Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

17.28 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 4426 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

250	АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАСЩ ЕПЛЕНИЕ								(ГЛ. IX
Умножим	равенства			(4.13) слева соответственно на Еп,
U, ..., Uk°~2,	Uk < r ~	1и		сложим.	Получим,			учитывая еще,
что а™ е= а ja (/ =		1	,	2.......ka)\
фа (U) ^								+	а£]_ Іаи	+
где				+	4 kolE n) i 0a]a +				d[k~ '\	(4.14)
где					+ U d^		+ d\ka-'\
=				. . .	+ U d^		+ d\ka-'\
Пользуясь соотношениями (1.2), равенство (4.14) можно
преобразовать к виду
Фа (А) QCT*]=			-	М К с£ о С Х ,[ак] +		M	d ^ ;			(4.15)
здесь
QLak]=	Ml[kol,		&а = ( А ^ ' й а А			^ й	а	. . . ав),

Равенство (4.15) распадается на р независимых матрич ных соотношений

	фа (As)	=	-	М , К Л о ^ + м		/ к~']	(4.16)
		(s =	1	, 2.......... р),
где QJC = M6l\kJQ— субматрица					матрицы	Q[k] с	размера
ми ks X 1 .					МаКа = Eka• Поэтому из
При	s = а фа (Ас) =			0, a	МаКа = Eka• Поэтому из
(4.16)	получаем	é£aaik^ =		Madlak~^.
Как	нетрудно	проверить, 9ta — невырожденная матри
ца (det	= 1 ), так что последнее равенство разрешимо от

носительно ОСа4 :

При s Ф er MsKc = 0, а ера (As) в силу условия б) тео ремы— невырожденная матрица. Учитывая это, из (4.16) находим

Qso^ = фа 1(A,) M sla 1].

(4.17)


§ 4]	РАСЩ ЕПЛЕНИЕ НЕОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ		251
Формула (4.17) определяет все субматрицы блочной мат
рицы Q	o кроме одной —	Из вышеизложенного ясно,

что в качестве QÜfa может быть принята произвольная мат рица типа ka X 1 , имеющая производные по т всех по

рядков. В частности, можно принять

= 0.

Таким образом, матрица Q[CTfc] определяется полностью.

Через эту матрицу последний столбец матрицы								выра
жается так:	Е& = KQlk].
	Е& = KQlk].
Остальные столбцы матрицы					(\|j£Li „, ...,			опре
деляются соотношениями		(4.13).
Остается указать	способ построения					членов разложений
матриц Ма (т, е) и R (т,		е),	обращающих				равенство (4.9)
в тождество.							(4.10) выполня
Как показано в гл. VIII, § 2, равенство							(4.10) выполня
ется тождественно относительно				е,	если квадратную мат
рицу	Г-	оо
	Г-	оо		(т)
	М =	V		(т)
		*=о
и члены разложения	матрицы		R (т, е)			определить		форму
лами			k		Лк-Ч
уи[0] = м,	M W =		k	г"	Лк-Ч
уи[0] = м,	M W =		2	кіп м1
			і=	1				(4.18)
				—1				(4.18)
Ra =				—1		Ai Rfc-
Ra =	Rk = — АГ 2					Ai Rfc-
Здесь					і=\
Здесь
КѴ] =		(К\п . . . Kf),
		(іw{4N

M W =

\м ™

Полученные соотношения позволяют последовательно определить члены разложения (4.7), посредством которых представляется формальное решение системы (4.3) в форме (4.5) — (4.6). Тем самым теорема доказана.

2 5 2

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАСЩ ЕПЛЕНИЕ

ГГЛ IX

Аналогичным путем доказывается

Те о р е м а 4.2. Пусть на сегменте [О, L] а) матрицы

А£ (т), Вк (г) (k = О, 1,2, ...) имеют производные по т всех порядков, а А0 (т), кроме того, является невырожденной

матрицей;			б)	собственные значения			матрицы		U (т)	=
=	А ^ 1(г) В0 (т)			разбиты		на р групп		А,(а), ...,	(а	=
			р
=	1,	р\	^ k a =		ft) при	условии (4.4);		в) соответствую-
«<«<?		з/?шлг	О — 1		подпространства		R lt	R 2.......R p явля
			группам

ются инвариантными и циклическими подпространствами r.-мерного пространства R относительно линейного опе ратора U,которому в некотором базисе отвечает матрица U. Тогда формальное решение системы (4.3) может быть представлено равенствами

	р	~
-г =	Уі	Ко (т, е) уа,	(4.19)
diJtr	а=1
diJtr	~	~	(4.20)
- f t - = Аа ( Г , е) у0 + м„ (т, е) R (т, е) / (t, т, е),			(4.20)

где До, Ла, Ма, R — матрицы тшіа соответственно n x k a,

ka X k-a, ka X		ft, n X ft, представленные формальными ря
дами
Ka (т, 8 )=,	2	е*Д^] (т),	Л.а (т, в) =	2	(т),
	*=о			fc=	0
					(4.21)
Л4а (т, е) =	2	е*/И™ (г),	Я (т, е) =	£	еЯ (т),
	*=о			* =	0

причем

Л ^ =

есть матрица типа (4.2), а

„ W	—'		„ т
	Ö	■	— a ko—Ier	— “Ааа
1	ЧІС	■	— a ko—Ier	— “Ааа
0	0		0	0
0	•О		0	•О
0			0

Члены рядов (4.21) в данном случае определяются сле дующими рекуррентными соотношениями:

а$]==а/0

( / = 1 ..........

ka),

4 'г] = £ 7 'м А к~ '\

§ Б] П Р И Б Л И Ж Е Н Н О Е Р Е Ш Е Н И Е С И СТ Е М Ы 2 5 3

где

r i]

u k° - xd\’r

' ]

/ыО'-і]

L / -

' ]

/д*0

“'

л ka-2

причем

**--о — (A<j

CIQA(j

■ ■

ß a ) ,

Сб2и • •

• —

aha~la

0;CTcC

/ — Сію

а *о

Arr =

Ag4 *

... ,

(СТ=

1,2,

р),

(

аа

,I ■

(Заметим

попутно,

что здесь

det èßa =

(—l ) 2*°(*a ! .)

Столбцы матрицы / <

( [ , *

1определяются так.

Первый

столбец

Йа] =

KQla ] =

A . Ä

где

Qsa] =

Фа' (As) MsІ=Дl

* " 1]

(S * <T),

а Qoa — произвольная матрица типа ka x 1 , имеющая про изводные по т всех порядков. Остальные столбцы матрицы

К™ определяются формулами

	S/a	— 0'S/— la I, a,ДЧ/— laëia		-к r/[0],—loSla?[fe]— “ /—laт1]
	t W	- п ъ	Ш	~T a i	н 1к
				~T a i
			(/ — 2,3,	. . . , &a)-
Что касается			членов разложений		матриц М а и R, то
для	них остаются в силе соотношения				(4.18), имея в виду,
что	/<1 ‘ 1 построены по соответствующим формулам.
§ 5.	Приближенное решение системы

Вектор (столбцовую матрицу) хт (/, е), определенный равенствами (4.5) и (4.6) (или (4.19)и (4.20)) в предположении, что в разложениях (4.7) (соответственно (4.21)) оставлены лишь члены порядка не выше т относительно е, назовем приближенным решением системы (4.3). Итак, приближен-

2 5 4 АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАСЩ ЕП Л ЕН И Е [ГЛ. IX

ное решение представляется равенствами

			(t, е) -	У,	/(Г 1 (т, г)уіт\
				( 7 = 1
di	Ааш) (т,		е) (/а"	1-f Маш) (т,		е) /?(п,) (т, е) / (/, т, е),
di
где		т
№ (т, е) =		т			Лат) (т, е) =		*=о e"Aafc] (г),
№ (т, е) =		S	е* /^'] (т),		Лат) (т, е) =		*=о e"Aafc] (г),
		m
М'Г» (т, в) =		S	е‘л4 ч (т),		Я1"	1(*, е) =	S е/? (т).
		k—0					ft=0
З а м е ч а н и е . Для				построения приближенного реше

ния условия дифференцируемости матриц Аѵ, Вѵ, сформули рованные в теоремах 4.1 и 4.2, могут быть ослаблены: для

формального		построения	приближенного решения хт до
статочно существования лишь первых т — ѵ					производных
матриц Аѵ и ß v (ѵ < m).					т) имеют на
При условии, что матрицы Ач и Вѵ (ѵ С
[О, L] производные по т до (т — ѵ +				1)-го порядка вклю
чительно,	а f	(/, т, е) — непрерывная		вектор-функция, ре
гулярная	относительно е		в окрестности точки е = 0 , име

ют место следующие оценки для приближенного решения

хт (см. Приложение).				то существуют		такие Ej >		0 и по
Если X (0) =			хт (0),	то существуют		такие Ej >		0 и по
стоянные	ст	>	0 еа >	0 (е2 £	(0 , ej),	что	для	всех t £
e U i .	с : [ 0 ,	L/ea] \|\|x — xm\|\| <			cmem+'	( e	< e a ) .
Если,	помимо сделанных выше предположений, все соб

ственные значения эрмитовой матрицы 1/2 (A -f А*) не положительны, то

\Х— *m\|\|< c meт— 1		е б (0 , еО, t € 0 , —
				’ 8
В случае однородной системы (/1== 0) имеет место оценка
и -	т			гг), t e
Х ~ xm\|\|< c m	6
Последняя оценка остается в силе и для приближенного
решения однородной	системы,		представленного в форме
(3.30), (3.31).		е	(о,
Приведенные оценки свидетельствуют об асимптотиче
ском характере построенных		приближенных решений.

Рис. ЮЛ.

Г л а в а X

ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

В теории линейных систем автоматического управления широко используются некоторые характеристики систем, которые, являясь носителями довольно полной информации о свойствах системы, оказываются очень удобными при ана лизе процессов в систе ме и, в частности, при определении реакций си стемы на те или иные входные воздействия.

Настоящая глава посвя щается такого рода характеристикам многомерной линей

ной системы (рис.- 1		0.1 ), процессы в которой описываются
уравнением
А (t)	=	В (t) X +	Н (I) и,	det А ФО,	(0.1)
где X — матрица	выходных		сигналов	хг, х2.......хп	(столб

цовая матрица с размерами п х 1 ); и — матрица входных

сигналов иъ	иг, ..., ut	(столбцовая матрица с размерами
/ X 1); А, В,	Н — матрицы динамических		коэффициентов
системы с размерами п		х /г, п х п и п х /	соответственно.

§ 1. Единичная ступенчатая функция и дельта-функция

Ступенчатой функцией действительной переменной на зывается функция, значение которой изменяется только в дискретной последовательности точек разрыва первого рода. Часто используемой в приложениях ступенчатой функцией

2 5 6

Д И Н А М И Ч Е С К И Е Х А Р А К Т Е Р И С Т И К И СИ СТЕ М

[ГЛ . X

является симметричная единичная функция

Опри г < О,

1(2) = 1/2	при	z = О,	(1.1)
1	при	г > О.

График этой функции изображен на рис. 10.2.

Дельта-функция Дирака, или симметричная единичная импульсная функция б (а) действительной переменной г, определяется условиями

				при	t £ [a, b\
ь	~rf<t +	0 )		при	t = а,
	- i - n t - O )			при t = b,
	- r l U t - 0 ) +	n t	0)]	при	t £ (a, b),
					( 1.2)

где а <^b, а /(z) —произвольная функция, являющаяся в окрестности точки z = t функцией ограниченной вариации.

Для произвольных функций f (z), непрерывных в точке z — t, в частности, имеем

		0	при	/£	[а, Ь\,
J f ß ) ö ( S - O d £ =	-5-/(0		при	/ =	а и t = Ь,	(1.3)
	-5-/(0		при	t £ (а, Ь).
	.	/(0	при	t £ (а, Ь).
Полагая / (z) == 1, из		условий (1.3)			получаем	следую
щие свойства дельта-функции:			СО
			СО
&(г) = 0 ( г ф 0 ) ,			J 6 ( £ ) d \|= l ,			(1.4)

которые часто принимаются в качестве определения дель та-функции.

Среди функций, понимаемых в обычном смысле, нет функций со свойствами (1.4), б (z) является символической (обобщенной) функцией, с помощью которой функциональ ное преобразование / (£) / (/) формально можно пред

5 1.1 Е Д И Н И Ч Н А Я СТУПЕНЧАТАЯ Ф УНКЦИ Я 257

ставить как интегральное преобразование. Формальное применение дельта-функции приводит к удобным построе ниям, позволяющим получить обобщения многих матема тических соотношений, ко торые, однако, вообще го воря, нуждаются в стро гих обоснованиях. Мы здесь не будем касаться вопросов обоснования при меняемых далее операций с использованием дельтафуикции, отсылая читателя к монографиям, в которых более детально рассмотре

ны применения дельта-функции Дирака в теории линейных

систем (см., например,		[17, 37, 46]).
Производные 6'	(г),	6" (z), ..., б (.о (г),... дельта-функ
ции определяются	условиями
ь	=
J / © 6	=

			0			при	t£[a, b],
		( ~	i y - L f {r) (t +		о)	при	t=	а,
		( - 1				при	t =	b,	(1.5)

( - 1	Y-z-lflr)(t-o) + fir)(t+ o)]					при	t£(a,b),
где а <; Ь,		а	f (z) — произвольная			функция,		производ
ная /(г) (z)		которой имеет односторонние пределы fW (t — 0)
и /('1 (t -f- 0). Соотношения					(1.5) могут быть		получены пу
тем /"-кратного			формального интегрирования					по	частям
с учетом (1.2) и (1.4).						производные f<r)
Для	произвольных			функций / (z),						(z)
которых	в точке z = t			непрерывны, в частности, имеем
b					0	при	/е	[а,	Ь],
\ f { £)бИ			=			при	t =	а	и t =	ь,
а				(— i)7(n (t)		при	і£(а,Ь). (1.6)

В К. А. Абгаряк

2 5 8

Д И Н А М И Ч Е С К И Е Х А Р А К Т Е Р И С Т И К И СИ СТЕ М

[ГЛ . X

Согласно приведенным соотношениям в случае совпаде ния одного пз пределов интегрирования с моментом дейст вия дельта-функции t перед функцией /<г) (/) (г = 0, 1,2, ...) в правых частях соотношений появляется коэффициент 1/2. Это является следствием того, что как дельта-функция, так и ее производные обладают симметрией относительно мо мента t. Однако в большинстве случаев, связанных с прак тическим применением, коэффициент 1/2 опускают, пред полагая такое расширение пределов интегрирования, при котором импульс целиком оказывается в интервале интегри рования. Следуя этому, мы также будем считать, что

ь		о dl =	ь		б('> (g - t ) d l = ( - 1)7И (t)
J / ©	6м (g -	о dl =	(	/ ©	б('> (g - t ) d l = ( - 1)7И (t)
i			t-	О
и			(+0
I			(+0		б('>(g— t)dl= (- 1)7И (О.
J /©	б(г)(g-	f)dg =	J /©		б('>(g— t)dl= (- 1)7И (О.
а			а

Связь между дельта-функцией б (z) и единичной функ цией 1 (z) представляется символическим соотношением

с / \	d l (z)
б <г) =	Т ^ ’

которое легко устанавливается, например, с помощью пре образования Лапласа:

	© о
б (t -	g) = Zr'L [б (/ - g)] = L - 1{ б (/ -	g) e~ptdt =
=	L-1 [e-5p] = ZT1{pL [1 (/ - g)]} =	L-'L[ 1' (/ -	g)] =

= 1 '( '- £ ) • П р и м е ч а н и е . Все соотношения настоящего пара графа сохраняют свой внешний вид и в том случае, когда вместо скалярной функции / (z) стоит прямоугольная мат рица, элементами которой служат скалярные функции с

соответствующими свойствами.

§ 2. Реакция системы на входной сигнал в виде дельта-функции. Импульсная переходная функция

Реакцию предварительно невозбужденной системы на входной сигнал в виде дельта-функции принято называть

импульсной переходной функцией (иногда эту реакцию называют весовой функцией). Допустим, что на /-й вход пред

ä 2] Р Е А К Ц И Я С И С Т Е М Ы НА В Х О Д Н О Й С И Г Н А Л 2 5 9

варительно невозбужденной системы подается сигнал в ви де дельта-функции б (t — 0. На і-м выходе появится выход ной сигнал— импульсная переходная функция, которую обозначим через gtj (t, g). Сигнал в виде дельта-функции,

поданный

на /-й вход, вызовет

на разных

выходах систе

мы, вообще говоря, разные сигналы gp

(t, £), g2j {t, £), . . .

gni

W- С другой

стороны,

сигналы

в виде дельта

функции,

поданные на

разные

входы,

вызовут

на одном

и том же

(например, і-м) выходе разные

выходные

сиг

налы

(t, l),

gi2 (t,

g) , ...,gu (t,

Многомерная

ли

нейная система с I входами и п выходами

характеризует

ся пі

импульсными переходными функциями

gii(t,l)

(і = 1,2, . . . .

п-

j =

1,2,

Эти функции удобно собрать

в одну

матрицу

G (t,

£)

размерами п х

£п(*.Ѳ g ^

l )

gu(t, 5)

gl1 (С i)

g22

g2l (С І)

g,a(t,t)

gn2(t,&

gm{t,l)J

Столбцы матрицы G (t,

£)

обозначим

через

(t,

£):

Каждый такой столбец представляет собой набор им пульсных переходных функций по всем выходам системы, отвечающий какому-нибудь ее входу.

Выходные сигналы не могут появиться раньше, чем бу дет приложен входной сигнал, поэтому в реальных систе мах

g u { tl) = 0 при t < t

Это свойство реальных систем принято называть усло вием физической осуществимости или физической реализуе мости системы.

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 4426 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
03.11.20234.21 Mб38ba0501.djvu
#
10.05.2024227.33 Кб9Panel.doc
#
29.10.202310.49 Mб19Pushkov N.V. Quiet Sun.pdf
#
29.10.20232.39 Mб9А. А. Якубов библиография.pdf
#
03.11.20232.9 Mб61А.В.Никонов, Л.З.Папернов. - Измерители уровня звуковых сигналов-Радио и связь (1981).djvu
#
25.10.202317.28 Mб97Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf
#
19.10.20232.3 Mб61Абдуллаев, Я. Р. Электромагнитные устройства с индукционной подвеской учебное пособие.pdf
#
25.10.202315.35 Mб72Абелев М.Ю. Слабые водонасыщенные глинистые грунты как основания сооружений 8-й междунар. конгресс по механике грунтов и фундаментостроению.pdf
#
20.10.20237.92 Mб60Абжирко, Н. Н. Влияние вибрации на характеристики радиолокационных антенн.pdf
#
23.10.20236.9 Mб51Абовский Н.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек учеб. пособие.pdf
#
29.10.20232.32 Mб67Абраменко Б.С. Сборник задач по теоретическим основам эксплуатации радиотехнических средств.pdf