Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

17.28 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 4432 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 > Следующая >>>

310 К А Н О Н И Ч Е С К И Е Ф ОРМ Ы У Р А В Н Е Н И Й [ГЛ. X I I

с субматрицами ха, сса, р0		типа соответственно			п х ко,
ко X ка, кс X it такие, что
и =	XCtp =	2 «оССаМ-о			(1.4)
		0=1		s = а,
хр = рх =	Еп,	МаХ5		s = а,	(1.5)
хр = рх =	Еп,	МаХ5	о	s =£ а.	(1.5)
			о	s =£ а.

Предполагая, что собственные значения матрицы и раз биты на р групп при условии (1.3), произведем замену пе ременных

	(
q = xz,	г =		(1.6)
	V
Тогда однородная система
L0^	+ L « = 0		(1.7)
преобразуется в расщепленную систему
d-zn			( 1.8)
dt- 4 - ctoZo = 0	(а = 1 , 2 , . . . ,	р).	( 1.8)
Здесь а0 и za — матрицы	соответственно	типа	ka X k0

иАа X 1.

Всамом деле, подставим (1.6) в (1.7), предварительно

умножив обе части этого равенства слева на		Получим
dh	uxz — 0 .	(1.9)
X dt2
Но, как это следует из (1.4) и (1.5),
их = ха.
Поэтому, умножив (1.9) слева на р, будем иметь
d2z	п
ж + аг = 0.

В силу квазидиагональной структуры матрицы а последнее равенство распадается на р не связанных друг с другом со отношений (1 .8 ).

Если матрица и имеет простую структуру, то указанным путем можно реализовать полное расщепление системы,

§ и	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИСТЕМЫ У Р А В Н Е Н И И		311
разбивая	собственные значения матрицы и на п групп (по
одному собственному значению в каждой группе). При			этом
расщепленная система (1 .8		) имеет вид
	d?“2	(a = 1 , 2 , . . . , n).	(1 .1 0)
	~t~ vazo — 0

В частности, и имеет простую структуру, если L0 и L2 — симметрические матрицы. В этом случае, можно показать *),

собственные значения ѵа (а —	1 , 2 ,	...,	п) — вещественные
числа. В соответствии с этим, если		ѵа >• 0,		то координата
z0 совершает гармонические	колебания		с	частотой V ѵст;

при ѵ0 = 0 координата za изменяется по линейному зако ну. Наконец, при ѵа < 0 za представляется в виде линей

ной комбинации функций ехр (і7 ѵ0/) и ехр (— (/ѵ„/). Уравнением вида (1.7) описываются и малые собствен

ные колебания механической системы без трения. При этом L0 и L2 — симметрические матрицы, а все собственные зна

чения л>0 матрицы L(r'L2 — положительные числа (см., на пример, [47]). Элементами матрицы q служат некоторые об общенные координаты системы qv q2, ..., qn. Согласно (1.6) каждая из обобщенных координат qa есть линейная комби нация координат z0 (a = 1 , .......2 /г), именуемых в механике

нормальными координатами механической системы. В отли чие от других обобщенных координат, каждая из нормаль ных координат удовлетворяет отдельному уравнению вто

рого порядка

fczn

---Н VCJZO — 0 .

Как отмечалось выше, при ѵ„ > 0 координата za совер

шает гармонические колебания с частотой V ѵа. Эта часто та колебания нормальной координаты называется нормаль ной или собственной частотой. В связи с этим операцию приведения уравнения (1.7) к виду (1.10) называют преобра зованием системы к нормальным координатам.

1.2.	Неоднородная	система. Замена переменных (1.6)
в предположении, что собственные значения матрицы и
разбиты на р групп при условии (1.3), приводит неоднород
ную систему
	Lo	-Ь І-гЯ = Ф W

*) См. гл . X III .

312 К А Н О Н И Ч Е С К И Е Ф ОРМ Ы У Р А В Н Е Н И Й [ГЛ. X II

к расщепленному виду:		_1
d?zö
- f i r - + a ° z° = М		* ф (ст =	1, 2, . .. , р ) .
Если все собственные значения матрицы и просты, то,
разбивая	их на п групп (по одному собственному значению
в каждой	группе), будем	иметь а	в форме диагональной

матрицы, по диагонали которой расположены собственные

значения ѵх,	ѵ„. В соответствии		с этим расщепленная
система примет вид
d'-za	_ \|	(а =	1 , 2 , . . . , п).
- ^ Г +	VaZo = Цаіо ф

§ 2. Формальные преобразования нестационарной системы

Взамен системы (0.1) рассмотрим систему более общего вида:

Lo(т>е) "тр" + eLi (т>е) ^ “ + L 2К	е) q = Ф	(т = si).
		(2 . 1)
Поскольку система (2.1) при е =	1 совпадает с системой

(0 .1 ), то всякие формальные преобразования системы (2 .1 ), тождественные по е, можно немедленно перенести на систе му (0.1), придав параметру е значение 1. Присутствие мно

жителя е при слагаемом L		X(T ,	е)	в левой части системы
(2 .1 )	не мешает построению этим			путем формального реше
ния	системы (0 .1 ), какова	бы	ни	была матрица Lx (т, е).

Иное дело, если речь идет о приближенном решении системы,

построенном по формальному решению. В этом случае				при
ближенное решение	будет представлять	точное с погреш
ностью тем меньшей,	чем «меньше» матрица Lx (т,		е)	(т. е.
чем меньше по модулю элементы матрицы		Lx (т,	е)).	Если

Lx (т, е) нельзя рассматривать как «малую матрицу, то для построения соответствующего приближенного решения сле довало бы использовать формальное решение системы

Lo (т, е) + Lx(т, е) + U (т, е) q = ф. (2 .2 )

Построение формального решения системы (2.2), как и ее преобразование к расщепленному виду,— задача более сложная, чем для системы (2.1). Мы здесь ограничимся

§ 2] Ф О Р М А Л Ь Н Ы Е П Р Е О Б Р А З О В А Н И Я 3 1 3

указанием лишь путей расщепления уравнения (2 .2 ), не вда ваясь в детали.

Прежде всего, подобно системе с постоянными коэффи циентами, здесь тоже можно исключить слагаете, содер жащее dq/dt. Так, замена переменных

q = Vz,

где квадратная матрица V — невырожденное			решение
матричного уравнения
-4P	= - 4 - L 0- V .		(2.3)
преобразует систему (2 .2 ) к виду
dH	-j-w z= V 'Lо‘cp,		(2.4)
dd	-j-w z= V 'Lо‘cp,		(2.4)
где		diLö'LJ
w = V— 1 L ^ L . - ^ i L ö 'L , ) 2		diLö'LJ	V.
w = V— 1 L ^ L . - ^ i L ö 'L , ) 2		dt	V.

К системе (2.4) применим тот алгоритм, который будет изложен ниже. Правда, переход к этой системе можно осу

ществить только после построения	матрицы	w, которая
в свою очередь определяется через	матрицу	V — фунда
ментальную матрицу системы (2.3).

Системы типа (2.3) были рассмотрены в гл. VIII. В слу

чае, когда все собственные значения матрицы простые, материалы гл. VIII позволяют легко построить фундамен тальную матрицу V этой системы.

Расщепление уравнения (2.2) можно осуществить и ме тодом гл. IX, предварительно заменив это уравнение экви валентным векторно-матричным уравнением

dx			(2.5)
S T	= и	(т, е) *>

где

— Lö'Li - L ö-'L1 )

U =

Вернемся к системе (2.1). Мы будем далее считать, что матрицы Lü (т, е) и L2 (т, е) представлены в виде

L0 (т, е) = тп(т) + emx (т),

L2 (x,e) = /0 (т) + е/х (т).

314	К А Н О Н И Ч Е С К И Е Ф ОРМ Ы	У Р А В Н Е Н И И	[ Г Л . X I I
Такое	представление матриц	L0 и / _ 2 в некоторых слу

чаях может значительно упростить реализацию предла гаемой расчетной схемы, например, если эти матрицы близ ки к симметрическим.

В целях общности и правую часть уравнения (2.1) при мем в виде

Ф — Ф о + е Фі-

Отметим еще, что алгоритм, который приводится ниже, без труда может быть распространен и на более общий слу чай, когда матрицы L0 (т, е), La (т, е) и ср представлены в виде рядов (конечных или бесконечных) по степеням пара метра е.

2.1. Однородная система. Расщепление однородной си

стемы
К (т) + Е' » 1 (т)]	+ ЕГ (т)	+ [ / 0(т) + e/j (т)] q = 0*)
		(2.6)

и условия, при которых это возможно, определяются сле дующей теоремой.

Т е о р е м а 2.1. Если на сегменте 0 •< т <; L матрицы т0, т 1, г, /0, /j имеют производные по т всех порядков, а т0, кроме того, является невырожденной матрицей, то,

предполагая,		что собственные		значения матрицы и (т) =
=	m öl (т) /„ (т)		разбиты на р групп ѵ\а), ...,		(ст = 1 ,...
	р
...,	р;	=	п) при условии,	что

I ѵ*а> (т)	v/s) (т) I > 0		(2.7)
(а, s = 1 , . . . , р; вфо; і =	1 ..........	ka\	j = l , . . . , k s\

т е [о, ц ),

систему (2 .6 ) посредством подстановки

рdz

		С7=1	Ию (Т, е)		dt	Я.2С (Т, б)Za		(2 .8)
мооісно привести к виду
dp + « 1	0	(т, е) -jj- -f а 2ст (Т, е) 2 о =				о	(0 = 1 , .. .,	р).
								(2.9)
*) Для	удобства записи			вместо	/^(т)	будем	пользоваться	также
обозначением		г(х), считая,	что	LJ(T) ее г (т ) .

§ 2]

Ф О Р М А Л Ь Н Ы Е П Р Е О Б Р А З О В А Н И Я

3 1 5

При этом Ktа, ate (і — 1,2) — матрицы типа соответствен но п X ka, ka X ka, представляемые формальными рядами

^	со		^	со
кш(х, е) =	2	БМ а] (Т).	а,ст(т, е) = 2		еМ а1 СО- (2	.1 0)
	fc=	0		*=о
Для д о к а з а т е л ь с т в а				теоремы	достаточно	по

казать возможность построения членов рядов (2 .1 0). Вектор q, определенный равенствами (2.8) и (2.9), под

ставим в систему (2 .6 ) и в полученном выражении прирав

няем нулю коэффициенты при za и d z jd t:
(m0 + em j		yC\aCC\(j(X2o— ^2 aa 2 a ■
			^xla ~			~	^ad2 a 'l ,	„о	d'4 o	1 ,
+ e	\ —	2 1	FT a2° — Хіа ~ іГ ) +					8"		+
4	- er I — xiaa 2c, + e						) 4* (^o +		e^i) x2 <*—
{m0 + effij)		X i a ^ l a		—	X2aOSj(j — ^ l a ^ 2 a					(2 . 11)
{m0 + effij)		X i a ^ l a		—	X2aOSj(j — ^ l a ^ 2 a
+ e 2	rfx2o		2	dx la			da la		+ £ 2	rf2*la
+ e 2	dx	—	2	dx		• OSicr — ^la ’ d t			+ £ 2	dx2
	I						ti/Vj0 I

-j-er yx2 o— ^icK^io4" e — — j 4" (^o4~ e^i)xicr= 0

( a = 1,2, . . . . p).

В равенства (2.11) подставим ряды (2.10) и отделим сна чала коэффициенты при е°. Будем иметь

,...[0 ]			- -	ѵ[0 ]	[0 ]	—	[0 ]	[0 ]	[0 ]
и л 2		о		К о о	^ 2 о		у л о	^ia ^2a >
,,v [0]			...	„[0]	[Oj	,	[0]	[0]	(2. 12)
									v[0 V/ [ 0 ] 2
U	K \	Q	-	K\Q CCOG		“ Г	X 2 0	W -la
									■K\Qa la .

В силу условия (2.7) можно построить блочные матрицы к, а, р., удовлетворяющие равенствам (1.4) и (1.5), причем все эти матрицы будут, иметь, как и и, производные всех порядков.

Положим

	al°a] = 0,	K]a = 0,	a $ ^ a a,	х $ =	х0. (2.13)
Тогда	равенства	(2.12)	будут выполняться		тождест
венно.	Далее, приравняем в (2.11)			коэффициенты при

3 1 6 К А Н О Н И Ч Е С К И Е Ф ОРМ Ы У Р А В Н Е Н И Й [ГЛ . X II

e-k (k = 1,	2,	...). Получим, принимая во внимание (2.13),
ш 4 а ] = 4 а 3« а + Х а 4 £ 3 -f 4 о ~ 1]			(t = 1 , 2 ; k = 1 , 2 , . . . ).
	dia		(2.14)
Через		\|] (t = 1, 2) обозначены выражения, завися

щие лишь от величин до (k — 1 )-го								приближения включи
тельно. Так,
			4 а = — Г П о 1 Г Х п — 2					dx
								dx
			doCT =		гпо 1 (щк 0 а о — І^Ко)]
4а	=	m0 1	ftli f Ха4а3		П],			— rXsa — ^[.a +
4а	=	m0 1	ftli f Ха4а3		Ч- ttloJaa — 2		dx	— rXsa — ^[.a +
						I J l U ' l		, J	‘L[II	о	d4a3
						-f-X2 aCC\|a		-rXlo&2a		— * —-rr—
4о	=	Wo 1	Wj (XaCC2 a3	~f-		Г (4 o^o — ~~dx ) — ^jxla
						dxHl			[l] d a o		d 2x„
		— 4 a 14 a «а +		«	2 a « 2 0	-+- 2	Ha		[l] d a o
		— 4 a 14 a «а +		«	2 a « 2 0	-+- 2	dl ■cca -I- x,CT-			dx	d T-
И T. Д.
	Предположим, что 4/J.					4o	( £ = 1 , 2 ;		/ = 0,		1, ...

...,k — 1)уже найдены. Тогда k-я пара равенств (2.14) впол не определяет величины следующего приближения 4 a3. 4 a1.

Действительно, эти равенства, как					легко проверить					непо
средственной подстановкой,				используя соотношения (1.4) —
(1.5), обращаются в тождества, если						принять
	4 а 3 =	щ {$ ,								(2.15)
	„W -	„ „т		.niklrt		и	у			(2.16)
где	Ща —&оЧіоо'			Чіоо'-Ьа— I+GUi(j			у
где
				'4Й
		4a1 =	p 4 a 3 =
				Л					*а	типа
— матрица типа п х /г0, у которой субматрицы								4	*а	типа
ks X ka	при s ^ o	представляют			единственные				решения
алгебраических систем
	asVLcr — 4sa®a Ч~ (Ts4a				3	(S ¥= о),				(2.17)
а <7iaa —	произвольная,		достаточное			число	раз	дифферен
цируемая квадратная матрица порядка ka.

5 2]

ФОРМАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

317

Приведенные рекуррентные соотношения позволяют последовательно определить члены рядов (2 .1 0).

Вышеизложенное остается в силе и при s = 1. Удерживая в рядах (2.10) конечное число первых сла

гаемых, получим приближенно расщепленную систему.

2.2. Случай простых собственных значений. Если все собственные значения матрицы и на рассматриваемом про межутке изменения аргумента остаются простыми, то мож но, произведя разбивку собственных значений на п групп (по одному собственному значению в каждой группе), при вести исходную систему к п уже скалярным дифференциаль ным уравнениям второго порядка (вида (2.9)). В этом слу чае члены рядов (2 .1 0) определяются соотношениями

	М	_	,	[ft] _ n		x Л*]
где	CS/cr	— — ЦоЩ а	,	Х м	— г aU-ia	-p лсгу/асгі
		D	__ V 1		X sH-S
		И а	~	Z J	V S - V CT ■

2.3.Неоднородная система. Для неоднородной системы

[т0(т) + гт1(т)]				+ гг (т)		+	[ / 0(т) + еІг (т)] q = Фо + еф,
имеет	место						(2.18)
имеет	место		2.2. Если а) m0, т 1, г, l0, lv ф при 0 < г <
Т е о р е м а			2.2. Если а) m0, т 1, г, l0, lv ф при 0 < г <
<: L, 0	<	( <	L/'e (	0 <	е) имеют производные по х всех по
рядков,	б)	det т0 (т)		Ф 0	(т £	1 0,	Ц), то, предполагая, что

собственные значения матрицы и разбиты на р групп при условии (2.7), систему (2.18) посредством подстановки

		<7= 2 d		~		âzQ	~		(2.19)
				*іч(т»е) -Т7~ +			х2 а(т, г)га
			<j=i
можно преобразовать к виду
	d~za		~	dz0		~		e%o	(2.20)
~^а~ +			(Т, 8) —^ --- (- &2о(^> в) zo = "Фоа +
				(СГ= 1 , 2		, ... ,/?).
При этом		Кіо,		(/ =	1,2) — матрицы типа соответст
венно	п X ko,		ko X ko,		определенные формальными				рядами
(2 .1 0),	а	ф/а (J = 0		, 1) — ko-мерные векторы				(столбцовые

3 1 8 К А Н О Н И Ч Е С К И Е Ф ОРМ Ы У Р А В Н Е Н И И [ГЛ. X II

матрицы), представляемые формальными рядами

СО
Ф/с = 2 e S ^ .	(2.21)
*=о

Д о к а з а т е л ь с т в о . Подставив вектор q, опре деленный равенствами (2.19) и (2.20), в (2.18) н приравняв в полученном соотношении нулю коэффициенты при га, dzjdt и свободный член, получим равенства (2 .1 1), которые обращаются в тождества, если члены рядов (2 .1 0) опреде лены по формулам (2.15), (2.16), и равенства

	р	d*io_
К + е/Пі) Yi		d*io_	^lo«la "I- ^2 ст Ф/с +
К + е/Пі) Yi		dx	^lo«la "I- ^2 ст Ф/с +
	Ü= 1
“Н Klo	5 Ф/а	дф/а		а = 0 , 1 ) (2	.2 2)
“Н Klo	dt	8 дх		а = 0 , 1 ) (2	.2 2)
	dt	8 дх
(ф/а рассматриваются как функции и от t,				и от т).
Для доказательства			теоремы поэтому	достаточно	по

казать, что могут быть построены ряды (2 .2 1), обращающие

равенства	(2 .2 2) в тождества.
Введя обозначения
	ѵ-і =		{Кі\Хц ... Kip),
	«п			Фл"
	«12		0	Ф/2
	«12		0	ф/ =
			,	ф/ =
	0	■ •
			«Ір_	_ Ф/Р _
			«Ір_
представим (2 .2 2) в виде
(т04- em j	2 е "dT —		+ Х 2 Ф/ +

+ * 1 ( т

+ е - T F T ) + е™ і Ф / =

(/ = 0 , 1 ) . (2 .2 3 )

§ 2]

Ф О Р М А Л Ь Н Ы Е П Р Е О Б Р А З О В А Н И Я

319

В равенствах (2.23) приравняем коэффициенты при оди наковых степенях е. Получим, принимая во внимании (2.13),

		т 0* Ф/ ° ] =		Ф/,
= — т0 (			+ хі’]				/«іИф/01,
т0к\р1Р = — m0l4	]I1^ 1] + ^		2 ---- ------x\i]a\'] +				и\|2 ])ф(0 ] -j-
+ Xl У di	'	дтГ~Ij	Л'	~	t	- r ^ w		r
			,11] _I		,Ді].і,[0] I		Л 1 ]	[ 0]
			,11] _I		,Ді].і,[0] I		Л 1 ]	â ^ i
	- m j x ^ r + x ^ i i r + x!							дх
Здесь								(2.24)
Здесь
		= (*н Ч г ]		• • ■и/p1).
			’ <Z\Ш1
				-Jft]
	а[*]			С С \| 2		о
	а[*]		о			о
			о
						а [ft]IP _
			-lb[ft] '
			Ф/i
			...[ft]
			Wj-2
	W	-

_ ^/P] .

Умножая обе части всех равенств (2.24) слева на рлг0 1, будем иметь

# ] = р ^ ]

(£ = 0,1,2, . . . ),

(2.25)

<<< < Предыдущая 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 4432 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
03.11.20234.21 Mб38ba0501.djvu
#
10.05.2024227.33 Кб9Panel.doc
#
29.10.202310.49 Mб19Pushkov N.V. Quiet Sun.pdf
#
29.10.20232.39 Mб9А. А. Якубов библиография.pdf
#
03.11.20232.9 Mб61А.В.Никонов, Л.З.Папернов. - Измерители уровня звуковых сигналов-Радио и связь (1981).djvu
#
25.10.202317.28 Mб97Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf
#
19.10.20232.3 Mб61Абдуллаев, Я. Р. Электромагнитные устройства с индукционной подвеской учебное пособие.pdf
#
25.10.202315.35 Mб72Абелев М.Ю. Слабые водонасыщенные глинистые грунты как основания сооружений 8-й междунар. конгресс по механике грунтов и фундаментостроению.pdf
#
20.10.20237.92 Mб60Абжирко, Н. Н. Влияние вибрации на характеристики радиолокационных антенн.pdf
#
23.10.20236.9 Mб51Абовский Н.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек учеб. пособие.pdf
#
29.10.20232.32 Mб67Абраменко Б.С. Сборник задач по теоретическим основам эксплуатации радиотехнических средств.pdf