Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

17.28 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 3738 / 4438 39 40 41 42 43 44 > Следующая >>>

Г л а в а XV

НЕКОТОРЫЕ УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПРОЦЕС СОВ НА ЗАДАННОМ ПРОМЕЖУТКЕ ВРЕМЕНИ

§1. Оценка нормы решения линейной системы

1.1.Неравенства Важевского. Пусть х (t) — произволь ное решение линейного дифференциального уравнения

-2Г = ^ (0 *

(1-1)

с непрерывной на [/„, Т) матрицей U. Оценим норму этого решения.

Переходя в (1.1) к эрмитово сопряженным матрицам, имеем

( 1. 2)

Умножая (1.1) слева на х*, а (1.2) справа на х и склады вая результаты, получим дифференциальное уравнение отно сительно нормы столбцовой матрицы х:

	d IMP	— 2x*Sx,
	dt
где 5 =	1/2 (U + U*) — эрмитова		матрица.
Для	эрмитовой формы	х*5х имеет место оценка (см.
гл. XIII,	§ 6)
	^min (О I Х\|\|2 < X*S (t) X <		Xmi„ (t) IX f,

где A.min и A,max — соответственно минимальное и максималь ное собственные значения матрицы 5. Учитывая это, нахо дим

2Amin||x f < І М - < 2 Я , 11ах||х||а.

§ 1] О Ц Е Н К А Н О РМ Ы Р Е Ш Е Н И Я		Л И Н Е Й Н О Й С И С Т Е М Ы	371
Интегрируя последнее соотношение в пределах от t0 до
t, получим	неравенства
	I	t
I -X(t0) I exp	j ^rain (т) dr < IIX (t) II <	IIX ( g II exp j Xmax(r) dr, (1.3)

именуемые часто неравенствами Важевского [82].

Оценка (1.3) нормы решения дифференциальной системы (1.1), вообще говоря, тем лучше, чем «ближе» матрица U

кдиагональной. Это наводит на мысль, что оценка нормы решения может быть улучшена, если прибегнуть к такому преобразованию, которое «приблизило» бы матрицу системы

кдиагональной матрице (а еще лучше, разумеется, если преобразованная система будет иметь диагональную матри цу). Ниже делается попытка улучшения оценки нормы ре шения дифференциальной системы указанным путем.

1.2.Две леммы о собственных значениях эрмитовой мат

рицы.

Ле м м а 1.1. Для того чтобы эрмитова матрица А (порядка п) была представима в виде

А — В*В,

(1.4)

где В — некоторая, вообще говоря, прямоугольная п X т- матрица, необходимо и достаточно, чтобы она не имела отрицательных собственных значений.

Н е о б х о д и м о с т ь . Матрица А, как эрмитова мат рица, имеет только вещественные собственные значения. Покажем, что все собственные значения матрицы А неотри

цательны.	форма хВВх,	где	х — произвольная	п X
Эрмитова
X 1-матрица,	представляет собой		квадрат эрмитовой	нор
мы столбцовой матрицы Вх,		и потому
	хАх — хВ*Вх > 0 .			(1.5)

Через Т обозначим унитарную матрицу (Т * = Л-1), которая преобразует эрмитову матрицу А к диагональному виду D (D = diag (р1; р2, ..., рл), р;- — собственные значе ния матрицы А). Тогда

А = T ~ XDT — T*DT.

(1.6)

Подставив (1.6) в (1.5), получаем

z*Dz > О,

(1-7)

372	Н Е К О Т О Р Ы Е У С Л О В И Я У С Т О Й Ч И В О С Т И			[ГЛ . X V
где
	z — Тх =
	Учитывая (1.7), имеем
	І і	р/1 г, I2 > 0.
	/=і			zf тог
	Последнее соотношение справедливо при любых			zf тог
да и только тогда, когда
	Р /> 0	( /= 1, 2,	, п).	(1.8)
Д о с т а т о ч н о с т ь .		Пусть	выполняется	условие

(1.8). Тогда в качестве матрицы В можно принять матрицу

0 ‘

Ѵ р„

При этом, как это следует из равенства (1.6), В*В = А. Лемма доказана.

Л е м м а 1.2. Пусть А (і)— эрмитова матрица по рядка и, допускающая на промежутке /0 < / < Т разложе ние

А = В*В, где В — квадратная матрица того же порядка п, причем

1)	В (t) ограничена на [/„, Т), /п. е.
	sup IIS (0 1 < оо	(t £	[tQ,	Т)),
2)	\|d e t S ( 0 \|> a > 0	(t £	[t0,	T)).

Тогда собственные значения матрицы А на промежутке [t0, Т) ограничены снизу некоторой положительной постоян ной, т. е.

Pi (t )> d> 0

(t£[t0,T)).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Определитель квадратной матрицы равен произведению всех ее собственных значений

$ 1] О Ц Е Н К А Н О Р М Ы Р Е Ш Е Н И Я Л И Н Е Й Н О Й С И С Т Е М Ы									3 7 3
(с учетом	их	кратностей):			П
			det А (t) =		П	р/ (t)
			det А (t) =		П	р/ (t)
(см. гл. IV, § 6).									неот
По лемме 1.1 собственные значения ps матрицы А									неот
рицательны,		поэтому и
			I det А (01 =		П	р,(/).
При условиях леммы					/=і
При условиях леммы
I det ЛI =	I det ß* det Л j = \| detß \|2 > a 2> 0							(t £ [t0, T)).
Значит,
				П
				П P/ (0 >	a2 > 0.				(1.9)
				/=i
Учитывая ограниченность нормы матрицы В, находим
P;<H\|\|<\|\|ß*\|\|\|\|ß\|\|<JV<cx>							(t£[t0,T))		(1.10)
(N — положительная				постоянная).
Пусть		Pmin — min (Pj, Р2 ,				• • •	, Рл)-
		Pmin — min (Pj, Р2 ,				• • •	, Рл)-
Тогда, принимая во внимание (1.10), получим
			П рД гХ Рты Л Г -1.						(1.11)
			/= 1
Сопоставляя неравенства (1.9) и (1.11),								получаем
Отсюда			PminWn- 1> a 2> 0 .
Отсюда		Ршіп(0 >ä>0			(t £[f0, °°)),
где d, =		Ршіп(0 >ä>0			(t £[f0, °°)),
где d, =	a2 ---- положительная постоянная.
Лемма доказана.
1.3.	Еще одна			оценка. Рассмотрим линейное преобразо
вание				x = K ( t) y ,					(1.12)
				x = K ( t) y ,					(1.12)
матрица которого обладает следующими свойствами:
1) К (t)	и	-jj-	ограничены		на	промежутке \ta, Т), т. е.
sup!Я	ю	н	о е .	sup ак		<	оо	(‘ е ^о, т}),
				(	dt

3 7 4	Н Е К О Т О Р Ы Е	У С Л О В И Я У С Т О Й Ч И В О С Т И		[ГЛ. X V
2) I det К (О I > а >		0	(t £ [t0, Т), а — некоторая поло
жительная постоянная).
Заметим, что если свойства 1) и 2) выполняются на про
межутке	Н0, оо), то К (0		называется матрицей	Ляпунова,

а преобразование (1.12) при этом называется преобразова нием Ляпунова.

Допустим, что с помощью преобразования (1.12) уравне

ние (1.1) приводится к виду
■%- = Л (% .	(М 3)

Оценим норму решения х (t) уравнения (1.1), удовлетво ряющего начальному условию

*(*о) = По

этому решению соответствует решение у (t) уравнения (1.13), отвечающее начальному условию

У ІК) =	0о = Я -1 (*о)Не
согласно (1.12)	= уККу.
II x f	= уККу.
Отсюда, учитывая, что
Pmin fl У\|\|2 ^	УККу Ртах \|\|У\|\|2,

где Ртіп и ртах — соответственно наименьшее и наибольшее собственные значения матрицы К*К, находим

	I^Pmin IIУ К	IIх II ^ V Ртах IIУ II		(1-14)
(по лемме 1.2 pmin, ртах >		d > 0).
Норма	решения у (/)	уравнения (1.13)	удовлетворяет
неравенствам
t
ІУоІІехр j	(Ä,min “f" ^min) dx	Iу I
		t
	<1Ы 1ехр J (Я.max		^max)dx,	(1.15)

где Xmin, \ max — соответственно минимальное и максималь ное собственные значения матрицы Ѵ2 (Л + Л*), а ѵтіП. ѵтах — соответственно минимальное и максимальное собст венные значения матрицы Ѵ2 (Я + Я*). Неравенства (1.15) устанавливаются тем лее путем, что и неравенства (1.3).

5 I] О Ц Е Н К А Н О РМ Ы Р Е Ш Е Н И Я Л И Н Е Й Н О Й С И С Т Е М Ы

375

	Объединяя (1.14) и (1.15), получаем
				t
~)/~pm1п II		Уо II 6Хр		j (^mln 4” ^m In) d x			\|\| X \|\| ^
				< V p max ll^oll exP ]			ß max 4~ ^max) dx.			(1.16)
	Из (1.14)		имеем			to
	Из (1.14)		имеем
				11*0 II	<	1	ІІ*оII	Ы		<
			1/pmaxW				l^Pmin do)
	Учитывая это, наряду с (1.16)					будем еще иметь неравен
ства
	Ртах '■‘ о)		IIх	о IIexP i (*™іп + Ѵшіп)dx < IIX ( t ) II <
	Ртах '■‘ о)			У‘О
		<		Ртах (О	II х0II exp J (А,тах +			vmax) dx.		(1.17)
				Pmin Ѵ о)
	Последние неравенства можно представить и так:
					t
1*0\|\|ехр		1	I	Prnln W	4" I) (^mln 4" Vmjn)dT			< I U	( 0 i <
		2		Ртах do)	to
					to
				Pmax (0		t
	<11 *oll exP			Pmax (0		I (^max 4 “ v max) d x				(1.18)
	<11 *oll exP				4 “	I (^max 4 “ v max) d x				(1.18)
				Pm In d o )		*0
	При удачном выборе преобразования (1.12), когда Л
«близка» к диагональной матрице, а Н — к нулевой,										оцен
ки	(1.18) могут оказаться существенно лучше,								чем	оцен
ки	(1.3).								п X /г-матриц,
	1.4.		Условия устойчивости.				Класс	/(“	п X /г-матриц,
фигурирующий				в определении		устойчивости на заданном
промежутке			Д ,	определим, приняв CD ( t ) == 1.
	Ясно, что единичная матрица Е принадлежит классу
Кл, так что условия устойчивости будут соблюдены, если
все решения x ( t ) , удовлетворяющие неравенству

ІІ'^о II	< Р ,
удовлетворяют на заданном промежутке U0, Т) неравенству
I U '( 0	I ] < Р-

3 7 6

Н Е К О Т О Р Ы Е У С Л О В И Я У С Т О Й Ч И В О С Т И

[ГЛ. X V

Учитывая это и используя неравенства (1.3) и (1.18), можно сформулировать некоторые достаточные условия устойчивости, соответствующие случаю со (/) = 1.

Как это следует из неравенств (1.3), если

а™, (/) < 0

(/ е [*„, Т)),

то линейный процесс, представленный уравнением (1.1), устойчив на промежутке U0, Т); если

w o = -f>

р е й » «>)).

где b — положительная постоянная, то процесс асимпто тически устойчив на промежутке [/„, с о ) .

Аналогичные условия устойчивости вытекают из нера венств (1.18). Если

	_d_	In	Ртах СО	+	Ä-max (0 Ч -	ѵ т а х (0 0.	t € [*„. °°),
Т	dt		Ртіп «о) _
то	д,.нейцый процесс устойчив на промежутке U„, оо).
	Если
\_ji_			Ртах (0	+	^max (0 +	"Ѵтах	1e i*0, °°).
2	dt		Pmln С^о)

то процесс на промежутке [/„, оо) асимптотически устойчив.

§ 2. О диагонализаиии линейной системы

Т е о р е м а 2.1. Пусть U (і) — квадратная матрица порядка п, непрерывная на |/0, Т). Тогда преобразование

x = K{t)y

(2.1)

сневыроокденной и дифференцируемой на \tQ, Т) матрицей

Кприводит векторно-матричное уравнение

^ T	= V{t)x	(2.2)
к уравнению
^ Г	= Л(і)у	(2.3)

сдиагональной и непрерывной на [t0, Т) матрицей Л тогда

итолько тогда, когда

K(t) = X(t)CZ(t),

(2.4)

♣ 2]	О Д И А Г О Н А Л И З А Ц И И Л И Н Е Й Н О Й С И С Т Е М Ы					3 7 7
где X — единственное решение матричного уравнения
		^	= UX,	X (t0) — Е,		(2.5)
С — постоянная		невырожденная			матрица порядка	п,	а
Z — непрерывно		дифференцируемая и невырожденная					на
U0, Т) диагональная матрица порядка п.
Д о к а з а т е л ь с т в о .				При замене переменных (2.1),
(2.4)	уравнение	(2.2)	принимает		вид
			d y	г г — I d-2j		/ п
		n r = -		z	ЧТУ-	м
В силу свойств матрицы Z матрица преобразованного
уравнения
			A = - Z - ' ^			(2.7)

непрерывна на [t0, Т) и имеет диагональную структуру. Пусть, далее, К (t)— матрица преобразования (2.1),

приводящего уравнение (2.2) к виду (2.3). Тогда эта матри ца представима в форме (2.4). В самом деле, матрица К пре образования уравнения (2.1) связана с матрицами U и Л соотношением кинематического подобия

= UК - КА.

i' Учитывая это и используя (2.5) и (2.7), легко пока зать, что

A ( X - 1K Z - ' ) = о,

т.е. X~ lKZ~{ = const. Отсюда следует (2.4). Теорема доказана.

Из всего множества матриц К, определенных равенством (2.4) , можно выделить подмножество тех, столбцы которых имеют заданную норму. Имея в виду, что С = (сх с2 ...с„) (са — столбцовые матрицы), a Z в общем случае может быть представлена в виде

Z = diag(/-je1'0-, г2еІѲц ... , гпеіѲД,

где ra (t) и Ѳа (t) — непрерывно дифференцируемые веще ственные скалярные функции, причем ra (t) > 0 (ст = 1, 2, ..., п) при всех t из промежутка [£„, Т), в соответствии с

378 Н Е К О Т О Р Ы Е У С Л О В И Я У С Т О Й Ч И В О С Т И (ГЛ. X V

налагаемым на норму столбцов матрицы К условием

\|\|7 С а \|\| =	с х ( 0 > 0	( С Т = 1, 2, . . . ,	п)		(2.8)
имеем
Z = ct(/)diag		J6,	е	п	(2.9)
Z = ct(/)diag		\Хс.	IХ^п		(2.9)
		\Хс.	IХ^п
Таким образом, может быть сформулирована еще сле
дующая	2.2. В условиях теоремы 2.1		при дополни
Т е о р е м а	2.2. В условиях теоремы 2.1		при дополни

тельном ограничении (2.8), где а (t) — непрерывно диффе ренцируемая положительная функция, общее выражение для матрицы преобразования уравнения (2.2) к виду (2.3) представляется соотношением

		К = XCZ,
где Z	определено	равенством (2.9).
С л	е д с т в и е .	В условиях теоремы 2.2

Re А =	diag	d in № 1 1		’	d )n	l\|Xc„\|\|
Re А =	diag	at	а		dt	а
		at	а		dt	а
			dQn	)		( 2. 10)
			dQn	)	•
			dt	I	•
Эти	соотношения		получаются путем подстановки (2.9)
в (2.7).

§ 3. Пучок решений линейной системы

Построим пучок решений векторно-матричного уравне ния (2.2), берущих начало внутри и на поверхности эллип соида

(Но1х0, #(ГЧ>)<Ра.

(3.1)

где Н0 — постоянная квадратная матрица порядка п, столб цы которой имеют норму, равную со° > 0.

Пусть

х = K(t)у

(К = КгКг ■.. Кп))

(3.2)

— преобразование, приводящее (2.2) к диагональному виду

= А (0 У (А = diag (^ , \ ...........

К))

(3.3)

$ з]	П У Ч О К	Р Е Ш Е Н И Й Л И Н Е Й Н О Й	С И С Т Е М Ы	379
при	условиях
	K(t0) = HQ,	\|j/С/(ОII = а (0	(/ = 1,2, . . . .	я),

где а (t) — непрерывно дифференцируемая положительная функция, причем

a(t0) = со°.

Матрица К (t) с указанными свойствами существует, ибо постоянную матрицу С всегда можно выбрать так, чтобы

K(t0) = x ( t 0) c z ( t0) = H0.

В соответствии с (3.2) и (3.3)

t
X — Кехр \h .d ty ü	(у0 = y(t0)).	(3.4)
to
Совокупность вектор-функций (3.4), ограниченная ус
ловием
ІУо, # о )< Р 2>		(3-5)

и определяет пучок решений уравнения (2.2), берущих на чало (при t = t0) внутри и на поверхности эллипсоида (3.1).

Разрешая (3.4) относительно у0 и подставляя выражение для у0 в (3.5), получаем

р2,

(3.6)

где

B(t)= К (0 exp J 2 Re А (t) dt К*(О- to

Введем теперь в рассмотрение квадратную п X п-матри- цу Н (t) = (hlt h2, ..., hn), определенную равенством

НН* = В

(3.7)

при условии, что все ее столбцы при каждом t имеют одну и ту же норму.

Полагая

ІА/(01 = “ о (0 из (3.7) находим

(/ = 1 , 2 ................

я ) ,

<<< < Предыдущая 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 3738 / 4438 39 40 41 42 43 44 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
03.11.20234.21 Mб38ba0501.djvu
#
10.05.2024227.33 Кб9Panel.doc
#
29.10.202310.49 Mб19Pushkov N.V. Quiet Sun.pdf
#
29.10.20232.39 Mб9А. А. Якубов библиография.pdf
#
03.11.20232.9 Mб61А.В.Никонов, Л.З.Папернов. - Измерители уровня звуковых сигналов-Радио и связь (1981).djvu
#
25.10.202317.28 Mб97Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf
#
19.10.20232.3 Mб61Абдуллаев, Я. Р. Электромагнитные устройства с индукционной подвеской учебное пособие.pdf
#
25.10.202315.35 Mб72Абелев М.Ю. Слабые водонасыщенные глинистые грунты как основания сооружений 8-й междунар. конгресс по механике грунтов и фундаментостроению.pdf
#
20.10.20237.92 Mб60Абжирко, Н. Н. Влияние вибрации на характеристики радиолокационных антенн.pdf
#
23.10.20236.9 Mб51Абовский Н.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек учеб. пособие.pdf
#
29.10.20232.32 Mб67Абраменко Б.С. Сборник задач по теоретическим основам эксплуатации радиотехнических средств.pdf