Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

17.28 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 4424 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

230 А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е Р А С Щ Е П Л Е Н И Е [ГЛ IX

где <7 о (от =

1 ,

р) являются

решениями независимых

скалярных уравнений

<?°Яа

/а->

---- h

a ft0 —lo-^

Ь акааУа— 0(2.9)

--- ----- f- Ctla

dt a

df°

p).

(CT=1 ,

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Подставим

(2.8)

(2.1)

d^ao

с помощью равенства

(2.9):

исключим —

dtka

(

lq°

d*°

а*ст-іа -

■CCfcao<7o I Д

а£—1

* „ -

, j.

dQa

2 0

df°

.fc(T—

0 -

tk0oq<j I

■

( ha

^ k—° ■Д ho

kfr—2

■ ■ ■

a=1

Приравняем здесь

коэффициенты

dk°~'Qo

при — ъ— j—, . ..

dt°~

. ,

<7 o

(er =

1,2, . . . ,

p).

Получим

ha =

Uh а Д «icgio,

ha =

U h а Д a2o£lo,

( 2. 10)

h aa=

U ha—Io Д &ka-loha,

0 =

Uhaa Д

®ftaoSl0 -

'‘0 U I

"'‘O'J

Равенства (2.10) умножим слева соответственно на Uk°~x,

Uka~2	U,	Еп и сложим. Получим
(Uk° Д <Х\QU			Д ••■	Д a k0—\aU Д aka<jEn)		= 0.
Далее вместо системы (2.10) будем рассматривать экви
валентную	ей	систему
фо {U) £і0			0,			I (2 11)
Е/+І0 == Uha Д ®/0?Іо				(/	11 ■ ■ •I К	1),

5 2] П Р Е О Б Р А З О В А Н И Е О Д Н О РО Д Н О Й С И СТ Е М Ы 23]

где
фа (Я.) =	Я, 0 ф*	°	1+	••• +	аА—\<?^ Ф" a kao-
Положим		^lo =		Кайо-
Здесь а0 —		^lo =		Кайо-
Здесь а0 —	некоторый		&а-мерный		вектор (столбцовая
матрица типа k0 х		1 ).
Тогда первое равенство (2.11) можно преобразовать к
виду		/Софа (Ла) аа= 0 .			(2.12)
		/Софа (Ла) аа= 0 .			(2.12)

Так как инвариантное подпространство /?<,, соответствую щее группе о собственных значений матрицы U, цикличе ское, минимальный многочлен этого подпространства яв ляется многочленом степени ka, коэффициенты которого определяются по формулам Виета:

фа (Я) = + ct[a)hk(J 1 ф- • ■• ф- аід-іЯ ф- ai°J,

аі“>- * ] " ' +	+ M S ,
Р ’= > Р> Р + ...
< - ( - ! ) * <	> • . . .	- tig .
Примем		а )(а)
Тогда	а / а =	а )(а)
Тогда	Фа (Я,) =	фа (%),
	Фа (Я,) =	фа (%),

и, значит, согласно лемме 1 . 1

фа (Ла) = фа (Аа) = 0.

В этих условиях равенство (2.12) выполняется. Из осталь ных же равенств (2 .1 1), зная £1(Т, последовательно можно

определить	£2 а, ....	Ь аа-
^2а =	U K o & o	Ф~ 0\ oK oQ <j = = /Са (А а ф- ОС;a ^ k a )
ІЗа =	UКо (А0 ф~ ССіaEka) ао Ф~ a2aKoaa =

= = К о (А а ф - (ХіаАсг ф- 0.9a E k a ) ^ а ,

Е*0а — Ко (Ааа ф- а1оЛаа ф- •••ф- ccka—io Eka) аа•


2 3 2			А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е Р А С Щ Е П Л Е Н И Е					[ГЛ .	ГХ
	Если в качестве а0 взять вектор, для которого							q>0	(Ä.)
является			минимальным многочленом, то			векторы			...
• ••,		о	будут линейно независимы. Тогда преобразование
(2 .8	)	, приводящее систему (2 .1 )		к	расщепленной			системе
(2.9)		, будет невырожденным. Теорема доказана.						U име
	2.3. Случай матрицы простой			структуры.			Если
ет простую структуру, то равенства					(1 .2 ) остаются			в силе
и в том случае, когда р = п. При					этом	/\	есть матрица,

составленная из п линейно независимых собственных век торов, а А — диагональная матрица, диагональными эле ментами которой служат отвечающие этим собственным векторам собственные значения матрицы U. Имеет место сл ;дующая

Т е о р е м а 2.3. Если U — матрица простой структу ры, то решение уравнения (2 .1 ) может быть представлено в виде

	Х =	п ЪоЯо,	dQa \|_ а 1о(7 а =	0	,
		а=1
где £іст =	К в,	а-іа = —К	(К — собственное		значение,	а
Кв — ему	отвечающий собственный вектор			матрицы		U).

Эта теорема следует из теоремы 2.2, если (при условии, что U — матрица простой структуры) принять р — п.

§ 3. Преобразование однородной нестационарной системы дифференциальных уравнений к расщепленной системе

Рассмотрим однородную нестационарную систему вида

А { к ,е ) ~ = в {х,г)х

(г = е/),

(3.1)

где А (т, в), В (т, е) — квадратные матрицы порядка п, допускающие разложение по степеням параметра е (сходя щееся или по крайней мере асимптотическое):

А (т, е) = У) e,kAk (т), В (т, е) = У] ekBk(т) (т £ [О, Ц),

(3.2)

причем det А0 (т) Ф 0.

3.1.Преобразование к расщепленной системе уравнен

второго порядка. Предположим, что матрицы А (т, е), В (т, е) четного порядка п и собственные значения матри цы U (т) = А~К1 (т) В0 (т) могут быть разбиты на р = п/2

§ з] П Р Е О Б Р А З О В А Н И Е Н Е С Т А Ц И О Н А Р Н О Й С И СТ Е М Ы 2 3 3

групп, по два собственных значения в каждой группе, так, что

I Х<а> (т) - Ъ{? (т) I > О	(і, / =	1,2; s ф о; т £ [О, L]).	(3.2а)
Тогда имеет место следующая		сегменте [О, L] а) матрицы
Т е о р е м а 3.1. Если на
Ак (т), Вк (т) (Іг = 0,	1, 2, ...)	имеют производные по х всех
порядков, б) инвариантные подпространства Rlt /?2,			..., Rp

п-мерного пространства R, соответствующие указанным выше р группам собственных значений матрицы U, явля ются циклическими, то формальное решение уравнения (3.1) может быть представлено в виде

р	dQ<j	~Ь ?2 сг (т, б) qa ,
£іа (*, е)			(3.3)
	dt

0 = 1

где скалярные функции qa являются решениями уравнений

	- ^ - +	а 1ст(т, е ) - ^ -				+ а 2 а (т, 8 ) ^ = 0			(3.4)
		( а	=	1	- 2.......... р)\
tja (т , б )	(/ — 1 , 2	) —векторные функции, представляемые
формальными рядами
	Ію (т, е) =		5	в*$] (т)			(/ = 1,2);		(3.5)
		*=о
а /а (т, е)	(j = 1 , 2	) — скалярные функции,						представляемые
рядами
	â /а (т,	в) =	2	е Ч [а] (t)			( 7 = 1 , 2 ) .		(3.6)
		6 =		0
Д о к а з а т е л ь с т в о .					Подставим выражение				(3.3) в
				d2ga		помощью		(3.4) и в	полу
(3.1), исключая при этом —					с	помощью		(3.4) и в	полу
ченном таким образом тождестве						приравняем коэффициенты
при qa и	(а	= 1, ..., р). Будем					иметь
А [ е	---- £іа“ іа +		Ъ о}~ B hа				( а =	1 , ... ,/? ) ,

А [г

---- |іст«2 а ) = ßë?o

(0 F= 1 ..........

р),

234	А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е		Р А С Щ Е П Л Е Н И Е			[ГЛ IX
или,	компактнее,
	А (	-------- £ іо а /а	+ £ / + l o )	—	;/о	(3.7)
	(/=1,2;	а= 1,2,	... , р\	£зо =	0).

Подставим ряды (3.2), (3,5) и (3.6) в (3.7) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях е. Получим

ДО».

1 + « №

й *

+ д

(3.8)

$?.« =

+ д

+ «

- $ " 4.

где

( /

—

1 . 2 ; e r

= D

, 2 ........................................p-

f o ^

a i

O ) ,

[ßi^0a] +

Ax(

a ^

- 5 l+ ],a)l +

AV'

ßl£/ö] +

А.г(C$ £ V

Й о ) +

иЖ

;[0 ]

+ Л ,

+ а И У - і і й .

- д а + dx

d i

и, вообще,

а іа

—

л— I

В&;/Ö

+ Bkl?J +

+ Л ( а » - Й„)+

+ «

- і!йа-*4r1+

5 3]

П Р Е О Б Р А З О В А Н И Е Н Е С Т А Ц И О Н А Р Н О Й С И СТ Е М Ы

2 3 5

Первое из соотношений (3.8) в развернутом виде запи шется так:

№ =

аГаеіа

(3.9)

f / $ ] +

a£ ]

Умножим первое равенство (3.9) слева на U и сложим

со вторым.

Получим

или

а\°М\Ѵ +

4 Ѵ ІѴ =

о,

(и* + а\Уи + а[УЕп)

Поэтому система (3.9) эквивалентна системе

(U2+

a\°aU +

а,2аЕп) £і°] =

О,

= U№ + « Ж

Тем же путем преобразуем (k

1)-е соотношение (3.8).

Имеем

«SSiSS1 — dfé-11.

(3.10)

0 =

Ul\]ТС2-f

a [2 a]^ia

+ < ^ 2 0 ^

4 o _ ‘]. J

Отсюда

(tn të ] + а[5 ВД> + ö S ®

+ 4

ag\\°a]-

Ud\ka- l] -

4 a“ 1] = o,

ИЛИ

{U* + a\°JU + 4°a]En) gf« =

(a\$U +

a $ E n) Й“] +

4*_1],

где

4 M

£ /4 M

4 M .

Таким

образом, система

(3.10)

эквивалентна

системе

ОУ2 + o$U +

4 Ю

ifa] -

(a\kj u

a[k0]En) £[°] +

d M ]

£/tf? + a [ ®

] -

4 M -

2 3 6

А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е Р А С Щ Е П Л Е Н И Е

[ГЛ . IX

Вместо уравнений (3.8) далее будем рассматривать эк вивалентные им соотношения

фа (U)	: :0 .
fctO] _ г/tLO]			,		[0 U[0 ]
Ь2а	—	и $іа	—	Ctjа S1 CT>			(3.11)
ф а (У) £[а	=	— ( « іа U			+ с 4 а £ „ ) £ іа +		(3.11)
ф а (У) £[а	=	— ( « іа U			+ с 4 а £ „ ) £ іа +		d lak~ n ,
			+	а	»	+ «	- d i r 11
где		(*==1 , 2				, ...),
где	фа (Я.) =			Я,2 +		аіа]А, -j- ага.
	фа (Я.) =			Я,2 +		аіа]А, -j- ага.

Используя (1.2) (при соответствующем разбиении соб ственных значений матрицы U на непересекающиеся груп пы), равенства (3.11) приводим к виду

і /<5фо(Л5)уИ^°а] = 0, s=1

Ю]£ [ 0 ]

оsia >

2	KsФа (AJ МЛ\о] =			-	(а.\к]и +	а\к]Е„)	rffe-П	\ (3.12)
							+ d\а	,
S=1	_ /jtW	I	„ШЛО]	,	1 0]Л*]	Ak-i]
= 2 0
	— и ъіо	т	а іа 5 1 0	\	&\о5і0 —	0
			(* =		1 , 2 , ...).

По условию теоремы инвариантное подпространство Ra , соответствующее группе а собственных значений матрицы U, циклическое. Поэтому минимальный многочлен этого подпространства есть многочлен второй степени с коэффи циентами, определенными по формулам Виета:

фа (Я.) =	Я2 +	а!а)Я +		ага>,
а{0) =	- ( М	0, + ^		в)),
„(а)	гСст)г(а)		•
(Х>2 -- Л,]			•
Примем	аto>
а/о[0]	аto>		( / =	1 , 2 ).
Тогда
фа (Я) =		фа (Я),

т. е. фа (Я) — минимальный многочлен подпространства Ra, следовательно,

фа (А0) — 0.

S 3]

П Р Е О Б Р А З О В А Н И Е

Н Е С Т А Ц И О Н А Р Н О Й

С И СТ Е М Ы

237

Положим

] =

/сао0і

(3.13)

где й0

— некоторый двумерный вектор-столбец.

Легко видеть,

что при

таким

образом

определенных

Фа (Я) и

первое равенство первой

группы соотношений

(3.12) выполняется тождественно. Действительно,

/С5фо (As)

= 2

Д/Ро (As) УИ5/<0йо=

/Сафа (Аа) аа= 0.

S=1

S—1

Второе же равенство определяет ^о-

Допустим,

что

уже построены ^ а,

«/а

0 = 1.

t =

1, ...,k

— 1 ). Покажем,

что

k +

1 группа

равенств

(3.12) вполне определяет

Имеем

/<іфа(А,)

(a\k0]U +

« $ £ „ )£ $ +

S=1

Здесь da*- ’l

является известной величиной.

Принимая

во

внимание

равенство

(3.13), получим

A/Pa (As)

= -

(сі\к]КаА0 + а

£1 к„ ) йо + dik~ '\

S=s 1

или,

обозначив

[*]\

(Аайа йа),

а »1 =

J ,

К,фа {К)

^a^aoJa1

4*“ 1].

Sr=l

При умножении обеих частей последнего равенства сле ва на М это равенство распадается на р независимых матричных соотношений

фа (AJ Q[/a] = -	Ms/<a^aa[ 1 + М/ J ^		(3.14)
( S =	1,	, p),
где		M $ a\
Qsa'1 -		M $ a\
Обозначив

Via

2 3 8	А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е	Р А С Щ Е П Л Е Н И И	[ГЛ. IX
будем	иметь
	Q[ok]= M to \
так что если удастся из (3.14) определить			то легко по
строить и искомый вектор		по формуле

№ = к< & к1.

При s Ф ст MsKo = 0, а фа (As) в силу условия (3.2а) — невырожденная матрица. Поэтому

	Qla] = q>7l (As) Msd[ak~l]		(зфо).
При s = а МаКа =		фа(Аа ) =	0. Поэтому из (3.14)
следует,	что
	(£0a[k] =	Mad[k- ' \	(3.15)
Так	как Ra ■— циклическое подпространство, то соглас

но лемме 1 . 2 существует такая столбцовая матрица аа , ко торой отвечает линейно независимая система векторов й0,

А0йа • Пусть аа выбрана из этого условия.	Тогда векторы
Л0йа и аа линейно независимы и, значит,	— невырож

денная матрица. При этом матричное равенство (3.15) раз решимо относительно а [а]. Решая его, находим

№ = <£7'мАк- ' ].

Что касается субматриц

то здесь имеется известный

произвол. В качестве Qw может быть взята произвольная квадратная матрица второго порядка, имеющая достаточное

число производных. В частности, можно принять QTO = = 0 .

Зная gia и а\о\ легко определить и $ } по формулам (3.12). Таким образом, изложенный метод позволяет последо вательно построить члены формальных рядов (3.5) и (3.6), с помощью которых представляется формальное решение уравнения (3.1) в форме (3.3), (3.4). Тем самым теорема до

казана.	случай.
3.2. Общий				L) а) матри
Т е о р е м а		3.2. Пусть на сегменте [0,
цы Ак (т), Вк (т)		(k = 0, 1, 2 ,...)	имеют производные по т
всех порядков;	б) собственные значения матрицы U (т) =
= А ~1 (т) В0 (т)		разбиты на	р групп	Аф*) .......Х^

§ 3]	П Р Е О Б Р А З О В А Н И Е			Н Е С Т А Ц И О Н А Р Н О Й С И С Т Е М Ы		239
(а = 1 ,	2	К	=	п)	так, что
		I	(т) -		I f (х) I > 0	(3.16)
	(s ф а;	1 =	1 , . . .		, ko', і — 1 , ■• • , ks),

причем соответствующие этим группам инвариантные под пространства R2, R P являются циклическими под пространствами іі-мерного пространства R.

Тогда формальное решение уравнения (3.1) может быть представлено в виде

		£ю(*, е)
		+	Ьо (т, е)			+ ■• •	+ \|<г0а (т. е) Яо		(3.17)
где	qа (а =		1 ,	2	.......р)	— скалярные	функции,	удовлетво-
ряющие уравнениям
1 h	,	~	,	л	л .«-і
1 h	+	“ '«<"•'»			л .«-і
					+ akc -іа(х ,е)-5Г +
				-f- G0kao(t, б) Ца— 0 (^ — 1> • • • 1				р)>	(3.18)

а ho (т, е), а ja (т, е) — соответственно векторные и ска лярные функции, представляемые формальными рядами

1/а (т, е) = 2J е*£/с (т).	а /о (т>е) =	2J е ^ а	(т). (3.19)
й= 0		* = 0
Д о к а з а т е л ь с т в о .	Применяя	метод,	использо

ванный в § 2, подставим	выражения (3.17) и (3.18) в урав
нение (3 .1 ) и приравняем	коэффициенты при qa,	, . . .

	dkn—1Яа	(er= 1, ...,/? ) . Получим
	dlk<r~l	(er= 1, ...,/? ) . Получим
	dlk<r~l

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 4424 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
03.11.20234.21 Mб8ba0501.djvu
#
10.05.2024227.33 Кб4Panel.doc
#
29.10.202310.49 Mб7Pushkov N.V. Quiet Sun.pdf
#
29.10.20232.39 Mб5А. А. Якубов библиография.pdf
#
03.11.20232.9 Mб16А.В.Никонов, Л.З.Папернов. - Измерители уровня звуковых сигналов-Радио и связь (1981).djvu
#
25.10.202317.28 Mб22Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf
#
19.10.20232.3 Mб16Абдуллаев, Я. Р. Электромагнитные устройства с индукционной подвеской учебное пособие.pdf
#
25.10.202315.35 Mб27Абелев М.Ю. Слабые водонасыщенные глинистые грунты как основания сооружений 8-й междунар. конгресс по механике грунтов и фундаментостроению.pdf
#
20.10.20237.92 Mб12Абжирко, Н. Н. Влияние вибрации на характеристики радиолокационных антенн.pdf
#
23.10.20236.9 Mб22Абовский Н.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек учеб. пособие.pdf
#
29.10.20232.32 Mб19Абраменко Б.С. Сборник задач по теоретическим основам эксплуатации радиотехнических средств.pdf