Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1271 вуз, 4663 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги из ГПНТБ / Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем

.pdf
Скачиваний:
22
Добавлен:
25.10.2023
Размер:
17.28 Mб
Скачать
☆

2 4 0 А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е Р А С Щ Е П Л Е Н И Е [Г Л . IX

Аналогично тому, как были получены формулы (3.8), отсюда находим

fctO]

Ь;+1 о—

til]. '

W + l Ö—

Д 2] _ b/+ I о —

,/£[0],

[OK.

 

 

 

 

 

 

Г'Ь/'о "Г ®/'oblo>

 

 

 

 

 

 

—

/ /ь П ]

,

„ [ 1 Ы 0 ]

, [0]j.[i]

a /a ,

C'b/a

- p

« 7 0 6 1 0

T - 0 t ;cr§io(

—

 

UP[2]

.

„ [ 2 Ы 0 ]

,

[0 M 2 ]

Ml

,

 

 

^ Ь /о

T ^ O '/o sia

 

« /o glo

■aja

 

 

 

 

 

 

 

 

,# -П

,

 

 

 

 

 

 

 

U I <J

 

 

,[0]

(3.20)

(/= 1, ..•, k a , k = 0, 1, ...;

a = 0).

Для доказательства теоремы достаточно показать, что при соответствующем выборе членов рядов (3.19) матрич­ ные соотношения (3.20) выполняются тождественно.

Первое соотношение (3.20) в развернутом виде представ­ ляется так:

Д °] _ т/pW , „ [о м о ]

5 2 0 — с Д ю + а , о ,

 

 

tl°]_/

l^S2o

_J_ „[0 ]fc[0 ]

 

 

 

S3a —

I 0-20

bio ,

(3.21)

 

 

ДО]

_/■/tl°:

i „ [ 0 ]

 

 

t[0 ]

 

 

Cft0o —

и Ыа-1 оП" a fca-l 0

bio >

 

 

П _

//ДО]

. „roitlO]

 

 

 

u—

u ^kao “Гa/;aaSia•

 

Равенства

(3.21)

умножим

слева

соответственно на

и ка~\

Uko~2,

 

U,

Еп

и сложим. Получим

(£/*« +

а ^ а - Ц

-

■•

• + 0Cfc“ L io

U + а Щ , Еп) ^ = 0. (3 .2 2 )

Заменив последнее равенство системы (3.21) равенством (3.22), далее вместо системы (3.21) будем рассматривать эквивалентную ей систему

ср о(Д )£І°о] = 0 ,

О = и ф + « Е Ж ( / = 1, k a - 1) ,

где

фо (А.)= A ft°-f ajoA°cf 1+

•■• + o40— ioA + сфа-

§3]

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫ Й СИСТЕМЫ

241

Тем же путем преобразуем (й + 1)-е соотношение (3.20), которое в развернутом виде выглядит так:

І.Ш _ IIІ.Ш

ъ20 -- и Ъ\а

tW _ IJtW

СЗСГ — Ut,2о

,

„ШЛО]

[OWft]

--

,[ft-l]

>

+

а ІСГЪІСГ+

a ia£l0

« 1 CT

I

«[А]е[0] , „[0ЫА]

—

j[ft—I] ■

~r a 2ö èla “T a 2aSlcT

 

>

[ft] _

///eLE[ft]"J

j

 

 

 

6t LUJ[0]

 

rvLUJ

swtW

j [ f t - l1]j

 

} (3.24)

 

a ka- l o

 

 

 

 

 

 

 

^b fta -'o

"г

 

Slcr

-j- «*„-10 t]o — a ka- l а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[0]

 

 

 

 

 

 

 

о

Iіі.Ш ,

„C*l ECOJ

,

 

£0 ] -[ft]

Ak[ f t-— 1]

 

 

 

 

 

u — и Ък„о -Г °4га05Ю

 

CtACT(jSlcr

— ak&

 

 

 

 

 

 

Умножим эти равенства слева соответственно на

ftfr—i

Ик°'

 

Uk°~2,

.... U, Еп и сложим. Получим

 

 

 

 

 

 

(£/*»+ сД О іЛ -Ч o$U ll° -2+

• • • +

с 4 %

и + а $1,Е „)№ =

= — (а[$ика~1+ с $ и ка~2+

' '

+

аЛ0-1а U -f-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

„[ft] р \ Е[0 ]

I

j[ft—I]

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т

а кав£-л) Siff

+

“а

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, вместо системы (3.24)

можем

рассмат­

ривать эквивалентную ей систему

 

 

 

 

 

 

 

фд(П ) ^ ] =

- ( а ^ ]Ч 0

-

+1

а [2 а]Ч а- 2+

+

 

I

 

 

 

 

 

 

+ « v - 1

оѴ +

аікаІЕп) |іа] + Ч “ 1] ,

I ^

25^

6/4E[ft]-1 а _— ^S/crГ/ttft] “ГI „[*]fc[a ja Sid0 ]

TI

[

е[* ]

^ft-!]

 

 

 

 

а/о„[»]' 0 £ 0а

П-/СГ

 

 

 

 

 

 

 

 

( / = 1 , 2 ,

 

 

51

1).

 

 

 

 

 

 

Теперь покажем, как,

 

используя

полученные соотноше­

ния, построить члены рядов (3.19).

 

 

 

 

 

 

 

Положим

 

 

 

№ = Ксаа<

 

 

 

 

(3.26)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где а0 — некоторый ka-мерный вектор (матрица-столбец). Тогда первое равенство (3.23) (используя (1.2) при со­ ответствующем разбиении собственных значений матрицы U

на группы) можно преобразовать к виду /Сафа(Ла)аа=0. (3.27)

Так как инвариантное подпространство Ra, соответ­ ствующее группе а собственных значений матрицы С

242

А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е Р А С Щ Е П Л Е Н И Е

[ГЛ . IX

циклическое, минимальный многочлен этого подпространства является многочленом степени /га, коэффициенты которого определяются по формулам Виета:

Фо(k) —

+

a\a\

k<J 1

-f- • ■•

-)- afcJ—iA -j~ ceil,

а Г =

- ( С

+

•••

+ Ц " ’>.

„ ( О ) ____о (с О о (e r) .

• • •

. Л (О )

л (О )

а 2

—

А,1 Аг

+

+

|А/га ,

Примем

 

 

 

 

tfc’.

 

 

 

„[0 ] _

„[о)

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

Ctja

ОС]

 

 

 

фо ß ) == Фо (Л)

 

 

 

 

 

и, значит,

согласно лемме 1

. 1

 

фо (Л0) — фо (Ла) — 0.

В этих условиях равенство (3.27) выполняется тождест­

венно. Допустим, что уже найдены £$, о^У

(j —

1,

2, ...

...,k a ',i

= 0,

1 ,..., k

— 1).

Определим

£$J,

o $ ]

(/

=

= 1 , 2 ,

. . . ,

ko).

 

 

 

 

 

 

Пользуясь равенствами (1.2) и (3.26), первое равенство

(3.25) представим так:

 

 

 

 

 

 

/Сфо (Л) Л4|У =

— Ко (cxfa^A*0

-j- alo^Akaa

+ ••• +

 

 

Отсюда

 

+ aÄCT—1аЛа + 0£.ftaoffta) aa + cfo

^ .

 

 

 

 

 

 

 

фо (Л) Qik] = -

MKo (a\ko]Ako° ~ l + 4 k]A kf - 2 +

■ •• +

 

 

 

 

+

оЛ0 ф- a*aa£*a) йо ф- Md\j

■*. (3.28)

Здесь

г

\ f f l j

а QSC] = Ms|i 'a — субматрица типа ks х kq.

§3]

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

НЕСТАЦИ ОНАРНОЙ СИСТЕМЫ

243

Равенство (3.28) распадается на р независимых матрич­

ных соотношений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

фа (Л5) Qsa] = -

М,Ка (сДОЛ*

"

- +1 а ^ Л *

"

" +2

■■■

+

“Р а А0 —

1аЛа -)- C^k^oEka) da -р Msda

^

 

(S =

1,

. . . , р).

При

s Ф а

М5Ка =

О,

а

фа(Л8)

в

силу

условия

(3.16) — невырожденная

матрица. Поэтому

 

 

 

 

Qsa] = V ^ (As) Msdlak~U

(s Ф a).

 

 

При s =

a

Ma Ka = Eka, а фа (Ла) =

0.

Поэтому

 

(аіа]Л* 0

_ 1+

о4а]Л * а ~ +2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

• • •

+

°4д—

1а^ а ~"Р akJaEka) da = Macfa ^ ,

ИЛИ

 

 

 

(£aCCM = Modi*-",

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

(3.29)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Iac =

(K a~XaaK a~2a0 •••

da),

 

 

 

 

 

 

а aft]

 

afa

\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

“ W

 

 

 

 

 

Так как подпространство /?ст циклическое, то по лемме 1.2 при соответствующем выборе столбцовой матрицы аа столб­ цы матрицы {£а будут линейно независимы. Пусть а0 вы­ брана из этого условия и столбцы матрицы линейно не­ зависимы. Тогда &а , как квадратная матрица с линейно независимыми столбцами,— невырожденная матрица. Учи­ тывая это, из (3.29) находим

a

= £ 7 1ЛЫ *-1]

(£ =

1 , 2 ,

...).

Неопределенной осталась лишь субматрица Ql0kJ матри­

цы Qa4 - Из

вышеизложенного ясно,

что

в качестве Qacr

может быть взята произвольная, нужное число раз диффе­

ренцируемая матрица типа

х

1. В частности, можно

принять Qoa = 0 .

 

 

Зная Qa'1, легко получить |іа

по формуле

№ =

Ю Р -

2 4 4

А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е

Р А С Щ Е П Л Е Н И Е

[ГЛ . IX

Остальные

векторы

(/ =

2....... ka) определяются

соответствующими равенствами (3.25).

 

Итак, указанным путем можно последовательно опре­ делить члены рядов (3.19), с помощью которых представ­ ляется формальное решение уравнения (3.1) в форме (3.17), (3.18). Теорема доказана.

3.3.

Случай простых собственных значений матрицы. Ес­

ли на сегменте [О, L] все собственные значения матрицы U

остаются

простыми, то, оставляя в каждой группе по од­

ному собственному значению, будем иметь

| М

Т) — М Т) І > °

(s=£o; s ,с т = 1 , . . . , п).

В соответствии с теоремой 3.2 решение системы (3.1) может быть представлено равенствами

П~

*= 2 2 £іо(т>е) <?о, о= 1

dq„

 

—ÖT + “ Щ

(т- е) ЯО= о

(CF=

1........../г).

В формуле (3.26) в данном случае и0

— скалярная ве­

личина. Положим

аа =

1 (ст =

1, ..., /г),

будем иметь

 

!іа = К о

 

(СГ== 1 , . . . ,

П).

Далее, так как теперь сра (X) — к — Яа, то

 

Qso] = ■xs — ха

 

[ * —

11

( s i - а]

k = 1 , 2 , . .. ),

 

МД*

 

 

tW _

 

K s M s

 

[k—\ ■

KoQ[*]

 

Xs — Xa

 

 

 

s+a

s

0

 

 

 

Наконец, a $ =

—Аст и,

поскольку

t£a = «а = 1 (а =

= 1 ,

n),

 

 

 

 

 

 

Легко видеть, что последние соотношения в точности сов­ падают с соответствующими соотношениями, приведенными в § 6 гл. VIII, и лишь отличаются некоторыми обозначения­ ми, а именно:

іѴ0 —

ОЦ0

,

Д0

— tlo •

A

„ І А ]

 

/

А ] е [ А ]

Таким образом, в рассматриваемом случае применение обоих методов расщепления, как и следовало ожидать, при­ водит к одинаковым результатам.

$ -л

Р А С Щ Е П Л Е Н И Е Н Е О Д Н О Р О Д Н О Й С И С Т Е М Ы

2 4 5

3.4 Приближенное решение системы. Приближенным решением системы (3.1) будем называть вектор xnl (t, е), определенный равенствами

 

Р

(

о—* (т)

I

 

 

.. _

V

( r(m>

d

q°

)■

(3.30)

Х т — 2J l<=1<J

..*0-1

+

 

 

сг=І \

ш

 

 

 

 

dk°o^m)

+

“ іа

dk° ~ lo[m)

•

= 0 (3.31)

кп

ft

. +

Гd t °

 

 

(cr= 1.....

р ),

 

^ ( Т ,

е) =

*=о

( / = 1 .......... k a ) ,

 

 

т

 

 

a f f i x ,

е)==

2 е*а|а] (т)

( / = 1 , . . . .

k o ) -

 

 

k=Q

 

Как увидим далее (§ 5), таким образом определенное ре­ шение системы (3.1) имеет асимптотический характер.

§ 4. Расщепление неоднородной системы

Если п-мерное векторное пространство R расщепляет­ ся на подпространства /?х, /?2, R P, инвариантные и цик­ лические относительно линейного оператора А в /?, то в R имеется базис, в котором этому линейному оператору отве­ чает квазидиагональная матрица J = diag (Ух, ..., / р) с диагональными блоками, имеющими естественную нормаль­ ную форму:

0

1

. 0

0 “

0

0

. 0

1

—akaa

aka—\ о

■ * — ССоо

otic

 

 

(ff — 1 > . ..

, р)

2 4 6

А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е Р А С Щ Е П Л Е Н И Е

ИЛИ

 

 

 

 

— С С [ а

(Х2а

. . — а к а — 1 а

 

1

о

0

[ГЛ . I X

1

1 £ Q а

0

Ja =

(4.2)

О

0

1

0

 

(er = 1 , 2..........

 

р).

Матрица А, отвечающая оператору А в произвольном базисе, связана с матрицей J соотношением подобия:

А= КЛ<~\

Всоответствии с этим линейная стационарная система

= Ах

(А = const)

при замене переменных

X = Ку

распадается на р независимых подсистем

=

J<s"a

(er =

1 , . . . , р)

(y1.......ур — субматрицы

столбцовой матрицы у с размера­

ми соответственно

х

1 ,

kp х

1 ).

Теоремы предыдущего

параграфа показывают, что, по­

добно стационарной системе, и однородная дифференциаль­ ная система при известных условиях может быть расщепле­ на на подсистемы, матрицы коэффициентов которых имеют структуру матриц / ст. Действительно, если, например, ка­ кое-нибудь уравнение расщепленной системы (3.18) пред­ ставить в виде системы уравнений первого порядка, то по­ лучим систему с матрицей типа Ja. Оказывается, что и неоднородная дифференциальная система при довольно об­ щих предположениях может быть расщеплена на подсистемы с матрицами типа J а■

§ 4]

Р А С Щ Е П Л Е Н И Е Н Е О Д Н О РО Д Н О ГО С И СТ Е М Ы

2 4 7

 

Рассмотрим векторно-матричное уравнение

 

 

А (х’ e)“^ = = ß (T' 8)* + fV ’ т’ е)

(т==е0 >

(4 -3)

где X и / — столбцовые матрицы типа п х 1, а Л и 5 — квадратные матрицы порядка /г, допускающие на сегмен­ те О С т <; L разложения (сходящиеся или по крайней м:- ре асимптотические) по степеням параметра е:

А (х, е) = 2

(т)> В (т>е) = 2

&kßb(т)-

Ь= 0

А=

0

Те о р е м а 4.1. Пусть на сегменте [О, L] а) матрицы

Аъ (т), Bk (х) (k = 0, 1,2, ...) имеют производные по х всех

порядков, а

А0 (т),

кроме

того,

является

невырожденной

матрицей;

б) собственные

 

значения

матрицы

I) (т) =

=

A JX(х ) В0 (т)

разбиты на

р

групп Яі0>,

?40),

... , Я*®'

о*** 1,2.......... p\

2

ka =

n I

так, что

 

 

 

 

 

0 “

1

 

/

 

 

 

 

 

 

 

 

\ l T ]( x ) - l f (т) I >

0

 

 

(4.4)

 

(o ^ s;

i =

1 ,

... ,

 

ka;

j =

1 ,

.. . ,

ks);

 

в)

соответствующие этим

 

группам

подпространства R lt

Ri, •••> R P являются

инвариантными и

циклическими под­

пространствами п-мерного пространства R

относительно

линейного оператора

U, которому в некотором базисе от­

вечает матрица U. Тогда формальное решение системы

(4.3) может быть представлено равенствами

 

 

 

 

х =

У, Ка (г, е) уа,

 

 

(4.5)

 

 

 

 

<7=г=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= Ä<j (т, е) уа +

Л4С(X, е) R (т, е) f (t, х, е), (4.6)

где Ко, Л ст,

Ма, R — матрицы типа соответственно п х

X ka, ko X ko, ka X п,

n X n,

представленные

формаль­

ными рядами

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ко(х,г)=

V е Ч ™

(X),

 

Л 0 (Т,

В) =

 

V 8 * Л [а :1 ( т ),

 

 

ft=0

 

 

 

 

 

 

fc=О

 

 

СО

Мо{Т , е ) = Ѵ е ‘М™(т),

Я (Т е) = V e 4 fe (т),

248

А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е

Р А С Щ Е П Л Е Н И Е

 

[ГЛ . IX

причем Л™ есть матрица типа (4.1), а

 

 

 

О

О

О

о

 

А ^ =

о

о

о

о

• (4.8)

,

<%ка а

& !{0 — I о

—— ryLft]и - 2 о —

а г/і а [ " 1

 

Д о к а з а т е л ь с т в о . Подставляя равенства (4.5) и (4.6), определяющие вектор х, в систему (4.3) и отделяя в полученном соотношении коэффициенты при уа (а = = 1 , р) и свободный член, будем иметь

d K „ (т,е)

~

~

0 ( т , е )

 

 

А (т, е) е - - - - -- - - - - - - -1--

 

е ) А

 

 

= 5(т, е)/<0

(т, е)

(а =

1 , . . . ,

р),

(4.9)

Л (т, е) Ѵ Д а (т, е) М0(т, е) Я (т, е) — Еп f(t, Т ,

е) =

0. (4.10)

а«і

 

 

 

 

 

Для того чтобы равенства (4.9), в которых по предполо­

жению Ко и Л0 представлены рядами (4.7), выполнялись тождественно относительно е, необходимо и достаточно,

чтобы члены разложений матриц /(а и Л0 были решениями матричных уравнений

 

UK™ =

K™ A[°\

 

 

 

 

(4.11)

 

U K ^ =

кН' Л[а01 +

Kla ]A ak]l

+

D ^-11

(4.12)

где

( 0 = 1 ,2 ..........р; k =

1 , 2 ,

...),

 

/г-1

 

 

 

 

 

 

 

D[ok- 4

 

 

 

 

 

 

 

= V K[oknA\i] -ь

 

 

 

 

 

 

 

2* \L

 

 

 

 

/г— V

 

’»

dT

в ѵк

^

+

£

Лѵ/ ^ г~ѵ- лл ^

 

V=1

 

 

 

 

/ =

0

 

В силу условия б) теоремы могут быть построены квад­ ратные матрицы

( М г\ К = (К1 .. . Кр), А = diag(Лі, . . . . Ар), М =( :

\М П

§ 4] Р А С Щ Е П Л Е Н И Е Н Е О Д Н О Р О Д Н О Й С И СТ Е М Ы 249

с субматрицами Ко, Аа, М0 (а = 1

.......р) типа соответст­

венно

п

X ka, k0 X ka, k0 X и,

дифференцируемые на

[О, L]

по

т столько же раз, сколько раз дифференцируема

матрица U, и удовлетворяющие соотношениям (1 .2 ).

Далее,

поскольку £а-мерное подпространство R G, отве­

чающее группе а собственных значений матрицы U, цикли­

ческое, то минимальный аннулирующий многочлен этого подпространства ср0 (X) есть многочлен степени k0, коэффи­ циенты которого (сию, а2а, ..., akgo) определяются форму­ лами Виета, а матрица Л0 либо совпадает, либо подобна матрице Jа .

Используя произвол, имеющийся в выборе матриц Ко и М 0, всегда можно сделать так, чтобы Л0 совпадала с Ja в форме (4.1). Учитывая это, далее будем считать, что в раз­ ложении (1 .2 )

Aa = J0 (<J=1.......... р).

С помощью соотношений (1.2) легко проверить, что при

подстановке вместо /(а0 -1 и Л[ст0] соответственно Ко и Л0 ра­ венство (4.11) обращается в тождество. Учитывая это, поло­ жим

К ^ (Т) = Ко (т), Л^ 1(т) = Ла (т) = Jo (т).

Остальные члены разложений матриц Ко (т, е) и Л0 (т, е) последовательно могут быть определены следующим путем.

Допустим, что

/Со4, Л™, ..., K[ok- '\ Ао^

' 1уже

найде­

ны и, следовательно, в k-м равенстве (4.12)

D1 * “

1-1— из­

вестная

матрица.

 

 

 

матрицы K[G\

Через |іа], ....

обозначим

столбцы

а через с$Гх^, .

— столбцы матрицы Од-11,

так что

 

= ß 1СТ

А*] \

пік—Jj_/jt«-

 

 

 

kao)’

и °

— (“la

 

 

В том

случае, когда Л^

1(k = 1,

2, ...) имеют структуру

(4.8), k-e равенство (4.12) эквивалентно системе уравнений

U—_

O'Slaт/fctfe]

+,

„[0]a *aaДЮfcaa ,

°^стаё*ааpW]

“а

>

 

П

 

 

T"I

„[0] I

tlfc]

„ W

ДО]

 

 

t l4

— r / t W

,

„С*]

A k - Ц

(4.13)

 

 

5

aE*aa +

a £a—I °S*aa

 

Ela — о'ёга

 

a ka—

-O

 

CA0 — 1a — Ubkao -f «la ë*öo

ДЧДО]

[*—1]

 

ala ё/гса— dkaa

■

 
Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности