книги из ГПНТБ / Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем

—оо

аѲ„ - функция, удовлетворяющая соотношению

дѳ_

— матрица передаточных функций регулятора (с размера­ ми / X т) с параметрами, замороженными в момент време­ ни і,

соотношения (3.4) в свою очередь допускают следующие

Учитывая (3.4), (3.7) и (3.8), приравняем в (3.6) коэф­ фициенты при одинаковых степенях е:

§ 4. Приближенное интегрирование уравнений управляемого процесса (случай Б)

Для построения приближенного решения системы (1.4) здесь мы используем систему (1.11) при р = 0. Имеем

А (т)- ^ г = ß (X) X + Н (т) и,

t

(4.1)

и = J G(t — t',x')vit\x')dt\

V= Т ( х ) х .

4.1.Построение формального решения. Введем в рассмот­ рение матрицу

(Еп — единичная матрица порядка /?).

Каждый корень Яа (т) уравнения (4.2) является в то же время собственным значением матрицы ІІ{а) (т) == 1) (Яст, т), так что если р;а) (т) (j = 1 , 2 , ..., п) — собственные значе­ ния матрицы и (°\ то по крайней мере одна из этих скаляр

3 0 4 П Р И Б Л И Ж Е Н Н О Е И Н Т Е Г Р И Р О В А Н И Е У Р А В Н Е Н И Й [ГЛ. ХГ

ных функций совпадает с А0 (т). Мы ограничимся рассмот­ рением простейшего случая, когда с функцией А0 (т) при любом т £ [0 , L ] совпадает одно и то же изолированное

собственное значение матрицы U{a) (т), например |х)ст>(т). Через Ко и М0 обозначим соответственно столбцовую и

строчную матрицы, определенные равенствами

Будем считать, что в качестве Ко и Л40 приняты те ре­ шения уравнений (4.3), которые дифференцируемы столь­

ко же раз, сколько раз дифференцируема матрица Uw . Обозначим

5 (Я,/) = A~'(t) HRl0(X, t) Т (t).

значение вектора х, определенное равенствами (4.4). Полу­ чим

dK„ (т, в)

Л ( т ) е ----- ^ -------1- Ко (Ч е) Ао (X, е) = В (т)/<0 (т,е) + НІа,

(4.6)

ем в равенстве (4.6) коэффициенты при одинаковых степе­

В силу (4.3) и условия 1) теоремы равенство (4.7) выпол­ няется тождественно. Покажем, что при соответствующем

выборе К1а] и X,„AJ равенства (4.8) также обращаются в тождества.

Предварительно проведем некоторые дополнительные построения.

Квадратная матрица Р а = КоМа является проекцион­

матрица, соответствующая всем остальным собственным зна­

и матрица Р—а, дифференцируемые по т столько же раз. сколько раз дифференцируема U(a\

Ма связаны соотношениями

М- аК -о = Е п_ 1, М__оКа = М оК-о = 0.

(см. гл. V). Заметим еще, что собственными значениями мат­

может быть принята произвольная, нужное число раз диф­ ференцируемая скалярная функция.

Зная фаЧ легко определить и искомую столбцовую мат­ рицу /Со]:

Рекуррентные соотношения (4.12) — (4.14) позволяют по­ следовательно определить члены рядов (4.5), посредством которых представляется частное решение (4.4) системы (4.1). Теорема доказана.

Эта теорема, так же как и теорема 3.1, легко обобщается на случай, когда матрицы А и В — функции от т и е, до­ пускающие на [0 , L ] разложения (сходящиеся или по край­ ней мере асимптотические) по степеням е.

4.2. Приближенное решение системы. Используя постро­ енные формальные решения, решение системы (4.1) т-ѵо приближения можно представить соотношениями

исходной системы (1.4).

Для примера приведем простейшие приближенные ре шения системы (1.4).

Глава XII

НЕКОТОРЫЕ КАНОНИЧЕСКИЕ ФОРМЫ УРАВНЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Математическая модель многих процессов, происходя­ щих в реальной действительности, представляется дифферен­ циальной системой, которая в векторно-матричной записи имеет вид

мы); ер — столбцовая матрица, элементы которой являются, вообще говоря, функциями от t и, быть может, управляю­ щих функций, которые в свою очередь определяются зна­ чениями <7 j, q2, ..., qn. Уравнениями такого типа описывают­ ся, в частности, малые колебания механических систем, поведение линейных объектов управления в системах авто­ матического управления и т. п.

Анализ и синтез процессов, описываемых системой диф­ ференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами, особенно если дифференциальная систе­ ма имеет высокий порядок, связаны с преодолением немалых трудностей. Эти затруднения в значительной мере могут быть сняты, если предварительно произвести «диагонализацию» исходной системы, т. е. соответствующей заменой пе­ ременных преобразовать эту систему к системе, матрицы коэффициентов которой имеют диагональную или по край­ ней мере квазидиагональную форму. Настоящая глава по­ священа изложению некоторых алгоритмов таких канони­ ческих преобразований.