книги из ГПНТБ / Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем

(так как Bty — скаляр). Но, с другой стороны, так как g — ортонормированный базис,

II

ВкУ= ( S ВіУві, ek) = (By, ek).

(=i

Учитывая последнее соотношение, из (3.2) непосредст­ венно приходим к (3.1).

Теперь легко установить, что оператор В, определенный соотношением

является сопряженным по отношению к оператору А. Дей­ ствительно, если А * — оператор, сопряженный оператору А, то для произвольных х и у

обозначим матрицу сопряженного оператора А* в том же базисе. Имеем

Таким образом, в ортонормированном базисе сопряжен­ ным операторам А и А* отвечают сопряженные матрицы

Аи А*.

3.2.Собственные векторы и собственные значения эрми­

това оператора. Линейный оператор Н называется эрмито­ вым, если он совпадает со своим сопряженным: Н = Н*.

Для изучения свойств собственных значений и собствен­ ных векторов эрмитова оператора Н нам понадобится

Л е м м а 3.1. Пусть А — линейный оператор в вектор­ ном пространстве R надполем комплексных чисел дъ, а I — инвариантное подпространство пространства R. Тогда оператор А имеет в подпространстве / хотя бы один соб­ ственный вектор.

Условие того, что л: является собственным вектором опе­ ратора А , отвечающим собственному значению X, т. е. ра­ венство

А х = Хх,

3 3 2 К В А Д Р А Т И Ч Н Ы Е И Э Р М И Т О В Ы Ф ОРМ Ы [ГЛ . X II I

в силу (3.4) и (3.5) можно записать в виде

к / к \ п

Условием существования ненулевого решения однород­ ной системы (3.6) является равенство нулю его определи­ теля:

и потому имеет по крайней мере один (вообще говоря, комп­

—собственным вектором оператора Д.так как А х 0 = Я0л:0. Лемма доказана.

Ле м м а 3.2. Собственные значения эрмитова операто­ ра вещественны.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть х — собственный век­ тор, а Я — соответствующее собственное значение эрмитова оператора Н, так что

Н х = Хх (х Ф 0).

$ 3] Л И Н Е Й Н Ы Е О П Е Р А Т О Р Ы В У Н И Т А Р Н О М П Р О С Т Р А Н С Т В Е 3 3 3

Вектор X} принадлежит одномерному подпространству /, порожденному вектором е. Вектор же х —х х принадлежит подпространству R lt так как

(X — х ѵ е) = {X, е) — (хѵ е) = (х, е) — (х, е) = 0.

Это значит, что Н х £ R v т. е. оператор Н переводит век­ торы из R r в векторы того же подпространства R v что до­ казывает инвариантность подпространства R 1 относитель­ но эрмитова оператора Н.

Т е о р е м а 3.1. В п-мерном унитарном пространстве R существует п попарно ортогональных собственных векто­ ров эрмитова оператора Н. Соответствующие им собствен­ ные значения вещественны.

хотя бы один собственный вектор ех оператора Н. Совокуп­ ность векторов из R, ортогональных вектору еѵ согласно лемме 3.3 образует (п — 1)-мерное подпространство R v инвариантное Н. В этом подпространстве оператор Н имеет хотя бы один собственный вектор е2. Далее, совокупность векторов из R lt ортогональных е2, образует (п — 2)-мерное инвариантное подпространство R z, в котором оператор Н имеет по крайней мере один собственный вектор е3, и т. д. Следуя этим путем, мы получим искомую систему п попарно ортогональных собственных векторов е1г е2....... еп. Соглас­ но лемме 3.2 соответствующие собственные значения вещест­

Соотношение (3.8) свидетельствует о том, что в выбран­ ном базисе матрица эрмитова оператора Н имеет диагональ­ ную структуру, причем диагональные элементы матрицы вещественны.

Допустим теперь, что матрица некоторого оператора Н в ортогональном базисе имеет вид

ратора Н* в ортонормированном базисе получается из матрицы оператора Н транспонированием и заменою каж­ дого элемента комплексно сопряженным. Проделав это, убеждаемся, что Л = Л*, т. е. операторам Н и Н *

тором матрица оператора диагональна и вещественна.

Наконец, отметим еще одно свойство собственных векто­ ров эрмитова оператора: собственные векторы эрмитова оператора, отвечающие различным собственным значениям, взаимно ортогональны. В самом деле, пусть

и, следовательно,

((U*U— E )x ,y ) = 0.

Но это равенство выполняется для любых х и у только тог­ да, когда U*U = Е, т. е. когда U унитарен.

При X = у имеем

(Ux, Ux) = (х, х).

Значит, унитарный оператор сохраняет длину векторов. Выберем в R ортонормированный базис g = (eh e2... e„), и пусть U — матрица унитарного оператора U в этом ба­

зисе. Тогда

Сопряженному оператору U* соответствует в ортонормированном базисе сопряженная матрица ІІ*\

где E — единичная матрица. С другой стороны, принимая во внимание (3.9) и (3.10), имеем

Матрица U, обладающая свойством (3.11), называется унитарной матрицей. Таким образом, унитарному опера­ тору в ортонормированном базисе отвечает унитарная мат­ рица.

Пусть U — унитарный оператор в R, а g = (ег, е2...е„) — ортонормированный базис в R. Оператор U переводит си­ стему векторов ех, е2, ..., еп в новую систему g lt g 2.......g n, так что если & = (g1 g 2 ... g„), то

нормированный базис $ ( $ х$ = Е), унитарен: U*U = Е.

ортонормированный базис в ортонормированный базис. Так как матрица унитарного оператора в ортонормиро-

ванном базисе является унитарной, а переход от ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису совершается унитарным преобразованием, то матрица пе­ рехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису является унитарной.

З а м е ч а н и е . Пусть g и $ — заданные ортонорми­ рованные базисы. Тогда матрица перехода от базиса g к базису $ в соответствии с равенством

& = &

эрмитову матрицу Н порядка п. Будем рассматривать Н как матрицу эрмитова оператора Н в ортонормированном ба­

В пространстве R существует ортонормированный базис g = (ег, е2...еп), в котором матрица оператора Н диагональна и вещественна (см. п.3.2). Обозначим эту матрицу через Л. Тогда

Далее, существует унитарная матрица U, которая пре­ образует ортонормированный базис gß ортонормированный базис $■:

Подставляя (3.17) в (3.15), получаем

Щ = g и н и ~ \

Отсюда, сравнивая с (3.16), находим

Л = и н і г \

ИЛИ

л = и ни*,

так как в силу унитарности матрицы U U* = U~l. Разрешая полученные соотношения относительно мат­

рицы Н, имеем

Н= LT'AU = U*AU.

§4. Линейные операторы в евклидовом пространстве

4.1.Транспонированный оператор. Симметрический оп ратор. Рассмотрим /г-мерное евклидово пространство R и линейный оператор А в нем.

Оператор А' называется транспонированным по отно­ шению к А, если для любых векторов х и у пз R

{Ах, у) = (х .А 'у).

Аналогично тому, как это было сделано в п. 3.1 для со­ пряженного оператора, устанавливается существование и единственность транспонированного оператора А'. Если elt е2, •••> еп — ортогональный базис, то транспонированный оператор можно определить формулой (см. (3.3))

П

А 'у = l] ( y ,A e k)ek, fc=i

где у — произвольный вектор из R.

Далее, в ортонормированном базисе транспонированным операторам А я А' отвечают транспонированные матрицы А и А'. Заметим, что матрица линейного оператора в евк­ лидовом пространстве вещественна.

Линейный оператор А называется симметрическим, если А' = А. Исследуем свойства собственных векторов и соб­ ственных значений симметрического оператора А.

При исследовании свойств собственных векторов и соб­ ственных значений эрмитова оператора в п. 3.2 была ис­ пользована лемма 3.1. В случае векторного пространства над полем вещественных чисел, вообще говоря, нельзя утвер­ ждать, что любой линейный оператор в соответствующем инва­ риантном подпространстве имеет хотя бы один собственный вектор. Однако в отношении симметрического оператора

§ 4 ] Л И Н Е Й Н Ы Е О П Е Р А Т О Р Ы В Е В К Л И Д О В О М П Р О С Т Р А Н С Т В Е 339

в евклидовом пространстве такое утверждение справед­ ливо. Докажем это.

Условие того, что x является собственным вектором опе­ ратора, отвечающим собственному значению Х ( А х = 'кх), приводит к однородной системе алгебраических уравнений

Условием существования ненулевого решения однород­ ной системы (4.2) является равенство нулю ее определителя:

Для доказательства леммы нужно показать, что урав­ нение (4.3) (/г-й степени относительно X) имеет вещественный корень А,0 и что этому корню отвечает вещественное решение

х°, х\, ..., х\ системы (4.2).