книги / Механика сплошных сред (теоретические основы обработки давлением композитных материалов с задачами и решениями, примерами и упражнениями)

1.4. ДИНАМИКА

значения мощностей внутренних и внешних сил. Убеждаемся, что для заданных полей напряжений и скорости баланс выполняется тождественно.

Задача 1.4.4.2. Найти зависимость мощности внутренних сил от девиаторов напряжений Dσ и скоростей деформаций Dξ, а также от среднего напряжения σ0 и средней скорости деформации ξ0.

Решение. Мощность внутренних сил вычисляется по формуле

Int = ∫Tσ TξdΩ.

Ω

Разложим тензоры напряжений Tσ и скоростей деформаций Tξ на соответствующие девиаторы Dσ (1.3.22), Dξ (1.2.50) и сферические части Sσ (1.3.21), Sξ (1.2.49):

Tσ = Dσ + Sσ; Tξ = Dξ + Sξ.

Тогда мощность внутренних сил, приходящаяся на единицу объема, представляется в виде

Tσ Tξ = Dσ Dξ + Dσ Sξ + Sσ Dξ + Sσ Sξ.

Учитывая, что Sσ = σ0 Тδ и Sξ = ξ0 Тδ, где σ0 – среднее напряжение (1.3.20), а ξ0 – средняя скорость деформации (1.2.48), имеем Sσ Sξ = σ0 ξ0Тδ Тδ = 3 σ0ξ0.

Кроме того, Dσ Sξ = ξ0Dσ Тδ = 0 и Sσ Dξ = σ0Тδ Dξ = 0, так как сумма диагональных компонент любого девиатора равна нулю. Поэтому

Tσ Tξ = Dσ Dξ + 3σ0 ξ0.

Если использовать полученный результат в подынтегральном выражении мощности внутренних сил, то получим искомый результат:

Int = ∫(Dσ Dξ + 3σ0ξ0 )dΩ.

Ω

1.4.5. Уравнение теплопроводности

До сих пор мы рассматривали параметры, характеризующие механическое взаимодействие сплошных сред. Показано, что такие параметры должны обеспечивать выполнение баланса мощности всех действующих сил, являющегося, по существу, законом сохранения механической энергии. Если, кроме механической, значимыми являются другие виды энергии (тепловая, химическая, электромагнитная и др.), то закон сохранения энергии должен использоваться в бо-

201

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

лее общей форме. При рассмотрении только термомеханических форм движения необходимо дополнительно к балансу мощности использовать закон сохра нения тепловой энергии (баланс тепла): тепло dQ1, выделенное в теле M с объемом Ω, поверхностью S, характеризуемой единичной внешней нормалью n , за время dt при его пластической деформации за счет преобразования механической энергии в тепловую расходуется на передачу части тепла dQ2 соседним телам за счет теплопроводности и на повышение температуры самого тела за счет оставшейся части тепла dQ3. Тогда тепловой баланс принимает вид

Расчет баланса тепла (1.4.55) базируется на ряде гипотез.

Опытным путем установлено, что существенное выделение тепла в теле M наблюдается при пластической деформации и незначительное его изменение – при упругой деформации металлов. Напомним, что деформация сплошного тела под действием внешней нагрузки называется упругой, если после снятия этой нагрузки тело принимает исходные, имевшиеся до приложения нагрузки, форму и объем. В противном случае деформация называется пластической. В МСС расчет составляющей dQ1 базируется на первой гипотезе: внутренняя механическая энергия пластической деформации полностью преобразуется в тепловую энергию. С помощью механического эквивалента тепла Jм мощность внутренних сил в (1.4.42) пересчитывается в тепло dQ1, выделяемое в теле вследствие диссипации внутренней энергии за время dt:

Расчет тепла, передаваемого рассматриваемым телом другим телам, базируется на второй и третьей гипотезах.

В соответствии со второй гипотезой предполагается существование вектора теплового потока q = q(xi ,t), с помощью которого рассчитывается количество тепла dQ2, проходящего через поверхность рассматриваемого тела в единицу времени, как поток этого вектора через поверхность тела.

Тогда за время dt

Третья гипотеза, обычно называемая законом Ж. Фурье, связывает вектор q

с градиентом температурного поля θ = θ (xi, t):

202

где κ – коэффициент теплопроводности.

Аккумулируемое за время dt в теле M тепло при нагреве на температуру dθ зависит от массы тела и его удельной теплоемкости с:

Подстановкой (1.4.56), (1.4.57) и (1.4.59) в (1.4.55) получаем баланс тепла:

Преобразуем с помощью (П1.103) поверхностный интеграл из (1.4.60) в объемный и воспользуемся леммой об интегрировании по произвольному объему. Тогда после несложных преобразований получим уравнение теплопроводности

Tσ Tξ = dθ cρ+ q,

Jм dt

которое после перегруппировки слагаемых с учетом (1.4.58) обычно записывают в виде

Приведем основные частные виды уравнения теплопроводности (1.4.61). В задачах ОМД коэффициент теплопроводности обычно рассматривают как постоянную величину. Тогда, учитывая (П1.76), имеем упрощенный вариант уравнения теплопроводности

где a = cκρ – коэффициент температуропроводности.

203

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

Если приток тепла вследствие пластической деформации равен отдаче тепла за счет теплопроводности, то начальная температура окрестности материальной частицы при ее движении сохраняется. Это записывается как условие сохра нения температуры в окрестности материальной частицы:

Учитывая, что в соответствии с (1.2.16)

из (1.4.62) при условии стационарного изменения температуры

получаем уравнение теплопроводности

обеспечивающее постоянство температуры в пространственных точках, через которые проходят материальные частицы. Последнее слагаемое в (1.4.66) связано с конвективным переносом тепла.

Если в исследуемой среде отсутствуют внутренние источники тепла, то из (1.4.62) получим уравнение, наиболее часто используемое в теории теплопроводности при решении задач о нагреве или охлаждении сплошного тела без внутренних источников тепла:

Наконец, если в (1.4.67) выполняется условие (1.4.63), то температурное поле должно описываться гармонической функцией (П1.76)

Уравнение теплопроводности (1.4.61) и его частные варианты (1.4.62)–(1.4.68) получены для тела M без каких-либо оговорок о распределении свойств этого

204

1.4. ДИНАМИКА

тела. Если тело M гомогенное, свойства которого характеризуются непрерывным в объеме Ω распределением плотности и теплофизических параметров, то для решения температурных задач ОМД уравнение теплопроводности используется либо в виде (1.4.61), либо в его частных вариантах, в зависимости от условий постановки задачи.

Для композитных сред M, содержащих компоненты Mα, при индивидуальном изучении поведения каждой компоненты тепловой баланс типа (1.4.60), записанный для области Ωα с границей Sα, приведет к уравнению теплопроводности типа (1.4.62) с индивидуальными свойствами рассматриваемой среды:

В отдельных случаях гетерогенные свойства композитной среды могут быть заменены эквивалентными, в том или ином смысле, свойствами гомогенной среды (п. 1.3). В этих случаях используется уравнение теплопроводности (1.4.61).

Контрольные вопросы

1.В чем физический смысл уравнения неразрывности среды?

2.В чем заключается физическое различие равенства нулю полной и частной производных плотности по времени?

3.Каковы особенности изменения плотности в КМ?

4.На каком основании сохраняется вид уравнения движения как для сплошных гомогенных сред, так и для сплошных КМ?

5.Почему для многих процессов ОМД вместо уравнения движения используется уравнение равновесия без учета массовых сил?

6.Какие преимущества получаются при определении тензора напряжений с помощью тензоров функций напряжений Э. Бельтрами, Дж. Максвелла

ифункции напряжения Дж. Эри?

7.Какие дополнительные слагаемые могут появиться в балансах мощности

иработы при изучении движения КМ по сравнению с гомогенной средой. В каких случаях эти слагаемые следует учитывать?

8.Как учитываются условие несжимаемости в балансе мощности и условие постоянства объема в балансе работы?

9.Как вычисляется мощность внутренних сил и каково ее значение при составлении теплового баланса?

10.Какие гипотезы используются при выводе уравнения теплопроводности?

205

1.МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

11.Чем отличаются виды уравнения теплопроводности при неизменности температуры в окрестности материальной частицы и при постоянстве температуры в пространственной точке?

12.В каких случаях температурное поле описывается гармоническими функциями?

13.В чем особенности записи уравнения теплопроводности для КМ?

206

1.МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

Вмикрообъемах металлы рассматриваются с помощью решетчатых моделей, называемых кристаллическими решетками, наиболее распространенные виды которых приведены на рис. 48. В идеальных кристаллах решетки имеют форму правильных многогранников. В реальных условиях металлы в общем случае могут состоять из кристаллов неправильной формы, называемых кристаллитами (зернами). Правильность выбора кристаллической решетки подтверждается формой и анизотропией свойств металлов в микрообъемах. Анизотропию свойств можно представить в формализованном виде с помощью тензоров. Так,

в соответствии с обобщенным законом Р. Гука связь между тензором Tς напряжений и тензором TΗ малых деформаций

ми которых являются модули упругости cijkm и коэффициенты податливости sijkm

соответственно. По аналогии с соотношениями для упругих сред (1.5.1), (1.5.2) для вязких сред можно записать соотношение между тензором Tς и тензором T[ скоростей деформаций

а также обратное соотношение

Рис. 48. Типы кристаллических решеток: ОЦК (а), ГЦК (б), ГПУ (в)

208

4

где компоненты cijkm* тензора Tc называются коэффициентами вязкости, а ком-

4

поненты sijkm тензора Ts – коэффициентами вязкой податливости.

Следует отметить, что записи соответствия одного тензора второго ранга другому тензору второго ранга типа (1.5.1)–(1.5.4) не являются единственными. Например, для упругих сред в более общем виде тензор напряжений Tσ можно разложить по степеням тензора деформаций в виде

Однако для инженерных расчетов в большинстве случаев достаточно использовать соотношения типа (1.5.1)–(1.5.4).

В соответствии с определением тензора (п. П1.1) в трехмерном пространстве тензоры четвертого ранга имеют 81 компоненту. Вследствие симметрии тензо-

тами индексов в первой и во второй парах индексов компонент последних тензоров. Поэтому из 81 компоненты таких тензоров независимых остается только 36. Для изотермических и обратимых процессов движения количество независимых компонент сокращается до 21. Это связано с дополнительной симметрией перечисленных тензоров четвертого ранга по перестановке двух пар индексов их компонент. Например, для линейно-упругих сред элементарная работа

ция только состояния среды, определяемого компонентами тензора деформа-

ции, порядок дифференцирования не должен иметь значения. Поэтому

4

cijkm = ckmij. Окончательно с учетом всех видов симметрии тензора Tc имеем

209

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

Аналогичные соотношения при оговоренных условиях можно записать для

4 4 4

компонент тензоров Ts , Tc , Ts .

Для примера в табл. 1 приведена анизотропия модулей упругости некоторых металлов с различным кристаллическим строением, характеризуемым коорди национным числом – числом атомов, находящихся на одинаковом расстоянии от рассматриваемого атома.

Тензоры, устанавливающие связь между параметрами напряженного и деформированного состояний, будем называть тензорами состояния среды, а их компоненты – функциями состояния среды. Если компоненты тензоров состояния являются постоянными величинами, то соответствующие им среды называются линей ными анизотропными средами: линейно упругими (1.5.1), (1.5.2), линейно вязкими

Таблица 1. Упругие характеристики некоторых металлов при температуре 293 K

Примечание: координационные числа решеток – гексагональной плотноупакованной Г12; гексагональной Г6; кубической объемноцентрированной К8; кубической гранецентрированной К12.

210