книги из ГПНТБ / Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем
.pdf3 5 0 |
К ВАДРАТИ ЧНЫ Е И ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ |
[ГЛ. X III |
||
Но, так как О — ортогональная матрица, |
|
|||
|
2)5? = 5'5 = |
х'ОО'х = х'х = |
21*1 |
|
|
/*=1 |
П |
/»I |
|
Поэтому, |
учитывая еще, |
что 21 х] есть |
не что |
иное, как |
|
|
>=і |
|
|
квадрат евклидовой нормы столбцовой матрицы х, из (5.14) получаем
Ä-min II x f < х'Ах < Xmex IIJCІі2. |
(5.16) |
§ 6. Эрмитовы формы
Все результаты § 5, установленные для вещественных квадратичных форм, могут быть перенесены на эрмитовы формы
П
Н (х , х ) = |
21 hikX{xk (htk = Tiki, |
i, k = 1,2 .......... n). |
(6.1) |
||||
|
|
t,k=\ |
|
|
|
|
|
Эрмитовой форме (6.1) соответствует билинейная эрми |
|||||||
това форма |
|
П |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
(6.2) |
|
|
|
н (х, у) = |
21 ІикХіУк. |
|
|||
|
|
|
/,*=і |
|
|
|
|
Формы (6.1) и (6.2) можно представить в матричной |
|||||||
записи |
так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
Н(х, х) = X |
Н X — х*Н'х, |
|
(6.3) |
||
|
|
Н(х, у) = х’ Н у = |
у*Н'х. |
|
(6-4) |
||
Здесь |
Н — эрмитова матрица, |
составленная |
из комплекс |
||||
ных чисел hik (i, k = 1, 2, .... /г). |
|
|
|
||||
Если Н |
' рассматривать как матрицу некоторого эрмито |
||||||
ва оператора Н' в унитарном пространстве R в некотором |
|||||||
ортонормированном базисе % = |
(е1 е2... еп), так что |
|
|||||
то |
|
Я 'ё |
= |
W , |
|
|
|
|
hik = (Н’е{, ek) |
(i, k = |
1, 2, . . . |
, п) |
|
||
и |
|
|
|||||
|
И{х, у) = (Н'х, у) = |
(л-, Н'у). |
|
|
|||
|
|
|
|
||||
6.1. |
Замена переменных. При замене переменных |
|
|||||
|
|
х = Т1, |
|
у = Тц |
|
|
|
§ 6] |
Э Р М И Т О В Ы Ф ОРМ Ы |
351 |
билинейная форма (6.4) приводится к виду
Н (х, у) = І ’Нг) = if Я'£,
где
Я = Г Я 7 \ Я ' = Г*ЯТ.
Если Т — невырожденная матрица, то Я и Я имеют один и тот же ранг. Ранг г матрицы Я называется рангом эрмитовой формы.
Определитель матрицы Я — det Я — называется диск риминантом формы. Эрмитова форма с вырожденной матри
цей называется |
сингулярной. |
|
|
|
6.2. Закон инерции. Если эрмитова |
форма приведена к |
|||
виду |
|
|
|
|
|
Я (х, х) = 2 КЫі, |
|
||
|
|
|
і=1 |
|
где Xt Ф 0 (і — 1, 2, |
..., г) — вещественные числа, а |
|||
Іі = |
П |
dikxk |
|
. . . . п) |
2 |
( / = 1 , 2 , |
|||
|
k=1 |
|
|
|
— независимые комплексные линейные формы от перемен ных хѵ х2, ..., х,„ то, как и для квадратичных форм, число г равно рангу формы Я (х, х).
Для эрмитовых форм справедлива следующая теорема, доказательство которой совершенно аналогично доказатель
ству теоремы 5.1. |
|
|
|
|
|
||
|
Т е о р е м а 6. 1 ( з а к о н и н е р ц и и э р м и т о |
||||||
в ы х |
ф о р м ) . |
При |
представлении |
эрмитовой формы |
|||
Я (х, |
х) в виде суммы квадратов (Е,-£г |
= |
| £,• |2) |
||||
|
|
|
Я (х, X ) |
= % |
|
|
|
|
|
|
|
|
і=і |
|
|
где |
Кі Ф 0 (і = |
1, 2, |
..., |
г) — вещественные числа, а |
|||
?2 . |
■ |
^ — линейно |
независимые |
комплексные линейные |
|||
формы от переменных хг, х2, ..., хп, число положительных квадратов и число отрицательных квадратов не зависит от способа приведения формы к указанному виду.
6.3. Приведение эрмитовой формы к главным осям. Т е о р е м а 6.2. Эрмитова форма
П
Н (х, х) = 2 hikX(Xk — х'Нх = х*Н'х i,k
356 |
П О С Т А Н О В К А З А Д А Ч И |
[ГЛ . X IV |
Полагая |
|
|
/I(/, X ) |
= f (t, z° + x ) - f (t, z°) - |
dntQ p -x |
|
( df(t, z°) |
|
\dx ~
вместо (2.5) будем иметь
или, обозначая для удобства —~ г- == U (t), |
|
= U(t)x + h (t, x). |
( 2.6) |
По построению h (t, x) — нелинейная |
вектор-функция, |
непрерывная no t и дифференцируемая |
по х, причем |
h (t, 0) = 0. |
|
Следуя терминологии, введенной Ляпуновым, уравнение (2.6) будем называть уравнением возмущенного ' движения.
Применительно к уравнению возмущенного движения усло вия устойчивости невозмущенного движения (2.2) и (2.3) в определении Ляпунова приобретают соответственно вид:
хі01С Еі |
(г = |
1 , 2 , . . . , л) |
(2.7) |
|
Uf I С Li |
(г = |
1 ,2 ...........л). |
(2.8) |
|
Устойчивости |
по Ляпунову |
можно дать |
следующую |
|
геометрическую |
интерпретацию. |
|
|
|
В /г-мерном пространстве векторов х с введенной в нем системой координат х1г х2, ..., хп задается параллелепипед с центром в начале координат (х = 0) и с гранями, параллель ными координатным плоскостям (рис. 14.1). Величина гра ней определяется числами 2Lv 2L2, ..., 2L„. Эти числа за даются произвольным образом и могут быть как угодно малыми (но не равными нулю). Если для данного паралле лепипеда возможно построить другой параллелепипед с гранями, определенными положительными числами 2Ех, 2Е2, ..., 2Еп, такими, что, начиная с некоторого момента t0, функции Xi (t) остаются при всех t > t0 внутри первого параллелепипеда, если их начальные значения, т. е. хі0, находились внутри второго параллелепипеда, то невозму щенное движение по отношению к величинам х( устойчиво.
Область предельных отклонений х( определена здесь в форме л-мерного параллелепипеда. Но не обязательно имен
О Н Е К О Т О Р Ы Х П О С Т А Н О В К А Х З А Д А Ч И |
357 |
но в такой форме задавать эту область. Постановка задачи устойчивости по Ляпунову допускает довольно широкий произвол в выборе областей предельных отклонений. Так,
в редакции Н. Г. Четаева [58] понятие устойчивости по Ля пунову представляется в следующей формулировке:
Если при всяком произвольно заданном положительном числе е, как бы оно мало ни было, может быть выбрано по ложительное число 8 (е, /„) так, чтобы при всяких началь ных возмущениях х (/0), удовлетворяющих условию
Ng i < ö ,
ипри всяком t, превосходящем ta, выполнялось неравенство
\\x(t)l<B,
то невозмущенное движение (тривиальное решение уравне ния (2.5)) называется устойчивым по Ляпунову; в противном случае — неустойчивым.
Здесь область предельных отклонений задается в |
форме |
|
«-мерного шара радиуса е. |
|
|
В теории устойчивости по Ляпунову вводится также по |
||
нятие асимптотической устойчивости: |
|
|
Невозмущенное движение (тривиальное решение уравне |
||
ния (2.5)) называется асимптотически устойчивым, |
если: |
|
а) оно устойчиво по Ляпунову |
и б) для любого t0 £ (а, оо) |
|
существует такое б = б (t0) > |
0, что все решения х = |
х (і), |
358 П О С Т А Н О В К А З А Д А Ч И [ГЛ . X I V
удовлетворяющие условию
И 'о )1 < 8 .
обладают свойством
1 іт Ц х (0 |] = |
0 |
. |
('-♦■со |
|
2.2.П онятия устойчивости движения на конечном про
межутке времени. При рассмотрении реальных объектов нас обычно интересует их поведение в течение некоторого конеч ного промежутка времени, поэтому естественно желать, что бы устойчивость процесса (в частности, устойчивость дви жения) как характеристика качества процесса отражала бы его определенные свойства на этом конечном промежутке времени.
В определении устойчивости по Ляпунову ограничение отклонений Хі на бесконечном интервале времени условием (2.8) является существенным моментом. Если перейти к ограничениям на конечном промежутке, даже сколь угодно большом, всякий смысл в определении устойчивости те ряется, поскольку при непрерывных правых частях урав нений возмущенного движения на любом конечном про межутке времени условия (2.7) и (2.8) соблюдаются всегда.
Тем не менее в некоторых случаях, например в случае линейной автономной системы, свойства процесса в течение конечного промежутка и бесконечного (при t ->- оо) нахо дятся в тесной взаимосвязи, и поэтому при исследовании таких систем, если даже рассматриваемый промежуток времени конечен, может быть использовано понятие устой чивости, введенное для бесконечного промежутка времени,
полагая, |
например, что |
процесс устойчив на заданном ко |
||
нечном |
промежутке времени, если он устойчив по Ляпу |
|||
нову, |
и |
неустойчив на |
заданном |
конечном промежутке, |
если |
он |
неустойчив по |
Ляпунову. |
Установление с доста |
точным основанием такого соответствия возможно все же в исключительных случаях. В общем случае понятие устой чивости, введенное для бесконечного промежутка, не может
.быть использовано для оценки свойств в пределах конечно го промежутка времени, и вот почему.
. Задача устойчивости реальных процессов сводится к исследованию решений некоторых систем дифференциаль ных, интегро-дифференциальных или другого типа уравне ний, поэтому исследование устойчивости процесса путем
5 2] О Н Е К О Т О Р Ы Х П О С Т А Н О В К А Х З А Д А Ч И 359
анализа решений соответствующих уравнений имеет смысл лишь при условии в достаточной мере адекватности мате матической модели физической реальности. Часто такая адекватность выполняется в пределах только конечного про межутка времени, и тогда свойства решений уравнений при t -э- оо не имеют никакого отношения к свойствам рас сматриваемого процесса. Но даже если адекватность со блюдается при всех t > t0, это еще не означает, что между понятиями устойчивости на конечном и бесконечном про межутках времени возможно установить разумное взаимно однозначное соответствие.
В самом деле, решения двух векторных уравнений
dx/dt = gl (t, х) и dx/dt = g2(t, x), где gx(/, 0) = |
0, g2(t, 0) = |
=s 0 и в пределах конечного промежутка |
t0 -< t < iT |
g± (t, x) == g2 (t, x), на этом промежутке совпадают. Вместе с тем может случиться, что, например, тривиальное решение первого уравнения устойчиво по Ляпунову, а тривиаль ное решение второго уравнения неустойчиво, поскольку решение задачи устойчивости по Ляпунову определяется
свойствами функций gx и g2 на промежутке |
U0, о о ), а при |
t > T эти функции могут отличаться друг |
от друга как |
угодно. |
|
Соображения такого рода определяют необходимость введения самостоятельного понятия устойчивости процесса на конечном промежутке времени.
Определение устойчивости на конечном промежутке вре мени, по-видимому, впервые было дано Н. Г. Четаевым [57]. В настоящее время известно несколько отличающихся друг от друга постановок задачи устойчивости на конечном про межутке времени. Общим для всех постановок является введение определенной функциональной связи между облас тями предельных отклонений в начальный момент t0 и при t > в пределах конечного (наперед заданного или не заданного) промежутка времени. Различие же между ними проявляется, во-первых, в характере ограничений, налагае мых на отклонения параметров процесса, и, во-вторых, в форме и характере изменения во времени области предель ных отклонений.
2.2.1. Т е х н и ч е с к а я у с т о й ч и в о с т ь . Н. Д. Моисеев устойчивость механической системы (так на зываемую «техническую устойчивость») определяет так (нижеследующее определение Н. Д. Моисеева приводится