книги из ГПНТБ / Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем
.pdf4 1 0 У С Т О Й Ч И В О СТ Ь п р о ц е с с о в [ГЛ. X V I
Если
14 { t o ) ""Ь Vmin (^o) ^ ^ 1 * 0 { t o ) "Ь ^max (*-Q)> (3 -9 )
то о существовании конечного промежутка устойчивости без анализа свойств нелинейной части уравнения возмущен ного процесса ничего определенного сказать нельзя. В са мом деле, соотношения (3.9) и (3.5) допускают существова ние частного решения х° = 1{у°, удовлетворяющего равен
ствам
|
Ф(*о. У° {to)) = 0, |
11^° (^о)ІІ= Р- |
|
|
Для этого решения знак правой части равенства (3.8) |
при |
|||
t = |
t 0 определяется знаком нелинейного члена Re (y |
* M |
h ), |
|
так |
что в зависимости от свойств этого члена при t |
= t 0 , |
||
а по непрерывности и в пределах некоторой окрестности точ
ки t 0 правая часть соотношения (3.8) может быть и |
поло |
||||||
жительной, и отрицательной, и нулевой величиной. |
|
||||||
3.2. |
Критерии |
устойчивости |
на |
заданном промежутк |
|||
Имеем (см. (15.6.12)) |
|
|
|
|
|
||
ѴЦ, а-)= |
|£/||2= |
ѴДг0, х0) 1 + |
ехр \24>{t',y(t'))dt’ - \ + |
||||
где |
|
|
|
+ |
{t — t0)i/3 {t> У) К |
о 101 |
|
|
|
t |
|
|
J |
ѵ ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
L £ 2ф (т,у (т)) dx |
|
|
||
Ф { t , |
У ) = |
J ef |
|
|
Re(ifM h) d t ’, |
||
|
|
|
|||||
|
|
(*-<о)ІЫР К |
|
|
|
|
|
причем равномерно по |
t на промежутке U0, Т) |
|
|||||
|
|
Ііш я[) (/, у) = |
0. |
|
(3.11) |
||
|
|
|
у-+О |
|
|
|
|
Теорема |
3.3. Если |
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
( __^ |
I [Во(^ ) + v max {t)\dl |
< |
^ |
(t (; [*„, Т)), |
|||
|
|
|
|
|
|
|
(3.12) |
где b — положительное число, то невозлпущенныіі процесс
{тривиальное решение уравнения (1.4)) обладает устойчи
востью на заданном промежутке Н0, Т) по отношению к области (3.3).
5 3] КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ 4 11
Док а з а т е л ь с т в о. При условии (3.12) существует такое б >■ 0, что в пределах промежутка [t0, Т)
I
ехр ^2ср (t', y(t')) dt' — 1С — 26 (t — t0).
С другой стороны, принимая во внимание (3.11), можно
указать такое р0 > |
0, что при всех у, |
удовлетворяющих |
неравенству |у |< |
р0, будем иметь |т|з(t, |
у) |< 26, и тогда |
V (t, х )< 1 / (t0, х0), а это означает, что любое решение урав
нения (1.4), которое удовлетворяет условию |
V (t0, х0) < |
||
•< р2, где |
р произвольное положительное число из |
проме |
|
жутка 0 < |
р С ро, в пределах промежутка [t0, |
Т) |
удовле |
творяет условию V (t, х) •< р2, что и доказываеттеорему. / Следствие. Если
P'0 (О “Ь ^max (і) < 0 {t £ [^о> T)),
то невозмущенный процесс (тривиальное решение уравнения
(1.4)) обладает устойчивостью на заданном промежутке 1/0, Т) по отношению к области (3.3).
Для линейного процесса (h (t, х) = 0) имеет место почти
очевидная Теорема 3.4. Если
I
1’ [Ро (П + Ѵ ш а х (/')] dt' < 0 |
(/ е [*„, Т)), |
I Iо• |
|
‘0 |
|
то линейный процесс (,тривиальное решение уравнения (1.3)) обладает устойчивостью на заданном промежутке [tQ, Т) по отношению к области (3.3).
А С И М П Т О Т И Ч Е С К И Й Х А Р А К Т Е Р Р Е Ш Е Н И Й |
4 1 3 |
члены которых — на промежутке 0 < x < L нужное число раз дифференцируемые функции отт;
f (t, г, е) — вектор-функция (столбцовая матрица), не
прерывная при |
т £ [О, L]; t £ О, — |
(е > |
0) и |
регуляр |
||||||
|
|
|
|
|
|
’ |
е |
|
0. |
|
ная относительно е в окрестности точки е = |
функцией |
|||||||||
Матрица А (т, е) предполагается |
регулярной |
|||||||||
от е, причем clet А (т, 0) Ф 0 (т £ [0, |
L)\. |
|
|
|||||||
Уравнение (1) допускает формальное решение, опреде |
||||||||||
ленное равенствами |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
х = К { т, г) у, |
-^- = |
Л(т, е)у + |
М {х, e)R {x, |
т, е), |
||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/? (т, е) = |
К (т) + |
2 |
|
|
(т), |
|
|
|||
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
М (х, е) = |
М (т) + |
со |
|
(t), |
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
k = |
\ |
|
|
|
|
Ä (т, е) = |
Л (т) + |
со |
е*Л[й] (т), |
|
|
|||||
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
п=\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
Я (т, е)= |
Aö' (т) + 2 |
ekRk (т)> |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
4 = 1 |
|
|
|
|
|
Л(Т) = M ( X ) U ( X ) K ( X ) , |
U = |
Aö'B0, |
M = |
K ~ l . |
||||||
В соответствии сэтим приближенное решение хт уравне |
||||||||||
ния (1) представляется так: |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
= |
|
|
е)г/т, |
|
(2) |
||
= Л(т)(г, е)ут + |
М(т)(т, е)Rш (X, г) n t , |
х, г). (3) |
||||||||
Здесь |
|
К (т) + |
т |
|
|
|
|
|
|
|
К {т) (т, е)= |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
4 = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
УИ(Ш) (т, е) = |
М (т) + |
2 |
|
|
(г), |
|
(4) |
|||
Л(т) (т, е) = |
Л (г) + |
2m е*Л[А] (х), |
|
|||||||
|
|
|
4=і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Т) + |
m |
|
(г). |
|
|
||
R {m) ( X , 8 ) |
= |
/4 с Г ‘ |
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
4=1 |
|
|
|
|
|
|
414 |
П Р И Л О Ж Е Н И Е |
Для установления асимптотических свойств построен ного таким образом приближенного решения воспользуем ся методом Н. Н. Боголюбова [4], который неоднократно применялся для тех же целей в работах идругих авторов [13, 52]. В соответствии с основной идеей этого метода
К {т) (т, е) будем рассматривать как матрицу некоторого
преобразования переменных в уравнении (1):
|
|
|
X = К 1т) (т, е)у. |
|
|
(5) |
||
|
В результате подстановки (5) в (1) получаем |
|
||||||
А(х, в ) К т (х, е)-§ - = |
|
|
|
|
|
|||
|
В (т, е)К |
(т, е) — еА (т, е) |
dKim) (т, г) |
y + |
f(t, |
т, 8). (6) |
||
|
|
dx |
||||||
|
С другой стороны, имеем (см. гл. VIII, |
§ 2) |
|
|
||||
еД(т, е) |
е) -f Л(х, е)Д(х, е)Л(х, е) = |
В (х, е) К (т, &), |
||||||
и, значит, |
|
|
|
|
|
|
|
|
ЕЛ ( Т ,8 ) ^ І - 1 |
= |
|
|
|
|
|
||
= ß(x, 8)K {m)(т, 8) - А (Т, 8)К [т)(т, 8)Л(т)(т, 8) - |
S^'N ^T , б), |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(7 ) |
где JVX — матрица, |
регулярная |
|
относительно |
е в окрест |
||||
ности точки е = 0. |
|
|
|
|
|
|
||
|
Используя (7), уравнение (6) представим так: |
|
||||||
Л(т, е) К т (т, е) |
= |
|
|
|
|
|
||
= |
Л (г, 8) K im} (X, е)A(m) (X, е)у + |
е"'+Ч (х, е)у + |
f (t, х, е). |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(8) |
|
Матрица |
К (т) (х, е) является |
регулярной функцией от |
|||||
е, |
причем К ш (х, |
0) = К (х) — невырожденная |
матрица. |
|||||
Поэтому существует такое положительное число е0, что
при е •< е0 К іт) (х, е) — невырожденная матрица. Предпо
лагая, что е С е0, умножим обе части уравнения (8) слева на Д(т)_| (х, е) R (х, е). Получим, учитывая еще, что по
А С И М П Т О Т И Ч Е С К И Й Х А Р А К Т Е Р Р Е Ш Е Н И Й |
4 1 5 |
построению R (т, е) А (т, е) = Е т
\ = Л(т) ( т , г)у + |
Ет+'К{т)~ 1(х, е) R (т, е)N, (т, е)у + |
|
|
+ К ш '\ х , е)/?(т, е)/(*, т, е). |
(9) |
Вычитая из (5) равенство (2), имеем |
|
|
X— |
= К т (т, е) (у — ут). |
|
Отсюда |
|
|
11^-хт||<||/Г,)Ке)||||^/-ут|. (10)
Таким образом, задача по оценке нормы разности х — хт сводится к оценке нормы столбцовой матрицы z — у — ут,
которая, как это следует из равенств (3) и (9), удовлетво ряет уравнению
=е)г +
+ [/<(т,_1 (т, е) R (г, е) - М(т) (т, е) R(m) (х, е)] / (/, т, е) +
+ ет+1К т ~' (X, в) R (X, е) N, (х, е) у. (11)
Оценку погрешности приближенного решения проведем раздельно для промежутков 0 -< т < Z. и ^ ^
(L, tv t2 — фиксированные числа).
Асимптотическая оценка на проме
жутке |
0 < т < L . |
Запишем (9) в виде |
|
|
|
4 - = |
Л(m)y + e-+W^ + |
/V3. |
(12) |
Здесь N2, |
N з — матрицы, регулярные |
относительно |
е в |
|
окрестности |
е = 0. |
|
Оценим сначала на промежутке [0, L\ решение у (t) |
||
однородного |
уравнения |
|
|
\ = Л™ у + e-+W2y, |
(13) |
начальное значение которого ограничено условием
і!у (0)|<со.
Перегруппируем слагаемые правой части (13), прини мая во внимание (4). Будем иметь
*$r = Ay + eNiy, |
(14) |
4 1 6 |
П Р И Л О Ж Е Н И Е |
где
т
N4— 2 е л- 'Л т + &"NV к=1
Из (14), перейдя к сопряженным выражениям, получаем
^ |
= /Л * + |
ег/*лС |
(15) |
Уравнение (14), |
умноженное |
слева |
на у*, сложим с |
(15), умноженным справа на у. В результате приходим к
следующему дифференциальному |
уравнению относительно |
||
нормы столбцовой матрицы у: |
|
|
|
= у* (Л + Л*) у + |
еу* (N4 + А4*) у. |
(16) |
|
Поскольку Л -f- Л* — эрмитова матрица, то |
|
||
у* (А + |
А*) у < |
2ц II у I2, |
(17) |
где р — наибольшее |
собственное значение |
матрицы |
|
’/о (Л + Л*).
Далее, при заданных ех;> О (е4 С е0) и при данном но мере приближения т можно указать такое не зависящее от е постоянное число аг, что для всех т £ [О, L] и в < ех
|
f l^ lK O r |
|
(18) |
|
Принимая во внимание (17) и (18), из (16) получаем |
||||
d\\y\\ < ( р |
+ |
EOj) ||г/|| |
( в < 8 1). |
|
di |
|
|
|
|
Отсюда |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
і!У (О II < II г/(0)||exp j (р + |
еаг)Ш = |
|
|
|
о |
|
|
|
|
= IIУ(0) II exp ^ахт + |
j |
ydtj < ||у (0) || exp |
f P dt |
|
Итак, |
(0)||exp [a^L + jpctfj. |
|
||
!J (0 K I ? |
(19) |
|||
Если на сегменте 10, L] все собственные значения эрми
товой матрицы 'А (А -J- А*) неположительны, то t
j р dt < 0 t£ 0, 4 -1 . е € (0, ех)) , (20)
А С И М П Т О Т И Ч Е С К И Й Х А Р А К Т Е Р Р Е Ш Е Н И Й |
4 1 7 |
||
и, значит, |
|
|
|
IУ (О II < IIУ (0) II ехр (аг1) < с0ехр faL) = |
с |
||
(*6 |
0 ,— |
е £ (0, ех) |
|
’ 8 |
|
|
|
Таким образом, имеет место следующая
Л е м м а 1. Пусть на сегменте 0 -< т •< L все собствен ные значения эрмитовой матрицы 1/%(Л -f- Л*) неположи тельны. Тогда существуют положительные числа с и
(ех С е0) такие, что любое решение у (t) однородного урав нения (13), начальное значение которого ограничено условием
IIУ (0) | < с0.
удовлетворяет неравенству
ІИ О ІК с
Рассмотрим теперь неоднородное уравнение (12). Также, как и для однородного уравнения, легко получить сле дующее дифференциальное уравнение относительно нормы столбцовой матрицы у (t):
у* (Л + Л*) у + ег/* (Nі + N\) у + y*N3 + N\g.
(21)
В силу свойств матрицы N 3 существует такое положи тельное число а3, что при всех т £ [0, L] и е < ех
Учитывая и эту оценку, из (21) имеем
—^ < ( р + еяі) I г/ И+ а3.
Отсюда
і
IIУ(0 II < IIУ(0) II ехр ) (р + |
saj dt + |
|
|
О |
t |
t |
|
+ |
а3 [ ехр |
) (р + eo j df'dt'. |
(22) |
ог
Если на сегменте 0 < т < 1 все собственные значения эрмитовой матрицы Ѵа (Л + Л*) неположительны, то,
418 |
П Р И Л О Ж Е Н И Е |
|
учитывая (20), имеем из |
(22) |
|
№ (0 II < 10(0) II ехр (агт) + |
/ |
|
а3ехр (а2т) j e~8aii' dt' |
||
|
|
о |
< ехр (^т) (||^(0) Н - a3t).
Отсюда следует
Л е м м а 2. Пусть на [0, L] все собственные значения эрмитовой матрицы У2 (Л + Л*) неположительны. Тогда существует положительное число е1 С е0 такое, что любое решение у (t) неоднородного уравнения (12), начальное зна чение которого ограничено условием
допускает |
оценку |
II 1/(0) 1 < с 0, |
|
|
|
|
|
||
|
|)^(0 К |
ехр (агЩ с0+ a3t). |
(23) |
|
Теперь |
оценим норму решения г — у — ут уравнения |
|||
(11). В этом уравнении |
|
|
|
|
так что |
К tffl)-'/? — M {m)R{m) = 0 (em+ ‘), |
|
||
|
|
|
|
|
|
—j f = Л( |
т ) 2+ |
ет+' (N2y + Л/6) |
(24) |
(N6 — матрица, регулярная |
относительно е |
в окрестности |
||
точки £ = |
0). |
|
|
|
Уравнение (24) представимо в виде |
|
|||
,т
-JL = Лг + 8 2 е*_ІЛ[ й і 2+ em+ I (N2y -f- N6).
Используя последнее соотношение, получим следующее дифференциальное уравнение относительно нормы столб
цовой матрицы |
г: |
|
|
= 2 * (Л + |
Л*) г + ег* ( 2 г ^ А т + |
2 |
е*-ІА[Л]*'| г + |
иС |
'А=1 |
ft=l |
/ |
+ em+1 [г* (N2y + AQ + (y*N\ + Nl) Z]. (25)
При заданных ex > 0 (ex •< e0), L > 0 существуют по ложительные постоянные a4, аъ, a0 такие, что при всех т 6 [0, L] и е < ех
Іт <«4- l|jV2||< a 5, 1/V5| < a a. (26) fc=l