3 2 0 |
|
К А Н О Н И Ч Е С К И Е |
Ф ОРМ Ы У Р А В Н Е Н И Й |
ІГЛ. X I I |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bf0] = |
т0 'ф/, |
|
|
ЬУ] = |
|
|
|
аь1Я |
|
), |
— («г'Ѵ0/01 + *i‘V —j t----Н то ХтуЬ1^ |
= - Ы |
Ѵ |
Р |
dxp |
^ 2]) ^ 01 + |
] + (2 ^ |
+ |
+ |
[i] |
|
|
dt |
+ 4 ’V |
^ |
f + |
Щ |
|
|
+ то |
|
|
|
|
д№ |
|
|
ті (— ЬУ] + *2 V6/01 + >4‘V - j f ) + ™i‘V /° ] |
В соответствии |
с этим |
|
|
(2.26) |
|
|
|
|
|
Ч>/5] |
= |
ЦоЬ[,м |
( £ = 0 , 1 , 2 , . . . ) . |
(2-27) |
Рекуррентные соотношения (2.27) и (2.26) позволяют последовательно определить члены формальных рядов (2.21). Тем самым теорема доказана.
Коэффициенты уравнений (2.20) представлены в форме
рядов. |
Удерживая в этих |
рядах |
члены, содержащие в |
в степени не выше |
т (т > |
0), получим |
приближенно пре |
образованную систему |
|
|
|
|
d% |
Yi e*a i£J |
dzo |
V7 I 6 a2o 2o = |
У е Ч ій і -М .1Г11) |
dt* + |
dt |
|
А=1 |
|
*=0 |
k=0 |
|
(ФІ 1 = |
0 , a |
= l , 2 , |
. . . , |
p). |
§ 3. Уравнения управляемого процесса в канонической форме
Рассмотрим систему автоматического управления с ли нейным объектом, который описывается уравнением
К (0 + т1(t)] |
+ г (0 |
+ [і0 (О ~Ь іа (і)] Я ~ а (О о + ф (О* |
|
|
(3.1) |
Здесь q — столбцовая матрица (типа п х 1) обобщенных координат объекта управления; ср — столбцовая матрица
§ 3] |
У Р А В Н Е Н И Я У П Р А В Л Я Е М О Г О П Р О Ц Е С С А |
321 |
внешних |
возмущений; б — матрица (типа / х 1) |
управля |
ющих воздействий; rn0,mltг, 10, Іг— квадратные матрицы порядка п, а а — матрица типа п х /.
Результаты, полученные в § 2, непосредственно приме нимы к уравнению (3.1). Для этого нужно лишь в формулах (2.26) векторную функцию ср0 заменить функцией йб + ф.
положить равной 0 и в выражениях коэффициентов при нять е = 1.
Этим путем, удерживая в уравнениях члены, содержа щие е в степени не выше первой, получим преобразованную систему уравнений регулируемого объекта в виде
|
~dF~ + |
“ l® ~1Г + (а ° + |
“ 2а ) 2а = Р а ( б[0] + 6С‘]) |
(3.2) |
|
|
|
|
|
|
|
( 0 = 1 , 2 , |
. . . , р), |
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а 1а^ = |
ра |
0 |
ГХа -р 2 |
—j -р (Хст7іаа — <7іаа&ст> |
|
|
а 2 а |
— |
— |
|
р а й ? о |
|
( П І ^ Х а С С о |
— |
/ j X CT) - р С С ^ ^ а а — (j2oo&Or |
|
|
|
|
|
|
|
Ьт = |
шо“1(аб -р ф), |
|
= — (>41]р + |
т Г '/д ) |
іщ 1(йб + |
ф ) — ирр/лГ1[a ~sf + 4 |
" ^ ) • |
В случае, |
когда |
векторная |
функция йб мала, полагая |
Ф0 = |
ф и фА= |
|
йб, будем иметь |
|
|
d2za |
, |
[ 1 ] |
^ 2 о |
. |
, |
, |
[ 1 ] , |
|
|
—jjß |
р a w |
|
|
р |
( С С а - р |
С С 2 а |
) Za = |
|
|
= |
Ра [ö0 — ( 4 ‘Ѵ + |
|
|
т г ‘ф] — Ki'W iT1 |
(3-3) |
|
|
|
|
|
|
|
(а = |
1,2, |
р). |
|
Преобразованные уравнения объекта управления имеют более простой вид, поскольку левая часть системы оказы вается расщепленной и связь между подсистемами полной системы сохраняется только через матрицу б в правой час ти системы. Такая система более удобна при всевозможных исследованиях, в частности при моделировании на анало говых машинах.
П р и м е ч а н и е . При замене переменных желатель но, чтобы норма вектора z<s совпадала бы или же мало
322 |
К А Н О Н И Ч Е С К И Е Ф ОРМ Ы У Р А В Н Е Н И Й |
[ГЛ X II |
отличалась от нормы вектора qa. Этого можно достичь так. Пусть
qa = |
^ — )- (Кг, -(- EJCIJCT) za |
(3-4) |
— вектор, который при е == 1 представляет приближенное решение системы (3.1), соответствующее решению га систе мы (3.2) или (3.3). Квадрат нормы этого вектора равен
d z ’0
tfoQo —^gXgXgZg
d t
J.U* |
. |
* • [1] |
dza |
+ |
а |
Ко?а + |
ZoXaXio1 |
d t |
|
|
~ Ь Z(jXoX2oZg -j- ZQX 2a XQZQ ) —|—E2 |
• • • |
Матрица ха всегда может быть выбрана так, что |
|
|
|
|
= |
|
Еha. |
(3.5) |
Используя произвол, имеющийся в выборе матриц q^0, |
можно добиться выполнения |
|
равенств |
|
|
х'ах\о] — 0 |
|
|
(і = |
1,2). |
(3.6) |
Действительно, |
|
|
|
|
ЛП |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<?/1СГ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Л 1 ] |
Р |
|
Хах\а] |
Ха (х2Х2 |
Хр) |
|
|
Q i 2С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
ДП |
_ |
|
или, учитывая |
(3.5), получим |
Я і р о |
|
|
|
|
|
|
|
И\Л>] _ |
ЛП |
I |
|
у |
V V ЛЧ |
|
|
Л0 Л/0 — |
Ціаа |
“Г |
|
~ - 1 |
^sVIsa- |
|
|
|
|
|
|
|
s+ o |
|
|
Отсюда ясно, что равенства (3.6) будут иметь место, если |
принять |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЧДЧю а -— |
__ кМ |
|
ZУj у,л[|]v i s a - |
|
|
|
|
|
|
S Фо |
|
|
Тогда
ЯаЯо = z"aZa + 62 . . . ,
т. е. с точностью до членов, содержащих е2, норма векторов при преобразовании (3.4) сохраняется.
Г л а в а XIII
КВАДРАТИЧНЫЕ И ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ
§ 1. Метризация векторного пространства
Рассмотрим векторное пространство R над полем комп лексных чисел ді, в котором введена бинарная операция, ставящая каждой паре х, у векторов из R в соответствие скаляр (х, у) — скалярное произведение а: и у , причем для любых векторов х, у, z из R и любого комплексного числа
аиз дъ
1)[х,у) = (у,х) (эрмитова симметрия),
2)(ах, у) — а (х, у) (ассоциативный закон),
3)(х + у, г) = (х, z) -f- (у, z) (дистрибутивный закон).
Если для векторов пространства R определена бинар ная операция со свойствами I) — 3), то говорят, что в R
внесена эрмитова метрика.
Из 2) и 3) следует еще:
2') |
(х,ау) = а (х ,у ), |
3') |
(X, у + z) = (л:, у) + (х, z ). |
Если для любого вектора х из R |
4) |
(х, х) > О, |
то эрмитова метрика называется неотрицательной. При выполнении же дополнительного условия
эрмитова метрика называется положительно определенной. Векторное пространство с положительно определенной эрмитовой метрикой называется унитарным пространством.
И*
324 |
КВАДРАТИЧНЫ Е И ЭРМИТОВЫ Ф ОРМ Ы |
[ГЛ . X I I I |
Под длиной вектора х подразумевают арифметическое (неотрицательное) значение корня квадратного из скаляр ного произведения (л:, л:):
\ х \ = У (х, х).
Из 2) и 5) следует, что каждый вектор унитарного про странства, отличный от нуля, имеет положительную длину, а длина нулевого вектора равна нулю. Вектор х называется нормированным, если ) JC | = I. Любой вектор х можно про
нормировать, умножив его на какое-нибудь комплексное
1 число, модуль которого равен -j—г.
Два вектора х и у называются ортогональными (лгД. _|_з>), если (л:, у) = 0.
В случае численного пространства, элементами которого служат столбцовые матрицы, скалярное произведение опре деляется так:
(а, Ь) = Ь*а.
По аналогии с этим, наряду с общепринятым обозна чением скалярного произведения векторов пространства R — (лг, уі), мы будем пользоваться и другим условным обо
значением—у хх, |
полагая, что |
|
|
|
|
|
Здесь у х |
|
(х,у) = у хх. |
|
|
|
|
|
выступает |
в |
роли вектора, |
«сопряженного» |
вектору у. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойства 1)—5) при этом представляются так: |
|
1) |
|
у хх |
= (х,у) = |
(у Je) = х ху, |
|
|
|
2) |
|
у х (а х ) = (а х , у) = а (х, у) = |
ау хх, |
|
|
|
2') |
|
(ауі)хд; = |
(л:, а_у) = |
а(л:, _у) = |
а_ух.ѵ, |
|
|
|
3) |
z x |
( X + 31) = |
(х + y ,z ) |
= (х, z) + |
(у, Z) |
= |
2 Х ЛГ + |
z xy, |
3') |
(31 |
+ z)xx = |
{ X , у + |
z) = (лг, у) + (х, z) = |
у хх 4- |
г хл:, |
4) |
|
х хх |
= (х, х) > |
0, |
|
|
|
|
5) |
|
X х X |
= |
(лг, л:) > |
0 |
( X ф |
0). |
|
|
|
Длина вектора х равна
§ п |
М Е Т Р И З А Ц И Я В Е К Т О Р Н О Г О П Р О С Т Р А Н С Т В А |
325 |
а условие ортогональности векторов х и у принимает вид
у хх = Xху = 0.
Обозначая звездочкой переход к эрмитово сопряженной величине, отметим еще такое свойство:
|
(_ухлг)* = у хх |
= л:х_у. |
|
|
|
|
Пусть R — п-мерное унитарное пространство |
и |
g = |
= (ех |
е2...еп) — какой-нибудь |
базис в нем. |
Обозначим |
через X столбцовую матрицу, составленную |
из |
координат |
х2, |
..., хп вектора х, а через у — столбцовую матрицу, |
составленную из координат уѵ у2, ..., уп вектора у |
в этом |
базисе. |
Тогда |
у = %у. |
|
|
|
|
|
х = %х, |
|
|
|
(1.1) |
В силу свойств 1) — 4) |
|
|
|
|
|
|
У хх =(&у)хх =(I]eßi j л: =(JjУівх ^ X, |
|
|
или |
у хх = у*$хх, |
|
|
|
(1.2) |
|
|
|
|
где у* |
= (уху2 ...уп) — строчная |
матрица, |
эрмитово |
со |
пряженная столбцовой матрице у, а |
|
|
|
|
g x* =
Учитывая еще первое соотношение (1.1), из (1.2) находим
Здесь
tf' = g x g =
ех ех |
ех е2 .. |
ех еп |
— |
(«і. ех) |
= ехех |
ех е2 . .. |
ех еп |
(ех, е2) |
_ех ех |
ех е2 . |
|
- |
Леѵ еп) |
(е2, ех) .
(^2* ’
(^9> ^я) ■
■(е„, ех)
• (е„, е2)
>
■{еп, еп) _
3 2 6 |
К В А Д Р А Т И Ч Н Ы Е И Э Р М И Т О В Ы Ф ОРМ Ы |
[ГЛ . X I I I |
так что скалярное произведение (1.3) можно записать и в форме
|
|
П |
|
|
|
|
у хх |
= |
1] hikxiyk |
|
(hik = (et, ek) — ex et). |
(1.4) |
|
|
i,k=\ |
|
|
|
|
В частности, имеем |
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
лгхл' = |
2 |
к!кх(хк. |
(1.5) |
|
|
|
|
і,к=1 |
|
На основании свойства 1) эрмитовой метрики |
|
|
П |
Ын = |
ex eL= |
ex ek = hki. |
(1.6) |
|
|
|
hik = hkl (i,k = 1 , 2, |
|
Форма |
2 |
V * . |
еде |
..., n), |
i,k=[ |
|
|
|
|
|
называется эрмитовой формой; выражение, стоящее в правой части равенства (1.4), называется билинейной эр митовой формой. Таким образом, квадрат длины вектора
унитарного |
|
пространства представляется в виде эрмитовой |
формы его координат. |
|
|
Матрица |
|
Н эрмитовой (билинейной эрмитовой) формы |
в силу (1.6) |
является |
эрмитово сопряженной (эрмитовой), |
т. е. Н* = |
Н. |
|
|
|
Если базис g в R составлен из ортонормированных век |
торов elt е2, |
еп, т. е. таких, что |
|
|
|
|
I 0 при і Ф k, |
|
(е„ ek) |
8ik |
j j |
I — р |
(і, k = 1,2, . . . , /г), |
то в этом случае |
Н — диагональная |
(единичная) матрица |
и формы (1.4), (1.5) принимают вид |
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
у хх |
= (дг, у) = 2 |
Х (Уі, |
|
|
|
|
і=\ |
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
XхX ~ (X, х) = 2 |
I хі I2- |
|
|
|
|
;=і |
|
В следующем параграфе будет показано, что ортонорми рованный базис существует в каждом унитарном простран стве.
Если в качестве числового поля Зг принято поле вещест венных чисел, то метрика, удовлетворяющая условиям 1) — 5), называется евклидовой.
5 2] О Р Т О Н О Р М И Р О В А Н Н Ы Е БА ЗИ С Ы 3 2 7
Векторное пространство R над полем вещественных чичел с положительно определенной евклидовой метрикой на
зывается |
евклидовым пространством. |
|
|
В евклидовом пространстве скалярное произведение век |
торов X |
и у с координатами соответственно xt и yt (і = 1, |
2, |
п) |
представляется |
равенством |
|
|
|
|
П |
|
|
|
(х, у) = у хх = |
у'%х &х = 2 |
SikXilJk. |
|
|
|
i , k = |
I |
Здесь y' — строчная матрица, полученная из у транспониро
ванием, sik = ski (i, k = |
1, |
2, ..., n) — вещественные |
числа. |
В частности, |
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
(х, х ) = |
х хх |
= |
х '$ Х%Х = 2 |
SikXcXk. |
|
|
п |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
называется квадратичной формой |
Выражение |
2 |
|
|
i , k = \ |
|
|
|
п |
|
относительно х1г |
х2, |
|
|
|
sibXcxk |
..., х,г |
Квадратичной |
форме 2 |
а
отвечает билинейная форма 2 s,7;x,T/fc.
/,&=1
Квадрат длины вектора евклидова пространства пред ставляется в виде квадратичной формы его координат.
3 а м е ч а н и е. Из положительной определенности мет рик, введенных в унитарном и евклидовом пространствах, вытекает положительная определенность соответствующих эрмитовых и квадратичных форм, т. е.
**gx g x > 0 |
и |
* 'g x g * > 0 |
(знаки равенств имеют место только при х — 0).
§2. Ортонормированные базисы в унитарном
иевклидовом пространствах
Здесь мы покажем, что как в унитарном, так и в евкли довом пространстве имеется ортогональный базис, т. е. та кая система векторов elt е2, еп (п — размерность прост ранства), что
|
(ß(i вк) |
— 0 |
при |
і Ф k, |
(2 . 1) |
|
Ф 0 |
при |
і — k. |
|
|
|
3 2 8 К В А Д Р А Т И Ч Н Ы Е И Э Р М И Т О В Ы Ф ОРМ Ы [ГЛ. X I I I
Заметим, что векторы, обладающие свойством (2.1), линей но независимы. В самом деле, равенство
а і^ і |
+ |
• • • “f- |
~ О |
|
возможно только тогда, когда |
а х = |
а2 = ... = |
а„ = 0, так |
как по умножении этого |
равенства |
скалярію, |
например, |
на ек получаем в силу (2.1) ак(ек, ек) — 0, откуда ак = 0. Доказательством существования ортогонального базиса в рассматриваемых пространствах может служить приво
димый ниже процесс ортогонализации*), который позволяет из данных п линейно независимых векторов построить п попарно ортогональных векторов.
Пусть g = (gv g 2, |
g n) — какой-нибудь базис в про |
странстве (унитарном или евклидовом). |
.... е„, |
Построим систему ненулевых векторов еѵ е2, |
удовлетворяющих условию (2.1). Положим |
|
«1 = Sv |
|
|
ег — S* + Уи^ѵ |
|
/су |
е п — S n + Yln^l + ••• + У п — \п&п—1-
Условие (2.1) приводит к следующим выражениям для чи
|
сел |
уа: |
|
|
|
У Ч |
(gj,еі) |
(i= 1,2, |
1; / = 2, 3, . . ., n). |
|
(е>. ei) |
|
|
|
(2.3) |
|
|
|
|
Соотношения (2.2), (2.3) позволяют последовательно строить взаимно ортогональные векторы еѵ е2, ..., еп, что и подтверждает существование в R ортогонального базиса.
Равенства (2.2) можно записать в виде матричного соот ношения
g = & + |
g r, |
|
|
где |
|
|
|
0 712 Yis ••• Ym |
0 |
0 |
723 •.•• |
72п |
g ( & 1 & Я • • ■ & п ) > |
|
|
|
0 |
0 |
0 ..• |
У п — \п |
0 |
0 |
0 ... |
0 |
*) Этот |
процесс ортогонализации в иных обозначениях приведен |
и в § б гл. |
VIII. |
§ 3] Л И Н Е Й Н Ы Е О П Е Р А Т О Р Ы В У Н И Т А Р Н О М П РОСТРАН СТВЕ 3 2 9
Отсюда
%= $ (Е п - Г)
(Еп —-единичная матрица порядка п).
От ортогонального базиса g можно перейти к ортонор мированному базису путем умножения g справа на диаго нальную матрицу
Таким образом, в унитарном (евклидовом) простран стве существует и ортогональный и ортонормированный базис.
§3. Линейные операторы в унитарном пространстве
3.1.Сопряженный оператор. Если для любых векторов X и у из унитарного пространства между линейными опе раторами А и В в R выполняется соотношение
(Ах, у) = (х, By),
то оператор В называется сопряженным по отношению к оператору А.
Оператор, сопряженный оператору А, обозначается че рез А*.
Каждому линейному оператору А отвечает единствен
ный сопряженный А*. Покажем это. |
(ег е2...еп). |
Выберем в R ортогональный базис g = |
Если В — линейный оператор в R, то для произвольного |
вектора у из R справедливо соотношение |
|
П |
(3.1) |
By = 2 1 {By, ek) ек |
Всамом деле, имея в виду, что В — матрица оператора
Вв базисе g, Bv В2, ..., Вп — строки матрицы В, а у — столб цовая матрица координат уг, уг, ..., уп вектора у в том же
базисе, получаем
п |
п |
By = В&у = g By = 2 |
ekBky = 2 Bkyek (3.2) |
fe=i |
fc=i |
