книги из ГПНТБ / Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем
.pdf190 |
А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е Р А С Щ Е П Л Е Н И Е С И С Т Е М Ы [ГЛ. V III |
Здесь QOC] — произвольная, достаточное число раз диффе ренцируемая матрица порядка ka. В частности, можно
принять Qoa1 = 0.
Остальные субматрицы матрицы |
однозначно опре |
|||||||
деляются |
алгебраическими соотношениями (2.16), |
ибо |
в |
|||||
этих матричных равенствах As и Ла (s ф а) не |
имеют |
об |
||||||
щих собственных значений (согласно лемме 7.7.1). |
|
|
||||||
Определив из |
(2.16) |
Qsa1 (s ф а) |
и задавшись |
матри |
||||
цей QlaJ, |
будем |
иметь |
Q^], |
после |
чего легко |
построить |
||
матрицу |
по формуле |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
= |
TCQo*1, |
|
|
(2-18) |
|
которая получается из равенства (2.14) умножением обеих его частей слева на К и использованием соотношения (1.5).
Таким образом, с помощью рекуррентных соотношений (2.16), (2.17) и (2.18) можно последовательно определить
члены формальных рядов ЛУ], Аа]; Лет1, К[а \ ...
Остается определить еще матрицы Ма и R, фигурирую щие в равенстве (2.8), которое можно записать в виде
[А(х, г)К(X, г)М(т, e)R(т, е) — En]f{t, х, е) = 0, (2.19)
где
~ ~ |
/ щ |
К = (К, ... к р), |
м = . . . . |
|
W |
Поскольку f (t, т, е) — ограниченная функция, то для выполнения равенства (2.19) достаточно, чтобы имели мес то следующие соотношения:
|
К (X, е) М (т, |
е) = |
Еп, |
|
(2.20) |
Обозначим |
А (т, е) R (т, е) = |
Е„. |
|
(2.21) |
|
|
|
/М * 3\ |
|
||
КШ = |
Km )t |
|
|
||
м т = | |
|
|
|||
Тогда |
|
|
Ѵ < Ѵ |
|
|
|
|
|
|
|
|
к = £ |
e k K w СО. м = |
2 г м т |
(т ). |
(2.22) |
|
|
|||||
k—Q |
k**0 |
§ 2] |
П О С Т Р О Е Н И Е Ф О Р М А Л Ь Н О Г О П Р О Ц Е С С А |
191 |
Подставим разложения (2.22) в равенство (2.20) и прирав няем коэффициенты при одинаковых степенях е. Получим
А[0]М[0] = |
Еп, |
|
2J A[‘]M[ft_'] = |
0 |
(& = 1, 2, . . . ). |
;=о |
|
|
«г
Отсюда, учитывая (2.12) и (1.5), находим
Мт = М,
Mw = — М 2 Кщм ік~і] (k = 1, 2, . .. ). >•=1
Аналогичным путем из (2.21) следуют рекуррентные фор мулы для построения членов разложения R (т, е):
\
( 4 = 1 , 2 , . . . ) .
і=і
Теорема доказана.
З а м е ч а н и е 1. Построение матриц Ао и Аа не зави сит от вида функции / (/, т, е), так что решение однородной системы
Л(т, & ) ~ = В (т, в)*
определяется равенствами |
|
|
|
р |
- |
|
|
X = 2 |
Ко(т, е)^> |
|
|
а=1 |
|
|
|
- ^ - = Л„(т, е)г/0 |
(от = |
1, . . . . р), |
|
где AC (т, е), Л0 (т, |
е) — матрицы, |
представляемые фор |
|
мальными рядами (2.6), члены которых определяются вы шеприведенными соотношениями.
З а м е ч а н и е 2. Определение первых членов рядов
Ла и Ао (с м . (2.12)) допускает известный произвол. Можно было бы принять
А™ = АстМст,
где Ао — произвольная, невырожденная, нужное число раз дифференцируемая матрица порядка ka. В связи с этим,
192 А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е Р А С Щ Е П Л Е Н И Е С И СТ Е М Ы [ГЛ . V III
естественно, возникает вопрос, каким образом влияет вы бор матрицы Na на выражения для членов формальных ря дов. Следующий параграф посвящен этому вопросу. В част
ности, будет показано, что |
матрицы |
Q0 |
(а — 1, |
2, ..., р) |
||||||||
не зависят от Na |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ll |
р и м е р . Рассмотрим систему уравнений |
|
|
|
||||||||
|
rfr |
|
хг + |
хв + |
/X(О, |
|
|
|
|
|
* |
|
|
- j f - = txx+ |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
~~м~ — i |
t |
+ p |
j |
xi + ^— t + |
T rj xs + / 2 (0. |
|
|
||||
|
- # - = (2 |
1 - |
-Pj xs + |
(2 1 - P |
) x , + h (t). |
|
|
|
||||
Собственные |
значения |
матрицы |
этой |
системы |
^ |
= |
t, |
|||||
Х2 = |
/, Я3 = |
в любом замкнутом промежутке [^, /2] (^і> |
||||||||||
> 0), |
не содержащем точки |
t — 1, могут быть разбиты на |
||||||||||
две непересекающиеся |
группы: 1) Ä,*11 |
= |
Я,”1 — |
Х2 |
и |
|||||||
2) Я|2) = Я3. В соответствии с такой разбивкой собственных
значений на группы произведем |
расщепление заданной |
си |
||
стемы уравнений. |
|
|
|
|
В данном случае |
|
|
|
|
|
t - i r |
1 |
1 |
|
Д1(У) = ( t / - Ä 8) = |
„ |
|
- [ , - + |
) |
|
0 |
|
2 ( ' — r ) |
|
N2( U ) = ( U - l[ l)E3)(U - |
Ä s ) |
= |
|
|
“0 |
0 |
0 |
5 2] |
ПОСТРОЕНИЕ ФОРМАЛЬНОГО ПРОЦЕССА |
Поэтому можно принять
'1 1
О — t — 1
К і=
О - 2 I t — L.
Тогда
К = о - l t - т г 1 1 |
|
||
О 2 [ t ---- ~ ) |
- 1 |
|
|
t |
1 |
— |
|
р |
|||
|
|
||
193
0
1
— 1
—1 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
~ |
1 |
|
|||
|
|
|
|
||
|
1 W |
0 |
2 |
_L\ |
t ___L |
|
|
|
1 |
iä 1 |
p _ |
|
|
~і t |
0 |
|
|
А = |
MUК = |
0 |
t |
0 • |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
p |
|
||
|
|
|
|
|
Таким образом,
M |
|
‘ |
t — 4 ------ 1 |
|
|
I |
1 |
||
|
/ |
|
1 ' |
|
|
t — |
|
||
< |
t |
jr |
|
|
II |
|
|
|
|
|
\o |
t |
|
|
Определим теперь /(р-1, |
|
|||
|
|
|
~0 |
0 |
— 1 |
М2 = (0 2 1); |
, |
|
1 |
|
|
Л2 = ^г |
ЛР], APP |
В данном случае |
“ |
|
п[°] dKi О-1+4- |
Dt0] = d K ^ |
и ' |
dt и’ |
о 2(1 + 4 |
|
7 К. А. Лбгаряа
194 |
А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е Р А С Щ Е П Л Е Н И Е |
С И С Т Е М Ы [ГЛ . |
V I It |
||||||||
а |
и M2D p, |
как |
легко |
проверить,— нулевые |
мат |
||||||
рицы. |
это, из равенств (2.16) получим |
|
|||||||||
|
Учитывая |
|
|||||||||
|
|
|
Qi2] = |
о, |
|
= |
0. |
|
|
||
|
Полагая равными |
нулю и произвольные матрицы |
Q^-1 |
||||||||
и QM . будем |
иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
Q l I] = |
о , |
Q ! 1] = |
|
0 . |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
СП |
|
|
||
|
К“ 1= |
KQm - (К, |
К,) |
|
|
0. |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||
Далее, |
|
|
|
|
|
|
|
/з + 2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
/(/3-1 ) |
|
||
|
А\и = — М |
^ 01 = |
|
Д(3 + 2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/(/3-1) |
|
|
|
|
|
Al,,J = |
— M.2D[^ = |
0. |
|
|
||||
|
Используя (2.10), получаем £>||] = |
0, |
= 0. Это вле |
||||||||
чет за собой равенство нулю матриц |
/С,2-1, К[7]; А)21, |
Л ^ . |
|||||||||
Ясно, что и вообще все последующие матрицы (К\3], |
|
||||||||||
Л|3Ѵ--) СУТЬ нулевые матрицы. |
|
|
|
|
|
||||||
|
Таким образом, |
А |
|
1 |
|
|
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
К = К = |
0 |
- I t — |
pr) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0 |
2 Iі ---- ] |
- |
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
t |
t — P |
|
/з + 2 |
|
||
|
Äj = |
+ |
M " |
' |
/ ( / 3 - 1 ) |
|
|||||
|
|
t — |
/3 + 2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
/(/3-1) |
|
||||
A9 — Л,
1
P
Далее,
M[U — — M/<[1]M = 0,
з] |
О Б Щ И Й |
ВИД |
М А Т Р И Ц К £ 'Л о |
195 |
так |
как /([1] = 0. И |
вообще, |
|
|
|
Мт = 0 |
(ft = 1,2, . . . |
). |
|
Наконец, так как А — Е3, то R = Д3.
Следовательно, исходная система уравнений приводит
ся к |
следующим двум независимым подсистемам: |
|
|
|
— ^-іУі + |
|
<іу« |
= Â2*/2 + |
где |
dt |
|
|
МО |
|
|
|
|
|
|
МО |
|
|
МО |
или в развернутом виде |
|
|
а У и |
^Ун + — /Г + |
Уі2 + |
Л |
||
|
|
+ /і (0 ----------- і-- (f2 (0 + /3 (0). |
|
|
м |
dl |
^ — T^zTjy j^i2 |
Н-------- j— (МО + /з (0) |
И
- ^ - = -^ -» 2 + 2 /! (0 + /з (0.
§ 3. Общий вид матриц К^ь\ ЛІМ Инвариантность матриц Q[ak]
В равенствах (2.11) положим
/^°] s KaNo, |
Л™ S N7'AaN0, |
где Na — произвольная, достаточное число раз дифферен цируемая матрица порядка ka.
При этом первое равенство (2.11) снова обратится в то ждество. Действительно,
UKlo] = 2 |
K0 N0 = KaNuN^AoNo = М',]Лса0]. |
3«s=l |
|
7 *
196 |
А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е Р А С Щ Е П Л Е Н И Е С И СТ Е М Ы |
[ГЛ . V I II |
Для |
построения величин в к-и приближении |
умножим |
(k -+- 1)-е равенство (2.11) слева на М, а справа на NÜ"1. Получим
AMIÜk]NJl= М К ^ ^ Л а + MKoNo&'b]Nöl+ MDlok- ' ]Nöl,
или, обозначив
Qcr*3=
АСІк] = Q[a ]An + |
MKaNaAla]N7l + MD[ak- ]]Na-' . |
|
||||||
Последнее равенство эквивалентно следующим р неза |
||||||||
висимым матричным равенствам: |
|
|
|
|||||
Л-sQsa1 = HSC’A, + |
|
|
|
|
|
|
||
+ M sK o N a № N ö ' + М |
|
|
( s = l , |
, р). |
||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
^сфа = |
Q $A Ö+ |
NaAlok]Nä' + |
MaD[ak- ' ]N0', |
(3.1) |
||||
AsQsa] = |
Qlo]Л0 + |
MsDl0k~l]Nö' |
(s Ф a). |
(3.2) |
||||
Из (3.1) получаем |
|
|
|
|
|
|
||
A[k] = |
No' (ЛoQloo]- |
Qao]Aa - |
M o D ^ N ö 1) N„. |
|
||||
Здесь по-прежнему Q\jkJ |
— произвольная, достаточное |
чис |
||||||
ло раз дифференцируемая матрица порядка ka. |
|
|||||||
Равенства |
(3.2) однозначно |
определяют Q^J (s Ф а). |
||||||
Покажем, |
что |
(s ф a; |
к = |
1, |
2,...) не зависят от |
|||
No- Для этого, |
очевидно, |
достаточно показать, что матри |
||||||
цы MsD[o~[^ N^' не зависят от Na-
При к = 1
й01мг' = [ ф - Vß.K?1+ VAKM"1)К' -
= N ^ - + K „ - ^ N - N 7 ' - A P B 1K „ + A >'A I K;CK .
Но (см. (2.10))
dKo |
Ao 'BLKo + Л) 1A1/C(jAa = |
Ua=Eb |
|
dx |
|||
|
|
||
Поэтому |
|
dNp |
|
|
|
ДЕг0] = |
No + Ko |
dx |
|
|
5 3] О Б Щ И Й В И Д М А Т Р И Ц К ^ Л ? 1 197
|
|
м Д 0]Д |
|
= |
м Д 0] wa=£Aa |
|
( s ^ 0)- |
(3.3) |
||||||
|
Подставим |
(3.3) |
в (3.2): |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
А , 0 |
$ |
= |
( & |
]Л 0 |
+ / И |
Д 0] |а (Т= £ ^ о |
( S * а ) . |
|
||||
|
Сравнивая последнее равенство с равенством (2.16), ви- |
|||||||||||||
Д И М , ЧТО |
лП] _ |
лП]' |
|
и, |
значит, |
С |
ТОЧНОСТЬЮ ДО |
|||||||
4so |
— Usoiff" |
|/Vö=£fe,К(Т |
||||||||||||
произвольной |
субматрицы Qad |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
mi |
|
|
|
|
(3.4) |
|
При k — 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
DP = кРлЯ' + V |
(лД |
+ л,Д |
- в./сУ1■ |
|
||||||||||
- |
В Д 0] + Л Д ‘Д |
|
0Д |
Л Д ° Д 1] + Л Д ° Д 0]| = |
|
|||||||||
= |
K Q ^ N aN â 1 (А Д У - |
QaaAo - |
МД ° 3Л Д |
No + |
|
|||||||||
, |
d(KQ™Nj |
|
|
|
А |
d(Kd i 0) |
~ ß Д<ЗУ Д |
~ B 2K aNa+ |
||||||
+ — л — |
|
+ A0 |
|
|||||||||||
+ |
A.KO^NoNä'AoNo + A.KoNoNV' (А Д У - |
Q[J]Aa - |
|
|||||||||||
— MД |
0Д |
*) Nn + A,KaNaNä]AaNol = |
|
|
|
|
||||||||
|
К № (ЛД У - |
Q^Aa - MoD™ |л.0=£,а - |
л Д |
ІѴСТ+ |
||||||||||
+ І ^ |
# . + К й и ^ + Ѵ |
Лх |
Т |
^ |
+ |
|
||||||||
|
|
d N n |
|
|
|
|
|
d x |
|
|
||||
+ |
АхКо |
|
|
B . K Q ^ N a - |
B 2K ON 0 |
+ |
A1K f f l & 0N 0 + |
|||||||
(fr |
|
|
||||||||||||
+ |
Aj,Ka |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dN„ |
|
|
ACQCTCT— QtraA0 — M oD ^ |а0=£6сг------N0 1j /Ѵ0 -j- |
||||||||||||||
+ |
A2K ON ON O\ = |
{ * Д '] (AOQCKJ - |
<Д]Ла - |
MoDla0] Ua= £,o) + |
||||||||||
|
d(KQilb . |
|
„_ir . |
dKn |
|
|
|
|
|
|
||||
+ |
dx |
+ |
A |
Ax- dx |
ßiKQa11— B 2Ko + AlKQ[al]A a+ |
|||||||||
+ A J< a (AoQ $ - Q&A0 - М Д 0] |WO_ B ) + A J< aA No.
198 |
А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е Р А С Щ Е П Л Е Н И Е |
С И СТ Е М Ы СГЛ. V III |
|
Отсюда в силу |
равенств (2.17) и (3.4) |
||
- |
[КУ]Л^1] + |
|
|
|
< |
1] |
- в . к ?>+ |
|
+Аг'| А0 -Жdt -т+А1 -ТІііт -— |
||
+ Л.КУЩ“1+ A jK f’At11 + Л К ‘0ІЛІ°>)
• / V с г ,
T. е. |
Da1] = D[a ] |л/о=і „а |
<ѵ„. |
|
|
|
|
|
||||||
|
Ha основании последней зависимости из (3.2) следует, |
||||||||||||
ЧТО QÜa1= |
Qs[a] | |
- |
И, |
ЗНЭЧИТ, |
С ТОЧНОСТЬЮ |
ДО П РОИЗ |
|||||||
ВОЛЬНОЙ матрицы QOC |
Qa 1= |
Qa ] |ліа=£йст- |
Допустим, что |
||||||||||
установлены инвариантность |
Qa1], |
..., |
Q[o-1] и зависимости |
||||||||||
DlJ ] = |
DlJ ] Iva=Eka - Na |
|
|
|
(/ = |
1.......... k — 2). |
Покажем, |
||||||
что тогда |
Qo*1 инвариантна |
|
относительно |
Na, |
а |
||||||||
|
|
|
|
Dla~11 = |
Dla ~ U |ivtf=£ftCT• Na. |
(3.5) |
|||||||
|
Преобразуем |
выражение для |
|
|
в |
предположении, |
|||||||
что k >- 3: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
k |
/ |
|
|
|
|
|
|
ft—‘V |
|
\ |
|
+ |
V |
у; |
Дѵ-і |
|
- |
а |
|
д ^ |
ѵ] + |
2 |
д д ^ - ѵ- /]л [0/] ] = |
||
|
|
v^l \ |
|
|
|
|
|
|
i=0 |
|
/ |
||
|
ft— 1 |
|
|
|
|
|
|
л д - l f t — ■] |
|
|
|
||
- |
V |
K F - W |
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
/=2 |
ft |
Wftr[ft—V] |
|
|
|
ft |
|
|
|
|
|
|
+ |
V |
^ |
v- , ^ -------Ѵ |
|
ѵ а д Г Ч |
|
|
||||||
|
|
v=2 |
|
|
|
|
|
v=1 |
|
|
|
|
|
+ |
A ö' |
|
ДѵД[а _ѴІЛ[а0] + |
До“ 1 V |
|
ЛѵДСа - ѵ_1]а У3 + |
|||||||
|
|
Ѵ = » 1 |
|
|
|
|
|
Ѵ = І |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ft— Ѵ5.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
Л(Г' 2 |
2 |
і4ѵДаЕ-Ѵ_/3Ла/] • |
||
Ѵ ~ 1 і ~ 2
§ 3] |
О Б Щ И Й В И Д М А Т Р И Ц /<£Ч |
|
1 99 |
|||
Но |
|
|
|
|
|
|
1 - 2 |
|
|
|
|
|
|
=2 |
I<Qlak- n N oN äl (A aQ[M - |
Q[J ]aA o ~ M aD [J - ]]N ä l) N a = |
||||
/=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 К1ак~ПЛаП1 |
■N a |
||
|
|
|
/=2 |
|
N°=Ekn |
|
K lk~ ]]A ll] + — \x |
1] = K Q ^ []NaN ö' |
AOQCO- |
0}oJA |
|
||
|
M a (p aL INa=Eka ' N 0 “f" |
Ko — |
° \ Л 7 - 1 |
NQ-f- |
|
|
|
No |
|
||||
+ |
ä m i k- lb |
^ |
dNa |
|
|
|
dx |
ІѴо+КЦо |
- fc - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"a=Eka |
■N, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
■I*— V] |
|
•No; |
v=l |
v=l |
|
BvK[J |
|
||
|
v=l |
|
*a=£*n |
|
||
2 |
= 2 |
AvKQLok~v]NoN7lAoNo = |
|
|
||
V=l |
«--! |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
AvKLÄ~V]ACa ] |
|
•No; |
|
|
|
_v=1 |
|
N o = E ka |
|
|
k k—v
2AvKlok~v41A [on =
=1 / = 2
= 2 *S AvKQlok- v~nNoNö' (AoQlJ] - QCTOAO-
v=I /=2 |
|
— MaDlJ - 1]Nöl)Nv = V S ’ A v ^ “ v -'']Ai/] ] |
■УѴг, |
v=l /=2 |
|