Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

17.28 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 4243 / 4443 44 > Следующая >>>

420		П Р И Л О Ж Е Н И Е ^
В самом деле, согласно (10) и (28)
(I * -	л'т I < II К(т)112 1 <			в"- ■II /<(т>Iс, =		ет~,ст.
Если f	(t, т,	е) е= 0, то оценка			(23) принимает вид
		II # (0 IIС со ехР (aiQ>
так как в данном случае можно					положить а3 =		0, и в со
ответствии с этим вместо			(29) для		однородной	дифференци
альной системы получаем оценку
А с и м п т о т и ч е с к а я					о ц е н к а	н а	п р о
м е ж у т к е		tx < t <	t2.	Из	непрерывности		матрицы

Vs(А (т) -f- А* (т)) на [0, L1 следует ограниченность ее соб

ственных значений.				Поэтому		при	фиксированном		е2 б
£ (0, е1) существует такое число о2, что
			о						(31)
			о
	Следовательно (см.			(19)),
		!1«/(01К1'/(0)\|\|ехр(а1Т + а2)
и	тем	более
	Таким образом, имеет место						положительное		число
	Л е м м а		4. Существует			такое	положительное		число
еі	Ео. что		для каждого		фиксированного			числа е2 £ (0, ех)
можно указать такое с >					0, что любое решение у (t) одно
родного уравнения (14),				начальное значение которого ограни
чено условием				IIУ (0) К		с0,
				IIУ (0) К		с0,
будет удовлетворять неравенству
	Обратимся теперь к неравенству (22).
	При	фиксированном			е2 (в2 £ (0,		ех)),	учитывая	(31),

		АСИМПТОТИЧЕСКИЙ ХАРАК ТЕР РЕШ ЕНИЙ			421
Принимая во внимание, что подынтегральная функция
о		eax)dt"		t\, т. е.
exp I	(р +		ограничена на [0,
г		о

		exp j	(р + еах) dt" < bx	(Ь1> 0),
имеем		V
		\y{t) И<	exp (о, + eaxt) (\|\|у (0) \| + a3bxt).

Отсюда		следует		положительное	число
Л е м м а 5.			Существует такое
ех <	е0, что любое решение у (t) неоднородного уравнения
(12),	начальное значение которого ограничено условием

		10(0) \|\|< с0,
на промежутке 0 <		t С	L/e2, где е2 — фиксированное число
из интервала (0, е^, допускает оценку
	IIУ(0 II <	ехр (а2+ ахЦ (с0 +			a3bxt).
Используя лемму		5 и принимая во			внимание, что		t £
£ [0, L/e2],	имеем
аъIIУ (i) II +	ав < а-0exp (а2+ axL) (с0 +			афх ^ -) +		ав<	а8.
Тогда (см. (27))
	/
IZ (0 II < IIZ (0) I exp J ( Р +			еа4) dt +
	6	t	t
	+ sm+l(78 \ exp I ( p -f ea4) df'dt' •<
		6	/•
		<	exp (a2+ ea4t) (\|\|z (0) \|\| +			em+'asb2t),
где b2 — положительное число такое,				что
		о
	ехр ] (р + m 4) d f <			b2,
		Г
и, далее, так как t £ [0, і/в2],
IIг (t) I < ехр (а2 +			a4L) (\|\|z (0) \|\| +	em+la8&2 -£-)■

Полученное неравенство доказывает следующее поло жение.

422 П РИ Л О Ж Е Н И Е

Л е м м а

б. Пусть

II0(0)||<с0. ||2(0)||< е"'+ 1с10.

^ ^ ®о>

Тогда существует такоеп

положительноеЧ М Ь Ш Ш І Л І

число

п ППЯ КП'игг\гэг\

rhti

ш ж

у с .

... -

/л

Ej)

можно

что для каждого

фиксированного

числа

е, €

(0,

указать с1 >

0 такое, что

І 2 ( 0 |< е т+1с1,

е„

Теперь можно оценить погрешность приближенного ре

шения хт. Имеем

II А'

Х т II■< II К {т) IIIIZ||.

Отсюда, используя лемму

получаем

II -Y — *J <

II К {т) II em+1c1 = em+lст.

Таким образом, мы пришли к следующей теореме.

Т е о р е м а

2. Пусть

х ( 0 ) = х т(0).

Тогда существует такое число е, > 0, что при

Фикса-

Р ен н о м

<е* «

<0 ’ £.»

некотором

с,

на

'м> lg] er 10,

L/e,J

имеет место оценка

сегменте

II А‘ (0

хт(О II -С cmem+l

(е < е2,

t £

[tlt tt|).

Полученные оценки устанавливают асимптотический ха рактер приближенного решения (2) уравнения (1).

ЛИТЕРАТУРА

1. Б е л л м а н Р., Введение в теорию матриц, «Наука», Москва, 1969.

2.Б е л л м а н Р., Теория устойчивости решений дифференциальных уравнении, ИЛ, Москва, 1954.

3. Б е с е к е р с к и й В. А., П о п о в Е. П., Теория систем авто матического регулирования, «Наука», Москва, 1966.

4.Б о г о л ю б о в Н. Н ., О некоторых статистических методах в математической физике, Изд. АН УССР, Львов, 1945.

5.Б о р с к и й В., О свойствах импульсных переходных функций


	систем с	переменными		параметрами, Автоматика и телемеханика,
	т. 20, №	7, 1959.
6.	Б у л г а к о в		Б. В.,	Колебания, Гостехиздат, Москва, 1954.
7.	В а з о в В.,		Асимптотические разложения решений обыкновен
	ных дифференциальных уравнении, «Мир», Москва, 1968.

8.В а с и л ь е в а А. Б., Асимптотические методы в теории диффе ренциальных уравнений с малым параметром при старшей произ водной, Пятая летняя математическая школа, Изд. АН УССР, Ки

	ев, 1968.
9.	Г а н т м а х е р	Ф.	Р., Теория	матриц, «Наука»,	Москва,
	1967.
10.	Г а н т м а Xе р Ф. Р.,		К р е й н М. Г., Осцилляционные матрицы
	и малые колебания механических систем, Гостехиздат, Москва —
	Ленинград, 1950.
11.	Г е л ь ф а н д	И. М., Лекции по линейной алгебре, «Наука», Моск
	ва, 1971.
12.	Д а л е ц к и й Ю. Л .,		К р е й н М.	Г., Устойчивость	решений
	дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, «Наука»,
	Москва, 1970.

13.Д а л е ц к и й Ю. Л ., К р е й н С. Г., О дифференциальных урав нениях в гильбертовом пространстве, Украинский математический

журнал, т. 2, № 4, 1950.

14. Д е Б р е й н Н. Г., Асимптотические методы в анализе, ИЛ, Москва, 1961.

15.Д е м и д о в и ч Б. П., Лекции по математической теории устой чивости, «Наука», Москва, 1967.

16.Д у б о ш и н Г. Н ., Устойчивость движения, Механика в СССР за 30 лет, «Общая механика», Гостехиздат, Москва — Ленинград,

1950.

4 2 4			Л И Т Е Р А Т У Р А
17.	З а д е	Л. , Д е з о е р	Ч., Теория линейных	систем,	«Наука»,
	Москва,	1970.
18.	К а м е н к о в Г. В.,		Об устойчивости движения на конечном			ин
	тервале	времени, Прикладная математика и		механика,	т.	17,
	вып. 5,	1953.

19.К а м е н к о в Г. В., Л е б е д е в А. А., Замечания в статье «Об устойчивости движения на конечном интервале времени», Приклад ная математика и механика, т. 18, вып. 4, 1954.

20.К о д д и и г т о н Э. А., Л е в и и с о н Н ., Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, ИЛ, Москва, 1958.

21. К о л л а т ц Л . , Задачи на собственные значения, «Наука», Моск ва, 1968.

22.К о р н Г. и К о р н Т., Справочник по математике для научных работников и инженеров, «Наука», Москва, 1968.

23.

К р а с о в с к и й

Н. Н ., Некоторые задачи

теории

устойчивости

движения, Физматгиз, Москва, 1959.

24.

К р ы л о в Н. М.,

Б о г о л ю б о в

Н. Н .,

Введение в

нелиней

ную механику, Изд. АН УССР, Киев, 1937.

25.

К у р о ш А .

Г.,

Курс

высшей

алгебры,

«Наука»,

Москва,

1971.

26.

Л а п п о - Д а и и л е в с к и й И. А.,

Применение

функций

от

матриц к теории линейных систем обыкновенных дифференциальных

уравнений, Гостехнздат,

Москва,

1957.

27.

Л е б е д е в

А.

А.,

Об

устойчивости

движения на

заданном

ин

тервале времени,

Прикладная

математика

и механика,

т.

18,

вып. 2, 1954.

28.Л е т о в А. М., Устойчивость нелинейных регулируемых систем, Физматгиз, Москва, 1962.

29.Л у р ь е А. И., Некоторые нелинейные задачи теории автомати

ческого регулирования,	Гостехнздат,	Москва — Ленинград,
1951.

30.Л я п у н о в А. М., Общая задача об устойчивости движения, Гос технздат, Москва — Ленинград, 1950.

31.Л я щ е н к о Н. Я., Об одной теореме разделения линейных диф

ференциальных уравнений, Доклады АН СССР, т. 97, № 6, 1954.

32.М а л к и н И. Г., Теория устойчивости движения, «Наука», Моск ва, 1966.

33.М и т р о п о л ь с к и й Ю. А., Проблемы асимптотической теории нестационарных колебаний, «Наука», Москва, 1964.

34. М и Xа й л о в	Ф. А., Т е р я е в Е. Д .,	Б у л е к о в В. П.,
С а л и к о в Л.	М., Д и к а н о в а Л. С.,	Динамика непрерыв

ных линейных систем с детерминированными и случайными парамет рами, под ред. Б. Н. Петрова, «Наука», Москва, 1971.

35. М о и с е е в Н. Д ., Обзор развития неляпуновских теорий устой чивости, Записки семинара по теории устойчивости движения, вып. 1, 1946.

36. М о и с е е в	Н. Н ., Асимптотические методы нелинейной механи
ки, «Наука»,	Москва, 1969.

37.Основы автоматического управления, под ред. Пугачева В. С., «Наука», Москва, 1968.

Л И Т Е Р А Т У Р А

4 2 5

38. П а р о л и М., Локализация характеристических чисел матриц и

ее приложения, ИЛ, Москва, 1960.

39.П о н т р я г и и Л. С., Обыкновенные дифференциальные уравне ния, «Наука», Москва, 1970.

40.	П у г а ч е в	В. С.,	Об	асимптотических		представлениях			интегра
	лов систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений,
	содержащих	параметр,		Математический	сборник,		т.	15 (57), № 1,
	1944.
41.	Р а п о п о р т И.		М.,	О некоторых	асимптотических				методах
	в теории дифференциальных уравнений,					Изд.	АН	УССР, Киев,
	1954.

42.Р а п о п о р т И. М., Об устойчивости регулируемых процессов, Доклады АН СССР, т. 158, № 2, 1964.

43.Р о й т е н б е р г Я- Н., Аавтоматическое управление, «Наука»,

Москва, 1971.
44. Р у м я н ц е в В. В., Метод функций	Ляпунова в теории устой
чивости движения, Механика в СССР за 50 лет, т. I, «Общая и при
кладная механика», «Наука», Москва,	1968.

45.Современная теория систем управления, под ред. Леондеса, «Наука», Москва, 1970.

46. С о л о д о в А. В. П е т р о в Ф. С.,	Линейные автоматические
системы с переменными параметрами,	«Наука», Москва, 1971.

47.С т р е л к о в С. П., Введение в теорию колебаний, «Наука», Моск ва, 1964.

48.Т а м а р к и н Я- Д - , О некоторых общих задачах теории обык

новенных линейных дифференциальных уравнений и о разложении произвольных функций в ряды, Петроград, 1917.

49.Т е р р и т т и н X . Л ., Асимптотическое разложение решений си

стем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, со держащих параметр, Сб. перев. «Математика», 1 : 2, ИЛ, 1957.

50.Ф а д д е е в Д. К-, Ф а д д е е в а В. Н., Вычислительные методы линейной алгебры; Физматгиз, Москва, 1963.


51.	Ф е л ь д б а у м А .		А., Б у т к о в с к и й А. Г., Методы		теории
	автоматического управления, «Наука», Москва, 1971.
52.	Ф е щ е н к о С. Ф.,		Ш к и л ь Н. И., Н и к о л е н к о		Л.	Д.,
	Асимптотические методы в теории линейных			дифференциальных
	уравнений, «Наукова думка», Киев, 1966.
53.	Ф р е з е р	Р., Д у н к а н В ., К о л л а р А.,		Теория матриц и ее
	приложения	к дифференциальным уравнениям		и динамике,		ИЛ,

Москва, 1950.

54.X и л л е Э., Ф и л л и п с Р., Функциональный анализ и полу группы, ИЛ, Москва, 1962.

55.Ч е з а р и Л ., Асимптотическое поведение и устойчивость решений

обыкновенных	дифференциальных	уравнений, «Мир», Москва,
1964.
66. Ч е р н е ц к и й	В. И., Д и д у к	Г. А ., П о т а п е н к о А. А.,
Математические методы и алгоритмы исследования автоматических
систем, «Энергия», Ленинградское		отделение, 1970.

57.Ч е т а е в Н. Г., Об одной мысли Пуанкаре, Сб. научных трудов Казанского авиационного института, № 3, 1935.

58. Ч е т а е в Н. Г., Устойчивость движения, «Наука», Москва, 1965.

4 2 6

Л И Т Е Р А Т У Р А

59.Ч ж а н С ы - и н, Об устойчивости движения на конечном интер вале времени, Прикладная математика и механика, т. 23, вып. 2, 1959.

60.Ш т о к а л о И. 3., Критерий устойчивости и неустойчивости реше

ний линейных дифференциальных уравнений с квазипериодическими коэффициентами, Математический сборник, т. 19 (61), № 2, 1946.

61.Ш т о к а л о И. 3., Линейные дифференциальные уравнения с пере менными коэффициентами, Изд. АН УССР, Киев, 1960.

62.Э р д е й и А., Асимптотические разложения, Физматгиз, Москва, 1962.

63.А б г а р я н К- А., Асимптотическое расщепление уравнений

регулируемого процесса при медленном изменении параметров регулируемого объекта и системы регулирования, Доклады АН СССР, т. 158, № 3, 1964.

64.А б г а р я н К- А., Приведение квадратной матрицы к квазиднагональному виду и разложение ее на составляющие, Известия АН Арм. ССР, Физико-математические науки, т. 18, № 2, 1965.

65.А б г а р я н К. А., Метод асимптотического расщепления системы линейных дифференциальных уравнений, Известия АН Арм. ССР, Математика, т. 1, № 2, 1966.

66.	А б г а р я н		К-	А.,	Об асимптотическом		интегрировании уравне
	ний регулируемого				процесса,	Доклады	АН	СССР, т. 177,	№	4,
	1967.
67.	А б г а р я н		К-	А.,	Об устойчивости движения на конечном про
	межутке	времени, Прикладная				математика и		механика,	т.	32,
	вып. 6,	1968.

68.А б г а р я н К. А., Канонические преобразования уравнений не стационарной системы регулирования, Автоматика и телемеханика,

№ 2, 1969.

69.А б г а р я н К- А., Асимптотическое преобразование уравнений не стационарной линейной системы и критерии устойчивости, в сб. «Тео рия и проектирование систем автоматического управления летатель ными аппаратами» под ред. Б. Н. Петрова, «Машиностроение».

1970.

70.А б г а р я н К- А., Одно формальное преобразование системы ли- . нейных дифференциальных уравнений, Известия АН Арм. ССР, Математика, т. 5, № 4, 1970.

71.А б г а р я н К- А., К теории нестационарных систем автомати ческого управления, Доклады АН СССР, т. 194, № 2, 1970.

72.А б г а р я н К- А., Одно асимптотическое преобразование линей ной дифференциальной системы, Известия АН Арм. ССР, Матема тика, т. 6, № 5, 1971.

73.А б г а р я н К- А ., Об устойчивости движения на заданном про

	межутке времени,		Известия	АН Арм. ССР, Механика,	т. 25, № 5,
	1972.
74.	C a m p b e l l Н. G., Matrices with applications, New York, Apple-
	ton — Century — Crofts, 1968.
75.	C u l l e n	Ch. G.,	Matrices	and linear transformations,		London,
76.	1966.	H ., Linear time-varying systems: analysis			and	synthe
76.	D a n g e l o	H ., Linear time-varying systems: analysis			and	synthe
	sis, Allyn and Bacon, Boston,			1970.

Л И Т Е Р А Т У Р А

4 2 7

77.

F г а п к 1 і п

N.,

Matrix

theory,

Englewood

Cliffs

(N. J.),

78.

1968.

und S t a h l

H ., Matrizen

und Determinanten

und

G ü n t h e r

ihre Anwendung in Technik und Ökonomie, Leipzig, 1966.

79.

M о о r e

J. Th.,

Elements of

linear algebra and matrix

theory,

New

York,

1968.

80.

P e а s e

M. C ,

Methods of matrix algebra,

Akademie

Press,

New

York and

London,

1965.

81.

R e i d

W. T.,

matrix differential

equation

of Riccati type, Ame

rican Journal of Mathematics,

vol. LXVIII, Number, 2, 1946.

82.

W a z e w s k i

T., Sur la limitation

des intégrales

des

systemes

d'équations

differentielles linéaires ordinaires,

Studia

Mathematica,

83.

t. X, 1948.

1 n f а n t e

E. F.,

the stability of sistems

W e i s s

L. and

fined over a finite

time

interval, Proc. Nat. Acad. Sei. (USA)

vol. 54,

84.

1965.

A., Bounded matrices and

linear differential equations,

W i n t n e r

American

Journal

Methematics,

vol.

LXXIX,

Number 1,

1957.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Алгебраическое дополнение 20

Аннулирующий многочлен векто
ра 68
------------	минимальный	68
------- матрицы 71
------------	минимальный	71

------- пространства 69 Асимптотическая устойчивость 357

Базис векторного		пространства
34
— Жорданов 91
Билинейная	форма	327, 344
— эрмитова	форма	326
Биортогональность		172
Блочная матрица 22, 23
Боголюбова	метод	414

Важевского неравенства 371 Вектор 11, 30

—нормированный 324

—порождающий 83 Векторное пространство 30

--------бесконечномерное 34

--------л-мерное 34 Векторы линейно зависимые 32

------- независимые 32 Весовая функция 259 Возмущение 355

Гамильтона — Кэли теорема 99 Главный минор 13 Гронуолла — Веллмана лемма 144

Дельта-функция Дирака 256 Дефект матрицы-оператора 45

—матричного многочлена 97 Диагональ матрицы 12

—— главная 12 Диагональная матрица 17

Дискриминант квадратичной фор мы 345

Дискриминант эрмитовой формы 351

Длина вектора 323 Евклидова метрика 326

— норма матрицы 140 Евклидово пространство 327 Единичная матрица 18

Жорданов базис 91
Жорданова		матрица 97,			107
— цепочка 91
Жордановы		клетки	97,	108
Закон	инерции		квадратичных
форм 347
------- эрмитовых форм				351
Изоморфные		линейные		простран
ства	37
Импульсная		переходная			функ
ция	258
Инвариантные многочлены 93
Интеграл матрицы			132
Квадратичная форма 327, 344
-------	неотрицательная 349
— — неположительная 349
------- отрицательно			определен
ная 349
------- положительно			определен
ная 349
--------,	приведение		к	главным
осям	349

Квадратичные формы, закон инер ции 347

Квадратная матрица 12 Квазидиагональная матрица 24 Классы векторов 78 Клетки Жордана 108

Коммутативные матрицы 17 Компоненты вектора 35 Конгруэнтные матрицы 345 Координаты вектора 35

— механической системы нор мальные 311

								ПРЕДМ ЕТНЫ Й УКАЗАТЕЛЬ													429
Лемма			Гронуолла — Веллма									Матрицы конгруэнтные								345
на 144												—	перестановочные						17
Линейно			зависимые					векторы			32	■— подобные 52
—	независимые векторы 32											Матричный				ряд	141
Линейное			векторное					пространст				Метод		Боголюбова 414
во 30												— Эйлера			158
— преобразование 27												Метрика евклидова 326
Линейный оператор							39, 50					— эрмитова 323
--------,		собственное значение 53										--------неотрицательная 323
------- ,		собственный					вектор			53		------- положительно							определен
													ная	323
Матрица			И									Минор		главный			13
— блочная				22,		23						— матрицы				13
—	верхняя			квазитреугольная							24	Многочлен				вектора			аннулирую
— — треугольная							24						щий	68
—	вырожденная					12						-------- минимальный							68
— диагональная						17						— матрицы				аннулирующий					71
—	единичная				18								минимальный 71
— жордапова 97, 107												—	пространства						аннулирую
—	квадратная				12								щий 69
—	квазидиагональная								24			-------- минимальный							70
—	Коши		149									—	характеристический							54,	93
—	Ляпунова 374											Многочлены				инвариантные					93
—	невырожденная						12,		18			Неравенства				Важевского 371
—	неособенная					12,	18					Неравенства				Важевского 371
—	нижняя			квазитреугольная							24	— Сильвестра 45
—	— треугольная						24					Норма матрицы 140
—	нулевая			13								-------		евклидова				140
—	обратная			20								-------		эрмитова			140
—	ортогональная 342											Нормальная				форма			матрицы вто
■— особенная					12								рая	естественная					90
—	переходных функций многомер											—	--------жорданова						91
	ной	системы				264						— ------- первая естественная 89
■—	присоединенная						19					—	частота		311
—	проекционная 61											Нормальные				координаты механи
—	простой			структуры					58,	168			ческой системы					311
—	прямоугольная 11											Нормированный						вектор		324
—	сдвига 91,				125							Нулевая матрица						13
— симметрическая							22					Обратная			матрица 20
— скалярная					17							Обратная			матрица 20
— сопряженная						21						Оператор			линейный				39,	50
— союзная				19								—	неособенный				52
— столбцовая					11							— обратный 53
— строчная				11								— ортогональный 342
— транспонированная 21														второго рода					342
—	унитарная				336							— — первого рода 342
— фундаментальная								149				— особенный 52
—	характеристическая								93			—	проекционный					60
— эрмитова				22								—	простой			структуры				57
— эрмитово-сопряженная 21												— симметрический							338
Матрицант				150								— сопряженный						329
Матрицы коммутативные 17												— транспонированный 338

<<< < Предыдущая 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 4243 / 4443 44 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
03.11.20234.21 Mб38ba0501.djvu
#
10.05.2024227.33 Кб9Panel.doc
#
29.10.202310.49 Mб19Pushkov N.V. Quiet Sun.pdf
#
29.10.20232.39 Mб9А. А. Якубов библиография.pdf
#
03.11.20232.9 Mб61А.В.Никонов, Л.З.Папернов. - Измерители уровня звуковых сигналов-Радио и связь (1981).djvu
#
25.10.202317.28 Mб97Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf
#
19.10.20232.3 Mб61Абдуллаев, Я. Р. Электромагнитные устройства с индукционной подвеской учебное пособие.pdf
#
25.10.202315.35 Mб72Абелев М.Ю. Слабые водонасыщенные глинистые грунты как основания сооружений 8-й междунар. конгресс по механике грунтов и фундаментостроению.pdf
#
20.10.20237.92 Mб60Абжирко, Н. Н. Влияние вибрации на характеристики радиолокационных антенн.pdf
#
23.10.20236.9 Mб51Абовский Н.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек учеб. пособие.pdf
#
29.10.20232.32 Mб67Абраменко Б.С. Сборник задач по теоретическим основам эксплуатации радиотехнических средств.pdf