книги из ГПНТБ / Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем

Умножим первое равенство на вектор g lt а второе на вектор gj. Получим, учитывая, что векторы g lt g 2, ..., g k нор­ мированы и попарно ортогональны:

(gp Agt) = (Ag,, gi) = (gi} Agj)

и

cll — Cij,

что и доказывает соотношение (4.4).

Алгебраическое уравнение степени k с вещественными коэффициентами имеет k корней, среди которых могут быть как вещественные, так и комплексные числа, причем комп­ лексные корни, если таковые имеются, выступают в виде пар комплексно сопряженных чисел.

Покажем, что алгебраическое уравнение (4.3) имеет толь­ ко вещественные корни.

Допустим противное, а именно, пусть уравнение (4.3) имеет комплексный корень ^0. Тогда среди корней этого

уравнения имеется и корень Ä.0, комплексно сопряженный корню Х0.

Систему (4.2) для удобства последующего изложения

$ 4] Л И Н Е Й Н Ы Е О П Е Р А Т О Р Ы В Е В К Л И Д О В О М П Р О С Т Р А Н С Т В Е 341

Тогда решение системы (4.5) при X = Х0 представится столбцовой матрицей

Умножим (4.6) слева на транспонированную матрицу

Хо:

XQ С х 0 = ^ оХо-'-О-

Здесь х0х0 — вещественное число. Вещественным является также скаляр х0Схо, так как

х0Сх0= (х0Сх0У — хоСх0 = ХоСхй

(С — С). Но тогда Х0, как отношение двух вещественных

ского уравнения (4.3) вещественны. Пусть Х0— корень этого уравнения. При X = Х0 система (4.2) имеет ненулевое реше­

ние х°, х°, ..., х°к, которое к тому же, будучи решением алгебраической системы с вещественными коэффициентами, вещественно. Лемма доказана.

Л е м м а 4.2. Пусть А — симметрический оператор в п-мерном евклидовом пространстве R, а е — его собствен­ ный вектор. Тогда совокупность Rx векторов х, ортогональ­ ных к е, есть (п — 1 )-мерное подпространство, инвариант­ ное относительно оператора А.

Д о к а з а т е л ь с т в о леммы 4.2 подобно доказатель­ ству леммы 3.3.

С помощью приведенных лемм легко устанавливаются и следующие теоремы (аналогичные теоремам 3.1 и 3.2).

Т е о р е м а 4.1. В п-мерном евклидовом пространстве R существует п попарно ортогональных собственных векто­ ров симметрического оператора А . Соответствующие собст­ венные значения вещественны.

З а м е ч а н и е . Если ортонормированную систему соб­ ственных векторов симметрического оператора А в евкли­ довом пространстве принять в качестве базиса этого про­ странства, то матрица оператора А будет иметь диагональ­ ный вид, причем диагональными элементами будут служить собственные значения оператора А.

Т е о р е м а 4.2. Для того чтобы оператор А в евкли­ довом пространстве R был симметрическим, необходимо и достаточно, чтобы существовал ортогональный базис, в котором матрица оператора диагональна и вещественна.

Наконец, отметим еще одно свойство собственных век­ торов симметрического оператора, аналогичное свойству собственных векторов эрмитова оператора в унитарном про­ странстве: собственные векторы симметрического опера­ тора, отвечающие различным собственным значениям, орто­ гональны.

Если I О I = 1, то О называется ортогональным операто­ ром первого рода; если же | 0 | = —1, — ортогональным оператором второго рода.

Свойства ортогональных операторов в евклидовом про­ странстве аналогичны свойствам унитарных операторов в

Если О — матрица ортогонального оператора в ортонор- • мированном базисе, то

Матрица О, обладающая свойством (4.8), называется ортогональной матрицей. Значит, ортогональному операто­ ру в ортонормированном базисе отвечает ортогональная матрица.

Для того чтобы оператор О был ортогональным, необхо­ димо и достаточно, чтобы он переводил какой-нибудь орто­ нормированный базис в R снова в ортонормированный базис.

§ 5] К В А Д Р А Т И Ч Н Ы Е Ф О Р М Ы 3 4 3

Так как матрица ортогонального оператора в ортонорми­ рованием базисе является ортогональной, а переход от ортонормированного базиса к другому ортонормированному ба­ зису совершается ортогональным преобразованием, то мат­ рица перехода от одного ортонормированного базиса к дру­ гому ортонормированному базису является ортогональной матрицей.

Согласно теореме 4.2 в пространстве R существует орто­ нормированный базис g = (ех е2 ...еп), в котором матрица оператора А диагональна и вещественна. Обозначим эту матрицу через Л. Тогда

Далее, существует ортогональная матрица О, которая преобразует ортонормированный базис g в ортонормирован­ ный базис

Подставляя (4.11) в (4.9), получаем А% = %ОАО~1. Сравнивая последнее соотношение с (4.10), находим

Л= ОАО~1= ОАО'.

Всоответствии с этим имеем также

А= СГ'ЛО = О'ЛО.

Из подобия матриц Л и Л следует, что диагональными элементами матрицы Л служат собственные значения матри­ цы А.

§ 5. Квадратичные формы

Пусть А — симметрический оператор в я-мерном евк­ лидовом пространстве R, а А — матрица этого оператора в некотором ортонормированном базисе g = {еу е2 ... еп). Матрица симметрического оператора в ортонормированном базисе симметрична (А = А ’).

удовлетворяет тождеству

[Ах, у) = (х, Ау).

Учитывая, что

= gx, у -- gу,

где хм у — столбцовые матрицы, составленные из коорди­ нат векторов X и у соответственно, получаем

аік = (Ае(, ek) = (е{, Aek) = (Aek, et) = aki.

Квадратичной формой называется однородный много­ член второй степени над полем вещественных чисел отно­ сительно переменных xlt х2, хп. Любую квадратичную форму от п переменных хі можно представить в виде

П

21 aikXcxk, i,k=1

где aik = akl (i, k — 1, 2, n), a в соответствии с (5.2) эту квадратичную форму можно рассматривать как скаляр­ ное произведение векторов А х и х , где Л — некоторый сим­ метрический оператор в n-мерном евклидовом пространстве.

П

Билинейную форму 21 aikxilJk можно трактовать как скалярное произведение векторов Л л: и у.

АЪ = ѢА.

Определитель матрицы А — det А — называется диск­ риминантом квадратичной формы А (х, х). Если дискри­ минант равен нулю, то форма называется сингулярной.

5.1. Замена переменных. В формах (5.3) и (5.4) произ­ ведем замену переменных:

. Матрица А преобразованной формы также является симметрической матрицей.

Если Т — невырожденная матрица, то ранг матрицы формы при замене переменных (5.5), как это видно из (5.6), не меняется.

Две симметрические матрицы А и А, связанные друг с другом равенством (5.6), в котором det Т ф 0, называются конгруэнтными. С каждой квадратичной формой связан целый класс конгруэнтных матриц. Все матрицы данного класса имеют один и тот же ранг, которому равен по опре­ делению ранг соответствующей формы.

5.2. Закон инерции. Допустим, что квадратичная форма

— независимые линейные формы от переменных хѵ х2, .... хп

(элементов столбцовой матрицы х). Обозначим

dt = {dndi2... din).

Тогда замену переменных (5.9) молено записать так:

I = Dx.

из г линейно независимых строк dlt d2, ..., dr). Ранг диаго­ нальной матрицы А типа г х г также равен г (так как все диагональные элементы отличны от нуля). В этих усло­ виях ранг матрицы D'AD равен числу г. Отсюда в силу ра­ венства (5.11) может быть сформулирован следующий вывод: число квадратов в представлении (5.8) всегда равно рангу формы. Более того, имеет место

квадратичной формы А (х, х) в виде суммы квадратов:

висимые линейные формы от переменных хг, х2, ..., хп, число положительных квадратов и число отрицательных квадра­ тов не зависит от способа приведения формы к указанному виду.

2 K é < o ,

А-Н

Будем рассматривать матрицу А как матрицу некоторо­ го симметрического оператора А в некотором ортонорми­

базисе g. Векторы базиса определяют направления осей координат в пространстве R. Поворот осей координат опре­ деляется ортогональным преобразованием

g = $0-

Новые оси являются осями симметрии центральной по­ верхности (5.15). Оси симметрии поверхности обычно назы­ ваются главными осями.

В связи с этим приведение квадратичной формы А (х,х) посредством ортогонального преобразования к канониче­ ской форме (5.14) называется приведением к главным осям.

Из (5.14) следует, что ранг г формы А (х, х) равен числу не равных нулю собственных значений матрицы А.

Вещественная квадратичная форма А (х, х) называется

неотрицательной (положительно определенной), если при любых значениях переменных А (х, х) >• 0 (А (х, х) > 0, X =5^ 0). Аналогичным образом определяются неположитель­ ные (отрицательно определенные) квадратичные формы.

Из (5.14) видно, что вещественная квадратичная форма А (х, х) является неотрицательной (положительно опреде­ ленной) в том и только в том случае, когда все собственные значения матрицы неотрицательны (положительны).

Наконец, соотношение (5.14) позволяет получить сле­ дующие важные неравенства. Обозначим через А,тах и Я,тіп