книги из ГПНТБ / Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем
.pdf4 0 2 |
У С Т О Й Ч И В О С Т Ь |
П Р О Ц Е С С О В |
[ГЛ . X V I |
||
уравнения |
(1.4)) обладал бы устойчивостью по отношению |
||||
к области |
(2.3), т. е. At = 0. |
Согласно |
(2.11) полная |
про |
|
Доказ ательс тв о. |
|||||
изводная от функции V (t, х) |
в силу уравнений возмущен |
||||
ного процесса равна |
|
|
|
||
■ dV%tX(-0) = |
Ц У (0II2 Ф(*, У «)) + |
2 Re(y*Mh). |
(2.15) |
||
Если ф(і, у) Ф |
0, то при достаточно малых |у |, в силу |
||||
свойства (2.13) нелинейного члена уравнения, знак правой
части равенства (2.15) |
совпадает со знаком |
функции |
|
Ф(*, У (0)- |
|
|
|
Допустим для определенности, что |
|
|
|
Po (^o)= ReК {t0), |
|
|
|
и рассмотрим частное решение уравнения (1.4) х° = |
К (0 у°, |
||
определенное начальными условиями |
|
|
|
У, <ßa) — Р, |
Уо (Q = 0 |
( о ф s). |
|
Согласно (2.14) |
|
|
|
Ф(*„, У° У*)) = Po tfo)> |
0. |
|
|
Поэтому в точке t0 при достаточно малых р правая часть
равенства (2.15) положительна. По непрерывности она по ложительна и в некоторой окрестности 1/0, t0 -j- At) точ ки t0. Значит, в этой окрестности
- Щ р - = Ц У ° (0II2 Ф(I, У° (0) + |
2 Re (if'Mh) > |
0. |
Таким образом, если справедливо неравенство |
(2.14), |
|
то имеется частное решение уравнения (1.4), вдоль |
кото |
|
рого в окрестности точки t0 |
|
|
V (t,x ( t ) ) > V ( t 0,x ( t 0)) |
(t > g , |
|
и, значит, условия (1.1), (1.2) не выполняются. Теорема доказана.
Пусть, наконец, |
|
М*о) = 0. |
(2.16) |
Соотношение (2.16) допускает существование частного решения х° — Ку°, удовлетворяющего равенствам
Ф (^°(д ) = о, іл д іі= р .
4 0 4 У С Т О Й Ч И В О С Т Ь П Р О Ц Е С С О В [ГЛ . X V I
причем равномерно по t на U0, Т) |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
у-*о |
у) = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Как и прежде, положим |
|
|
|
і |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р (0 =» шаха ра (0. |
Ра (0 = |
l ~ l0 |
f ReKdx. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
||
2.2.1. |
Устойчивость |
|
|
‘0 |
|
|
про |
|||||
линейного |
||||||||||||
цесса. |
|
|
2.5. Если |
|
|
|
|
|
|
|
||
Теорема |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Р (0< 0 |
(t£ [i0,T )), |
|
|
|
(2.20) |
|||
то |
линейный |
процесс |
(тривиальное |
решение |
уравнения |
|||||||
(1.3) ) обладает устойчивостью на |
заданном |
промежутке |
||||||||||
U0, |
Т) по отношению к области (2.3). |
|
|
|
|
|
||||||
Доказ ательство. |
В случае линейной системы |
|||||||||||
(см. |
(2.18)) |
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2Re?.0rfT |
I |
іа |
|
|
||
|
|
V {t,x) = V { ^ x ü)l\ ei' |
|
- |
^ |
r |
|
|
||||
(так |
как л|) (f, у) |
= 0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При условии |
(2.20) на промежутке П0, Т) |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
< Г ( / „ |
|
|
|
|
|
Л-,) |
|
что и доказывает теорему. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Из этой теоремы вытекает, в частности, что если |
|
|||||||||||
|
|
|
|
М 0 < 0 |
(*£[/„. Т)), |
|
|
|
|
|||
то линейный процесс (тривиальное решение уравнения (1.3)) |
||||||||||||
обладает |
устойчивостью |
на |
заданном |
промежутке Н0, Т) |
||||||||
по отношению к области (2.3). |
|
|
|
|
|
|
||||||
Теорема |
|
2.6. Если в какой-нибудь точке |
7 £ П0, Т) |
|||||||||
|
|
|
|
|
р(7)> 0, |
|
|
|
|
|
(2.21) |
|
то |
линейный |
процесс |
(тривиальное |
решение |
уравнения |
|||||||
(1.3) ) не обладает устойчивостью на заданном |
промежутке |
|||||||||||
U0, Т) по отношению к области (2.3). |
для |
определенности |
||||||||||
Доказ ательс тво. |
Пусть |
|||||||||||
р (7) |
= р , |
( 7) . |
|
Рассмотрим |
частное |
решение |
х° = |
Ку°, |
||||
* !І У С Т О Й Ч И В О С Т Ь П Р О Ц Е С С А 405
определенное начальными условиями ys (t0) = |
р, у а (і0) =- 0 |
||||
(о ф s). Вдоль этого решения |
|
|
|
||
|
|
t |
|
|
|
|
|
f 2 R e X d x |
|
|
|
V (t, x°) = V(t0, x°o)e<° |
= |
V (t0, xl) e2^ |
|
||
При t0 < |
t < i T |
отсюда |
|
|
|
V (t, x°) = |
F (/0, xl) e*» (ö (7-/.) > V (/0, xS). |
||||
Если же t = £0>то из |
|
|
|
||
|
|
Bs(^o) = F (^ )> ° |
|
||
следует по |
непрерывности |
|
|
|
|
|
|
Fs (0 > |
0 |
|
|
в пределах некоторого конечного отрезка [t0, |
+ АН, и |
||||
потому имеется точка іг £ (t0, t0 -f- Д£), в которой |
|||||
V(tlt х°(^)) = |
У(10, xl)e2^ |
l^ |
- ^ > V (tQ, х0). |
||
Итак, если неравенство (2.21) имеет место для какойнибудь точки t из промежутка [t0, Т), то условия устойчи
вости не выполняются. Теорема доказана.
Эти две теоремы можно объединить в одну общую. Теорема 2.7. Для устойчивости линейного процес
са (тривиального решения уравнения (1.3)) на заданном про
межутке U0, Т) относительно области (2.3) необходимо и достаточно, чтобы
|
И- (0 < |
0 |
(t£[t0,T))- |
|
|
2.2.2. |
Устойчивость |
по |
линейному |
||
приближению. |
|
|
|
|
|
Теорема 2.8. Если |
|
|
|
||
|
F(0 < |
— Ъ |
(tZ(ta,T )), |
(2.22) |
|
где Ь — положительное |
число, |
то |
невозмущенный процесс |
||
(тривиальное решение уравнения (1.4)) обладает устойчи востью на заданном промежутке [/0, Т) по отношению к
области (2.3).
Доказ ательство. В силу условия (2.22) сущест вует такое б > 0, что
< — 26(t — t0).
4 0 6 |
У С Т О Й Ч И В О С Т Ь П Р О Ц Е С С О В |
[ГЛ . |
X V I |
|
С другой стороны, в силу (2.19) можно |
указать такое |
|||
Ро > 0, |
что при |
всех |у |< р0 будем иметь |
|г|) (t, у) |< |
26, |
и тогда |
V (t, х) |
< V (t0, х0) (см. (2.18)), а это означает, |
что |
|
любое решение уравнения (1.4), удовлетворяющее условию
V (t0, х0) < р2, |
где р — произвольное |
положительное чис |
|||
ло |
из промежутка 0 < р <: р0, в |
пределах |
промежутка |
||
[2*0, |
Т) удовлетворяет условию V {t, |
х) |
< р2, |
что и доказы |
|
вает теорему. |
|
|
|
|
|
|
Теорема |
2.9. Если в какой-нибудь точке 7 £ [t0, Т) |
|||
|
|
р(7)> 0, |
|
|
(2.23) |
то невозмущенный процесс (тривиальное решение уравнения
(1.4)) не обладает устойчивостью на конечном промежутке [/0, Т) по отношению к области (2.3).
Доказ ательс тв о. |
|
Пусть |
для |
определенности |
||
р (7) = ps (7). |
Рассмотрим |
частное |
решение |
л'° = Ку°, |
||
определенное |
начальными условиями |
i/s(7i) = |
P> Уа(7і) = 0 |
|||
(a^=s). Вдоль этого решения |
|
|
|
|
||
F (/, х°) = V (/0, л-;)[ 1+ (e2Ws |
10 |
- |
1) + |
(t - |
g ф(t, у°)]. |
|
Допустим, что 7 £ (t0, Т). Тогда при условии (2.23)
^(7и1-'» > _ 1 = в > 0 ,
ав соответствии с (2.19) существует такое р0> 0 , что при
всех у, удовлетворяющих неравенству |
||і/||<1ро> ]л|>(Д у) \х |
|||||||||||||
X (t — t0) < |
е, и потому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
e2„s (7, (Г -/., _ |
1 + ( і _ |
g |
ф ( t ' у ) = |
6 і > |
0 |
(0 |
< |
е , |
< |
2 е ). |
||||
|
Вследствие этого для любого |
р £ [0, |
р° |
|
) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
\ |
У |
1 + |
е, |
/ |
|
|
|
|
|
|
У(7, х°) > V (і0, хо)= |
р2. |
|
|
|
|
|
|
||||
■ |
Если t |
= |
t0, то из ps (t0) > |
0 по непрерывности |
следует |
|||||||||
Р-s (0 > 0 |
в |
пределах |
некоторого отрезка |
U0, |
і0 + |
At], |
||||||||
и, |
значит, |
ps (^) > |
0, |
когда |
ty £ (/„, t0 + |
At) |
cz |
(t0, |
T), |
|||||
и-мы приходим к рассмотренному уже случаю |
(ps (^) > |
0, |
||||||||||||
h |
£ (^o. T)), |
так что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V{tv x °(g )> y y 0, лъ)-р2.
Итак, если имеет место неравенство (2.23), то условия устойчивости не выполняются. Теорема доказана.
5 8] |
К Р И Т Е Р И И У С Т О Й Ч И В О С Т И |
4 0 7 |
|
Наконец, если в какой-нибудь точке t £ U0, Т) |
|
|
V ( t ) = 0 , |
(2.24) |
то невозмущениый процесс (тривиальное решение уравне ния (1.4)) может и не обладать устойчивостью на конечном промежутке U0, Т) по отношению к области (2.3). В самом
деле, соотношение (2.24) допускает существование такого
частного |
решения х° = Ку°, что при любом сколь угодно |
малом р |
(t, х° (t)) *=V (t0, Хо) [1+ (і - gф(t, f Cm- |
у |
Отсюда следует, что в зависимости от свойств нелиней ной части уравнения (1.4) может иметь место и неравенство
V (I, х°) ~> V (t0, Хо), а это означает невыполнение условий
устойчивости.
§ 3. Критерии устойчивости
Теоремы предыдущего параграфа для практических це лей малопригодны, так как матрица преобразования ли нейной части уравнений возмущенного процесса к диаго нальному виду, посредством которой определяется область предельных отклонений, в случае нестационарной системы обычно неизвестна. Поэтому целесообразно несколько обоб щить постановку задачи с тем, чтобы соответствующие усло вия устойчивости и неустойчивости процесса в конкретных исследованиях могли бы быть использованы.
Допустим, что К (0 — ограниченная, невырожденная и
дифференцируемая матрица преобразования
X = К (t) у, |
(3.1) |
при котором линейная часть уравнения возмущенного про цесса (1.4) приводится к форме, близкой к диагональной. Представляя матрицу К как невырожденное решение урав
нения
*K- = U K - K A + N ,
где Л = diag (^1; .... Я,,,), а N — некоторая квадратная мат рица порядка п, уравнение (1.4) можно привести к виду
- ^ = A (t)y - M (t)N (t)y + M (t)h(t, Ку) |
(3.2) |
(Л4(0^Д-‘ Ш
і 3] К Р И Т Е Р И И У С Т О Й Ч И В О С Т И 409
Теорема 3.2. Если
Ро fо) “ I" ѴпИп (^о)
то не существует конечного промежутка [t0, і0 + At), на котором невозмущенный процесс (тривиальное решение урав нения (1.4)) обладал бы устойчивостью по отношению к области (3.3), т. е. At = 0.
Доказ ательс тв о. Согласно (3.4) полная произ водная от функции V (t, х) по t, вычисленная по уравнениям
возмущенного процесса, равна
-^ Г = |
21у (t) |Рф(t, у (/)) + |
2 Re{fM h ), |
(3.8) |
где |
У if)) — S ^ а Л у Ца |
|
|
Ф ( ^ . |
+ II у ца • |
|
Если ф(t, у) Ф 0, то при достаточно малых |у |в силу
свойства (3.7) нелинейной части уравнения возмущенного процесса знак правой части соотношения (3.8) совпадает со знаком функции ф(t, у {(]).
Допустим для определенности, что
|
Н-о if) = R e К if)’ |
и |
рассмотрим частное решение уравнения (1.4) х° = |
= |
К (t) у0, определенное начальными условиями уг (/„) = |
~рі Уа if ) = 0 (сг ф s).
Согласно условию теоремы
Ф i f ’ У° i f ) ) = М-0 (іо) + |
> М 'О i f ) + v m i n if) > о . |
Поэтому в точке t0 при достаточно малых р правая часть
равенства (3.8) положительна. По непрерывности она поло жительна и в некоторой окрестности U0, /0 + А/) точки t0.
Значит, в этой окрестности
|
|
dV (І/dt х°} > 0- |
|
|
Таким |
образом, |
имеется частное |
решение |
уравнения |
(1.4), вдоль |
которого |
в пределах сколь угодно |
малой ок |
|
рестности точки і0 |
|
it > g, |
|
|
|
V (t,x (t))> V (t0,x { t 0)) |
|
||
и, значит, условия устойчивости не выполняются. Теорема доказана.