, удовлетворяющая статическим граничным условиям и уравнению равновесия, является статически возможной, таких СВ-сеток линий скольжения для одной и той же области, при одних и тех же граничных условиях можно построить бесчисленное множество. Этим объясняется неоднозначность ре-

337

2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

шения задач ТП методом линий скольжения. Классическим примером этому могут служить сетки линий скольжения, предложенные Л. Прандтлем (рис. 77, а) и Р. Хиллом (рис. 77, б) для решения одной и той же задачи о внедрении абсолютно гладкого штампа в

В заключение сформулируем некоторые основные свойства линий скольжения, являющиеся следствием соотношений Г. Генки (2.2.24):

1)вдоль линии скольжения среднее напряжение 0 изменяется пропорционально углу между касательной к этой линии и осью E1;

2)при переходе от одной линии скольжения одного из семейств (например, Ε) к другой линии этого же семейства вдоль любой линии скольжения ортого-

нального семейства (например, ) приращения величин ς0 и Μ не зависят от того, по какой линии скольжения осуществлен переход;

3)если некоторый отрезок линии скольжения представлен прямой, то вдоль этого отрезка компоненты тензора напряжений не изменяются;

4)на основании предыдущего свойства устанавливаем, что для прямолинейной ортогональной сетки линий скольжения напряженное состояние является однородным.

Частным вариантом последнего свойства является сохранение прямолинейности линий одного из семейств линий скольжения при условии, что некоторый отрезок этой линии, отсекаемый линиями скольжения другого семейства, является прямым. Вдоль таких прямых отрезков напряжения ςik сохраняют постоянные значения, но изменяются при переходе одного такого отрезка к другому того же семейства линий. Такое напряженное состояние называется простым. Примером сетки линий скольжения, соответствующей простому напряженному состоянию, является центрированный веер.

При исследовании конкретных процессов ОМД методом линий скольжения приходится решать ряд краевых задач. Формулировка некоторых из них приведена ниже.

Краевая задача О. Коши состоит в решении уравнений (2.2.18) по заданным ς0 и Μ на некоторой границе, не совпадающей с характеристическими направлениями (2.2.23) и пересекаемой характеристикой только один раз.

338

2.2. ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНЫХ ЖЕСТКОПЛАСТИЧНЫХ СРЕД

Краевая задача Г. Римана состоит в решении множества уравнений (2.2.18) по заданным σ0 и ϕ на двух дугах, совпадающих соответственно с α- и β-линиями. В частности, одна их граничных дуг, совпадающая, например, с β-линией, стягиваемых в одну точку, может неограниченно уменьшаться при постоянном изменении угла ϕ. В этом случае все α-линии сходятся в точку вырождения β-линий, а напряжения в этой точке претерпевают разрыв. Решение краевой задачи Г. Римана с вырожденной характеристикой может быть найдено при заданном угле раствора в точке вырождения β-линий и известных σ0 и ϕ на α-линии.

Смешанная краевая задача заключается в построении сетки линий скольжения по заданной граничной линии скольжения и пересекающей ее линии, вдоль которой задан угол наклона линий скольжения.

Для определения компонент вектора скорости вдоль линий скольжения под-

ставим (2.2.15) в (2.2.12), учитывая, что γ = ϕ + π4 . Полученный результат вмес-

те с условием несжимаемости среды (1.2.98) образует множество дифференциальных уравнений гиперболического типа

характеристики которого совпадают с линиями скольжения. При этом вдоль α- и β-линий должны выполняться соответствующие соотношения Х. Гейрингер:

При деформировании композитных сред на границе двух компонент возможен, как отмечалось ранее (пп. 1.2.10 и 1.4.3), не только разрыв вектора скорости за счет тангенциальной к поверхности разрыва составляющей вектора скорости, но также и разрыв нормального напряжения, лежащего в плоскости, касательной к поверхности разрыва. Поясним последнее примером.

Пусть напряженные состояния некоторых малых окрестностей поверхностной точки на поверхности раздела двух пластически деформируемых сред ха-

рактеризуются тензорами напряжений Т1σ = σ1ik и Т3σ = σ3ik . Для опреде-

ленности координаты назначим так, чтобы в рассматриваемой поверхностной точке компоненты единичной внешней нормали для одной среды имели вид n1 = 1; n3 = 0; для другой – n1 = –1; n3 = 0. В соответствии с (1.3.29) и (2.2.26) для обоих тензоров имеем

339

2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

стическом состоянии, должно выполняться условие пластичности (1.5.74). Поэтому с учетом (1.3.24) для плоского деформированного состояния двух сред имеем

Отсюда

Обозначая σ33 = σ133 − σ333 , окончательно получаем

Легко показать, что на линии разрыва напряжений (2.2.45) при τ1т ≠ τ3т происходит изменение наклона линий скольжения. Для этого запишем (2.2.16),

учитывая, что γ = ϕ + π4 . Кроме того, для обеих сред примем во внимание ранее установленную одинаковость некоторых напряжений:

Если предположить, что в области движения одной из сред, например первой, напряженное состояние известно, то с помощью уравнений (2.2.46) получаем замкнутое множество уравнений относительно среднего напряжения

σ30 и угла ϕ3

340