1.5. РЕОЛОГИЯ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД
Е. По заданному тензору функций напряжений Дж. Максвелла
x |
x2 x3 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
3 |
1 |
2 |
|
x2 x3 |
|
|
|
|
T = |
0 |
|
x |
0 |
определить компоненту σ |
12 |
тензора |
Φ |
|
|
2 |
3 |
1 |
x2 x3 |
|
|
0 |
|
|
0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
напряжения.
Вариант 19
А. Как записывается уравнение теплопроводности без учета конвективного теплообмена?
Б. Какие условия называются граничными?
В.Как вычисляется мощность внутренних сил, характеризующая изменение формы деформируемого сплошного тела?
−4 |
3 |
0 |
|
Г. По заданному тензору напряжений T = 3 |
−4 |
0 |
определить полное σn , |
σ |
|
|
|
0 |
0 |
2 |
|
нормальное pn и касательное τn поверхностные напряжения на наклонной
площадке, заданной единичной внешней нормалью n = 17 (−2e1+ 6e2 + 3e3 ),
и найти косинус угла α между σn и n .
Д. Для тензора напряжений из п. Г найти полное σокт , нормальное pокт и
касательное τокт напряжения на октаэдрической площадке и максимальные касательные напряжения τik.
Е.Проверить выполнение уравнения равновесия для заданных компонент тензора напряжений σ11 =12 x12 x2 −6 x1 x22 ; σ22 = 4 x1 x32 ; σ12 = −12 x1 x22 + 2 x1 x23 .
Вариант 20
А. Какие среды называются однородными?
Б. Какая среда называется линейно-упругой?
1.МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД
В.Как рассчитать тепло, получаемое при деформационном разогреве в результате пластической деформации?
|
2 |
0 |
−7 |
|
Г. По заданному тензору напряжений T = |
0 |
2 |
0 |
определить полное σn , |
σ |
|
|
|
|
|
−7 |
0 |
2 |
|
нормальное pn и касательное τn поверхностные напряжения на наклонной
площадке, заданной единичной внешней нормалью n = 17 (2e1− 6e2 + 3e3 ),
и найти косинус угла α между σn и n .
Д. Для тензора напряжений из п. Г найти полное σокт , нормальное pокт и
касательное τокт напряжения на октаэдрической площадке и максимальные касательные напряжения τik.
Е. По заданному тензору функций напряжений Дж. Максвелла
|
x |
x2 |
x3 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
3 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
T |
= |
0 |
x |
x2 |
x3 |
|
0 |
определить компоненту σ |
13 |
тензора |
Φ |
|
2 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
x x2 |
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
напряжения.
Вариант 21 А. Какие среды называются анизотропными?
Б. Как записывается уравнение теплопроводности при условии стационарного изменения температурного поля?
В.Как связаны между собой среднее напряжение и средняя деформация в теории УПД?
|
1 |
5 |
0 |
|
σ |
|
σ |
= 5 |
1 |
0 |
определить полное |
n , |
Г. По заданному тензору напряжений T |
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
нормальное pn и касательное τn поверхностные напряжения на наклонной
|
площадке, заданной единичной внешней нормалью n = |
1 |
(2e1+ 6e2 −3e3 ), |
|
7 |
|
и найти косинус угла α между σn и n . |
|
|
|
|
1.5. РЕОЛОГИЯ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД
Д. Для тензора напряжений из п. Г найти полное σокт , нормальное pокт и
касательное τокт напряжения на октаэдрической площадке и максимальные касательные напряжения τik.
Е. Проверить выполнение уравнения равновесия для заданных ком-
понент тензора напряжений |
σ |
=12 x4 x +18 x2 x |
; |
σ |
22 |
= 24 x2 |
x3 |
; |
|
11 |
1 |
2 |
1 |
2 |
|
|
1 |
2 |
|
σ12 = −24 x12 x22 −18 x1 x23 .
Вариант 22 А. В чем физический смысл уравнения неразрывности сплошной среды?
Б. В чем суть статической постановки краевой задачи МСС?
В.Как рассчитать мощность, затрачиваемую на изменение объема сплошной среды?
6 |
0 |
−5 |
определить полное σn , |
Г. По заданному тензору напряжений Tσ = 0 |
9 |
0 |
−5 |
0 |
6 |
|
нормальное pn и касательное τn поверхностные напряжения на наклонной
площадке, заданной единичной внешней нормалью n = 17 (−2e1+ 6e2 + 3e3 ),
инайти косинус угла α между σn и n .
Д.Для тензора напряжений из п. Г найти полное σокт , нормальное pокт и
касательное τокт напряжения на октаэдрической площадке и максимальные касательные напряжения τik.
Е. По заданному тензору функций напряжений Дж. Максвелла
|
x |
x2 |
x3 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
3 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
T |
= |
0 |
x |
x2 |
x3 |
|
0 |
определить компоненту σ |
21 |
тензора |
Φ |
|
2 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
x x2 |
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
напряжения.
1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД
Вариант 23
А.Какому соотношению должны удовлетворять главные компоненты тензора напряжений?
Б. Какая среда называется гетерогенной?
В. Какие уравнения входят в состав основного замкнутого множества уравнений?
−7 |
3 |
0 |
|
Г. По заданному тензору напряжений T = 3 |
−7 |
0 |
определить полное σn , |
σ |
|
|
|
0 |
0 |
5 |
|
нормальное pn и касательное τn поверхностные напряжения на наклонной
площадке, заданной единичной внешней нормалью n = 17 (−6e1+ 3e2 + 6e3 ), и найти косинус угла α между σn и n .
Д. Для тензора напряжений из п. Г найти полное σокт , нормальное pокт и
касательное τокт напряжения на октаэдрической площадке и максимальные касательные напряжения τik.
Е.Проверить выполнение уравнения равновесия для заданных компонент тензора напряжений σ11 = 24 x22 + 2 x12 x2 ; σ22 =12 x12 + 2 x1 x22 ; σ12 = −4 x1 x2 .
Вариант 24 А. Как записываются граничные условия первого рода для температурных
задач?
Б. Какие деформации называются остаточными?
В. Как вычисляются первый, второй и третий инварианты тензора напряжений?
4 |
0 |
−2 |
|
Г. По заданному тензору напряжений T = 0 |
4 |
0 |
определить полное σn , |
σ |
|
|
|
−2 |
0 |
4 |
|
нормальное pn и касательное τn поверхностные напряжения на наклонной
площадке, заданной единичной внешней нормалью n = 17 (2e1− 6e2 + 3e3 ),
и найти косинус угла α между σn и n .
1.5. РЕОЛОГИЯ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД
Д. Для тензора напряжений из п. Г найти полное σокт , нормальное pокт и
касательное τокт напряжения на октаэдрической площадке и максимальные касательные напряжения τik.
Е. По заданному тензору функций напряжений Дж. Максвелла
x |
x2 |
x3 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
3 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
T = |
0 |
x |
x2 |
x3 |
|
0 |
определить компоненту σ |
22 |
тензора |
Φ |
|
2 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
x x2 |
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
напряжения.
Вариант 25
А. Как связаны между собой тензоры напряжений и деформаций для анизотропных сред?
Б. Как спроектировать полное напряжение, действующее на наклонной площадке с нормалью n на эту площадку?
В. От каких параметров зависит интенсивность касательных напряжений вязкопластичных сред?
|
8 |
1 |
0 |
|
Г. По заданному тензору напряжений T |
= 1 |
8 |
0 |
определить полное σn , |
σ |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
8 |
|
нормальное pn и касательное τn поверхностные напряжения на наклонной
площадке, заданной единичной внешней нормалью n = 17 (−2e1+ 6e2 −3e3 ), и найти косинус угла α между σn и n .
Д. Для тензора напряжений из п. Г найти полное σокт , нормальное pокт и
касательное τокт напряжения на октаэдрической площадке и максимальные касательные напряжения τik.
Е. Проверить выполнение уравнения равновесия для заданных компонент тензора напряжений σ11 =12 x12 x2 −3 x1 x22 ; σ22 = 8 x23 ; σ12 = −12 x1 x22 + x23 .
1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД
Вариант 26 А. Что называется условным пределом текучести?
Б. Как вычисляется интенсивность касательных напряжений?
В. Как вычисляется мощность инерционных сил в объеме сплошной среды?
6 |
0 |
−8 |
|
Г. По заданному тензору напряжений T = 0 |
9 |
0 |
определить полное σn , |
σ |
|
|
|
−8 |
0 |
6 |
|
нормальное pn и касательное τn поверхностные напряжения на наклонной
площадке, заданной единичной внешней нормалью n = 17 (2e1− 6e2 −3e3 ) , и найти косинус угла α между σn и n .
Д. Для тензора напряжений из п. Г найти полное σокт , нормальное pокт и
касательное τокт напряжения на октаэдрической площадке и максимальные касательные напряжения τik.
Е. По заданному тензору функций напряжений Дж. Максвелла
x |
x2 |
x3 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
3 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
T = |
0 |
x |
x2 |
x3 |
|
0 |
определить компоненту σ |
23 |
тензора |
Φ |
|
2 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
x x2 |
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
напряжения.
Вариант 27 А. Что называется деформационным упрочнением (наклепом)?
Б.От каких параметров зависит интенсивность касательных напряжений упругопластичных сред?
В. Как записываются для температурных задач граничные условия второго рода?
−3 |
4 |
0 |
|
Г. По заданному тензору напряжений T = 4 |
−3 |
0 |
определить полное σn , |
σ |
|
|
|
0 |
0 |
3 |
|
нормальное pn и касательное τn поверхностные напряжения на наклонной
1.5. РЕОЛОГИЯ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД
площадке, заданной единичной внешней нормалью n = 17 (3e1+ 2e2 + 6e3 ),
инайти косинус угла α между σn и n .
Д.Для тензора напряжений из п. Г найти полное σокт , нормальное pокт и
касательное τокт напряжения на октаэдрической площадке и максимальные касательные напряжения τik.
Е.Проверить выполнение уравнения равновесия для заданных компонент тензора напряжений σ11 = 6 x1 x22 +8 x23 ; σ22 = 2 x23 ; σ12 = −6 x1 x22 −8 x23 .
Вариант 28
А. Что называется нагартовкой металла?
Б.Как записываются граничные условия третьего рода для температурных задач?
В.Какое нагружение в окрестности материальной частицы называется простым?
10 0 −2
Г. По заданному тензору напряжений Tσ = 0 10 0 определить полное
−2 0 10
σn , нормальное pn и касательное τn поверхностные напряжения на наклонной площадке, заданной единичной внешней нормалью
n = 17 (−3e1+ 2e2 + 6e3 ) , и найти косинус угла α между σn и n .
Д. Для тензора напряжений из п. Г найти полное σокт , нормальное pокт и
касательное τокт напряжения на октаэдрической площадке и максимальные касательные напряжения τik.
Е. По заданному тензору функций напряжений Дж. Максвелла
x |
x2 |
x3 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
3 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
T = |
0 |
x |
x2 |
x3 |
|
0 |
определить компоненту σ |
31 |
тензора |
Φ |
|
2 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
x x2 |
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
напряжения.
2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД
2.1. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД
Теоретическое развитие законов движения тел – проY блема настолько интересная, что она привлекла к себе внимание всех самых выдающихся математиков...
У. Р. Гамильтон
2.1.1.Принцип Ж. Лагранжа
Воснове рассматриваемого вариационного принципа лежит метод виртуальных кинематических параметров, представленных для различных задач либо по-
лем перемещений U и связанным с ним по формуле О. Коши (1.2.70) тензором деформаций Tε, либо полем скоростей V и связанным с ним по формуле Дж. Стокса (1.2.137) тензором скоростей деформаций Tξ. Векторные поля (U или V ) обозначим через b , а соответствующие им тензорные поля (Tε или Tξ) – через Ta.
Сначала предположим, что на части Sσ поверхности S тела M объемом Ω заданы статические граничные условия (1.3.50), а на частях Sb, Spb и Sτb, если таковые имеются, заданы нулевые кинематические ( b n = 0 , b p = 0 и b τ = 0 соответственно) граничные условия. На трех последних частях поверхности S статические граничные условия в общем случае могут быть отличны от нуля. По сути, типы оговоренных механических граничных условий определяют класс задач, решаемых рассматриваемым ниже вариационным методом, область применения которого будет расширена в конце этого подпункта.
Для замкнутой поверхности S запишем вариацию мощности при b = V (работы при b = U ) поверхностных сил, развиваемой на вариации ∂ b кинемати-
ческих параметров ∫σn δb d S . Так как статические параметры на поверхнос-
S
ти S считаются заданными, то их вариация равна нулю. Используя формулу О. Коши в статике (1.3.13) и (П.1.103), запишем:
∫σn δb d S = ∫ (Tσ δb )d Ω. |
(2.1.1) |
2.1. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД
По формулам О. Коши в кинематике (1.2.70) или Дж. Стокса (1.2.137) имеем
|
δTa = |
1 |
( δb+ δb ) . |
(2.1.2) |
|
2 |
|
|
|
|
Тогда по аналогии с (1.4.29) и (1.4.30), учитывая, что Tσ δb = Tσ δTа , правую часть соотношения (2.1.1) можно изменить:
∫σn δb d S = ∫[ (Tσ ) δb+ Tσ δTa ]d Ω. |
(2.1.3) |
Для простоты изложения будем считать инерционные и массовые силы пренебрежимо малыми. При произвольном тензоре напряжений в (2.1.3) уравнение равновесия (1.4.18) в общем случае будет давать некоторую невязку, отличную от нуля. Интеграл по объему Ω от скалярного произведения этой невязки на вариацию тензора Ta (2.1.2) обозначим через δJЛ. В этом случае из (2.1.3) получим:
δJЛ = ∫ Tσ δTa d Ω − ∫σn δb d S . |
(2.1.4) |
ΩS
Спомощью кинематического потенциала Πb (1.5.128) или (1.5.130), вариация которого
учитывая, что в поверхностном интеграле заданные напряжения не связаны с вариацией кинематических параметров и знак вариации может быть вынесен за знак этого интеграла, из (2.1.4) имеем
δJ |
Л |
|
∫ |
П |
b |
d Ω − |
∫ |
|
|
|
|
= δ |
|
|
|
σn b d S . |
|
|
Ω |
|
|
|
S |
|
Отсюда с точностью до несущественной, неварьируемой функции
JЛ = δ∫ Пb d Ω − ∫σn b d S .
ΩS
2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД
Полученный функционал JЛ называется функционалом Ж. Лагранжа, а вариационный принцип, связанный с поиском минимума этого функционала, – вариа ционным принципом Ж. Лагранжа.*
Для Р-полей b (перемещений или скоростей) первая вариация (2.1.4) функционала Ж. Лагранжа должна быть равна нулю:
Иначе, если виртуальное векторное поле b совпадает с действительным (реальным) векторным полем, то функционал (2.1.7) Ж. Лагранжа принимает экстремальное значение. Кроме того, в соответствии с вариационным принципом Ж. Лагранжа среди множества КВ-полей перемещений (скоростей) Р-поле при условии
сообщает функционалу Ж. Лагранжа минимальное значение. Продемонстрируем применение этого принципа на примере решения рассмот-
ренной в пп. 1.5.8 задачи о движении линейно-вязкой среды в прямолинейной полосе (рис. 66). Для простоты изложения будем считать среду гомогенной.
Воспользуемся методом В. Ритца (п. П2.4) и множество КВ-полей скоростей представим в виде ряда координатных функций, удовлетворяющих кинематическим граничным условиям
V = a |
|
1− |
E2 k |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
; |
V |
|
= 0, |
(2.1.10) |
k |
|
2 k |
2 |
1 |
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где ak – коэффициенты разложения (k=1,...,N). В соответствии с формулой Дж. Стокса (1.2.137) по этому полю находим скорости деформаций
|
|
|
|
= 0; ξ = ξ |
|
= − а |
|
E2 k -1 |
|
|
ξ |
|
= ξ |
|
|
|
2 |
. |
(2.1.11) |
|
|
|
k h2 k |
|
11 |
|
22 |
12 |
21 |
|
|
|
При плоском течении несжимаемых сред интенсивность сдвиговых скорос-
тей деформаций (1.2.161) имеет вид |
H = 2 ξ2 |
+ ξ2 |
. Подстановкой сюда зна- |
|
11 |
12 |
|
чений компонент тензора скоростей деформаций (2.1.11) получим
*В том случае, когда вектором b является вектор скорости V , этот функционал иногда называют функционалом Журдена.
