книги из ГПНТБ / Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем
.pdf210 |
А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е |
Р А С Щ Е П Л Е Н И Е |
С И СТ Е М Ы |
[ГЛ . V III |
|||||
|
|||||||||
|
При этом первое равенство (8.9) удовлетворяется тож |
||||||||
дественно. Допустим, |
что м%\ А ?]; М1а1\ |
ЛУ]; . . . ;yW[ö*“ 1], |
|||||||
|
уЖе найдены. Определим |
п дГЧ . |
|
||||||
|
Умножим (k Ң- 1)-е равенство (8.9) справа на Д и введем |
||||||||
обозначение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получим |
|
QW = |
— Л4Ч/С. |
|
(8.11) |
||||
А0ф |
|
А1к]М0К + Dlak~uK. |
|
||||||
|
Q ^A = |
- |
(8.12) |
||||||
Матрицу |
состоящую |
из k0 |
строк и п |
столбцов, |
|||||
представим в виде следующей блочной матрицы: |
|
||||||||
|
Q[a ] = |
(Qal3Ш ] . . • |
Wap]), |
|
|||||
где (ЭЙ1 = —Mafc] Ks — субматрица |
типа |
ka X ks. |
|||||||
|
При этом равенство (8.12) распадается на р независимых |
||||||||
матричных равенств |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Q&]Aa = |
AOQCO3 - |
л ^ ] + |
Dik~uKo, |
(8.13) |
||||
|
Qcrs3As = |
A0Qal]+ |
W ~ l]Ks |
(s ф a). |
(8.14) |
||||
|
Из (8.13) находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AL"1= |
- Q[oa]Aa + AgQaa1+ D ^ K a , |
|
||||||
здесь QOC — произвольная, нужное число раз дифферен цируемая квадратная матрица порядка ka.
Равенства (8.14) однозначно определяют остальные суб матрицы матрицы Q[afe].
Определив с помощью равенств (8.14) субматрицы Qas1 (s Ф о) и задавшись произвольной матрицей Qaa, мы бу
дем иметь матрицу Q^, после чего легко вычислить М\к] по формуле (см. (8.11))
М[к] = — Q[k]M.
Полученные соотношения позволяют последовательно определить члены формальных рядов (8.8), посредством кото рых представляется решение уравнения (8.5).
Теперь покажем, что с точностью до произвольных мат
риц Q[aa члены рядов (8.8) совпадают с членами рядов М а
и Ла, фигурирующих в формулах (8.3).
§ 8] Р А С Щ Е П Л Е Н И Е С О П Р Я Ж Е Н Н О Й С И С Т Е М Ы 2 1 1
Установим сначала справедливость равенств
|
МаКІ']+ |
MlJ ]Ks = О, |
||
М аҢ ? } + М о']К[ І'] + |
М1Р К , = |
о, |
||
M a K \ k} + |
+ • • • + |
M lak]K s = |
О (S Ф О), |
|
Имеем (см. (2.12), (8.4) и (8.9), (8.10)) |
(8.15) |
|||
|
||||
UKS = KSK |
|
(8.16) |
||
|
|
|
||
UKSn = K P K + K A n + dJj*-, |
||||
M0t/ = |
AaMa, |
|
(8.17) |
|
M ^U = АаМІ'] + Ä ^M o — |
||||
*). |
||||
Равенства (8.16) умножим слева соответственно на M aJ и Ма (а Ф s) и сложим друг с другом. Получим
М ^ и К + МоиКІи = (M 1]/Cs + |
МоК?]) 4 + Ма4т*. (8.18) |
|||||
Аналогично, |
умножая |
(8.17) |
справа на |
/с£13 и Кь (s^= а) |
||
и складывая, будем иметь |
|
|
|
|||
MoUKls ] + м р и к , = Аа(М Л Р ] + А $ К ) - ^ г - К . |
||||||
|
|
|
|
|
(8.19) |
|
Вычитая из равенства (8.18) равенство (8.19) и учитывая, |
||||||
что |
|
dMa ^ |
_ d(MaKs) |
|
||
Мо ddxK s |
+ |
(Зфо), |
||||
dx |
|
dx |
||||
получим |
|
|
|
|
|
|
(МУ]4 |
+ |
Ma7CP])As = А а(М0к1']+ |
MlallKs). |
|||
Отсюда, так как Ла и As не имеют общих собственных значений, получаем
Mil]Ks + МаКІ1] = 0.
*) Пока не установлено равенство соответственных членов разложе нии Л0 в формулах (8.3) и (8.7), для удобства во втором случае вмес то Л^І будем писать ЛЮ
212 |
А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е Р А С Щ Е П Л Е Н И Е С И СТ Е М Ы [ГЛ . V III |
Тем самым доказано первое из равенств (8.15). Допустим, что уже доказаны первые k — 1 равенств
(8.15). Установим справедливость /г-го равенства. Имеем
UKS = |
KSAS, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
UK\" = |
^ 1]AS+ |
К А 1'1+ |
|
, |
|
|
|
|
|
||
U K?] = |
|
+ |
/с,л»21 + /с[*1]л5,] + |
ch: |
’ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
UK™ = Klk\ |
+ |
KsAlk] + |
• |
• • + K\k' " W |
+ |
• |
|||||
Умножая эти |
равенства |
соответственно |
на |
/Ѵ1[Д |
|||||||
..., Ma и складывая, |
получим |
|
|
|
|
||||||
M[k]UKs + ■■■ |
+ МаѴ і ф = (Mla ]Ks+ • • ■+ |
MaKP])As + |
|||||||||
+ |
( M ^ K s + |
• • ■ + |
|
MaKlk~n) Aj1] + |
■• • |
|
|||||
|
|
+ ( M 1]Ks + |
|
MaM1])A5[ft_11 + |
|
|
|||||
-b M c K A ^ + |
|
|
|
|
■• • |
+ |
|
|
1]) • |
(8.20) |
|
Аналогичным приемом из системы |
|
|
|
|
|||||||
Mail = |
АаМа, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м 1»и = л М " |
+ |
л Р |
м |
, - ^ , |
|
|
|
|
|
||
м 'Р и = л„м™ + ЛИ/И„ + A W |
- |
|
. |
|
|
||||||
МікЮ = АаМ1„к1 + |
А[ак]Ма + |
|
■• • + |
Ад ]Л4а*~■1] |
dr |
||||||
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
MaUKlkl+ ••• + M aklUKs = |
A a (MaK sk]+[ |
|
+/И |ДК3) + |
||||||||
+ |
(Мак1к- 1]-\- ••• |
+ м ^ “ 1]/ д + |
|
|
|||||||
|
• •• |
+ л ^ - ,]( / а д і ,] + |
/иУ]/ о |
+ |
|
|
|||||
+ Ä ^ M o K - K l k- l] + • ■• + |
■ (8-21) |
§ 8] |
Р А С Щ Е П Л Е Н И Е С О П Р Я Ж Е Н Н О Й С И СТ Е М Ы |
2 1 3 |
Приравняем правые части равенств (8.20) и (8.21), учтя при этом, что по предположению первые к — 1 равенств (8.15) справедливы и что
[fe-i] dKs |
+ |
~j~ Mo |
dK:[ A - I ] |
“b |
dMo |
Klk- |
+ |
|
|
м у |
dx |
dx |
dx |
|
|||||
|
|
|
ж ( ^ fc_n^ |
+ |
••• |
+ « |
р |
- 1]) = о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(s # o ). |
|
Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
{MaKl^ -f |
••• |
+ М 1ок]К ,)А = А о (М о К ['Ч |
+ |
M ? % ) . |
|||||
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M0K[k]+ |
. .. + |
A |
Ä s= |
0. |
|
|
Тем самым по индукции установлена справедливость ра венств (8.15) при любом k.
Так как
МоКъ= |
£ |
£Ä/V/^ ] 2 |
е'г/<^ 3= |
|
|
|
||
|
|
/!=0 |
ft=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= MoKs + е (М ^У ] + M ^ K S) + |
|
|
|||
|
|
|
+ е2 (МоК? + |
МУ]М ‘] + M\~]Ks) + |
• • •, |
|||
то на основании (8.15) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
MaKs= 0 |
(s Ф ст). |
|
(8.22) |
|
|
В силу имеющегося произвола в выборе |
и ОУУ (k = |
||||||
= |
1, 2, |
...; or = 1, |
2, ..., р), равенства (8.15), |
вообще |
гово |
|||
ря, |
при s = |
ст не имеют места. Но если принять |
|
|||||
|
|
=<21оУ. |
|
|
|
|
|
|
|
т |
= Qacr1+ |
Л |
« \ |
|
|
(8 .2 3 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Qao = |
Qoa + |
Mo*V’Co*"'1] -f- |
+ M[k~i]KlJ \ |
|
|||
то эти равенства будут выполняться и при s = ст.
2 1 4 |
А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е |
Р А С Щ Е П Л Е Н И Е |
С И СТ Е М Ы |
[ГЛ . Ѵ ІИ |
|||||||||
|
Действительно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
МаКа[ ] + |
м Ж |
- ,] + |
• • • |
+ |
М |
? - 'д а |
+ |
Мок1Ко = |
|||||
= |
M0KQlak] + |
|
|
+ |
■• • + |
Mlak- l]K lJ ]- |
f f l ]MKo = |
||||||
|
= |
QloJ + |
|
|
+ |
• • • |
+ |
|
|
|
- |
Wa] = 0. |
|
|
Если |
QM |
определены |
согласно |
(8.23), |
то, как легко |
|||||||
проверить, будем |
иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Mo/?a = Efea |
( 0 = 1 , 2 , |
. . . , |
р), |
|
(8.24) |
||||||
|
Объединяя |
соотношения (8.22) и (8.24), получим |
|||||||||||
|
|
|
|
|
МК = Еп. |
|
|
|
|
(8.25) |
|||
Обозначим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Qt4 = |
( d ‘l < ^ ) . . . |
QM), |
|
= |
[*] |
|
||||||
|
|
q‘ |
|
|
|||||||||
Тогда, очевидно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Kw = KQW , |
MW = — QW M. |
|
|
||||||||
|
Согласно (8.25) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
= Еп, |
|||
|
|
|
|
|
|
М/С[1] 4- MWK = о, |
|
||||||
|
MKW + |
м [14 |
[*-1] + |
|
+ M [fc]/( = |
0, |
|
||||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q[‘] _ |
Q[Ч = |
0 |
|
||
|
|
|
|
|
Q r a _ Q [ n Q[ n _ Q m = 0 |
|
|||||||
|
|
|
Q[3] _ Q[1]Q[2] _ |
Q [2]Q [I]_ |
Q[31 = |
0 |
|
||||||
(8 .2 6 1
§ 8] |
Р А С Щ Е П Л Е Н И Е С О П Р Я Ж Е Н Н О Й С И С Т Е М Ы |
2 1 5 |
и, значит,
Q[1]= Q [4,
Q[3]== Q [3]_Q[i]Q m _ Q [ 2 ] Q[i]i
|
|
|
|
(8.27) |
QW = |
QW _ |
Q[>]Q[*-I] _ . . . _ |
Q[*-nQrn |
|
Имеют место |
следующие соотношения: |
|
||
Q H ] Q m + |
Q [ 2 ] Q [ 1 ] = |
Q [ . ] Q [ 2 ] + |
Q [ 2 ] Q [ l ] f |
|
Q[1]Q[3] + |
+ |
= |
Q[0Q[3] -f Q^Qt2] _J_ |
|
(8.28)
Равенство
Qf'lQm ^QtnQtn
очевидно в силу первого равенства (8.27).
Из первого равенства (8.27), умноженного справа на
вычтем второе равенство, умноженное слева |
на Q0]. |
Получим |
(8.29) |
Q[,]Q[2] _ Qm Q m ==QmQ[i]Qm |
|
Из первого равенства (8.27), умноженного слева на (И23, |
|
вычтем второе, умноженное справа на Q0], Получим |
|
QWQM - QC2]Qc1] = QC4QC4QC4. |
(8.30) |
Сравнивая левые части равенств (8.29) и (8.30), получим второе равенство (8.28).
Первые три равенства (8.27) умножим справа соответ
ственно на Q [3], Q [2], Q [,] и сложим. Получим |
|
|||
Qm Q[3] + Q[2]Q[2] + |
QC3]Qm = |
Q[I]Q[33 + |
Q PIQW + |
|
— Q[1]Q [,]Q [2] — Q [I]Q[2]Q[I] — Q^Q[OQO]_ |
(8 31) |
|||
Умножая эти же равенства слева |
на Q[3], Q[2], Qci:i и |
|||
складывая, будем |
иметь |
|
|
|
Q tH Q t3] + Q W Q W + |
Q [3]Q [1] _ |
Q [1]Q [3] + |
Q [2]Q [2] + Q [3]<?[ 1 ] _ |
|
— Q [ l] Q [1]Q r a — QO]Q[2]Q[I] _ |
QP]Q C1]Q [I]> |
(832) |
||
2 1 6 А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е Р А С Щ Е П Л Е Н И Е С И СТ Е М Ы [ГЛ . V III
Вычитая из (8.31) |
равенство |
(8.32), получим |
||
( Q [1]Q [3] + |
Q [2]Q [2] + |
Q [ 3 ] Q [1]) - |
( Q [1]Q [31 + |
Q [2]Q [2] + |
+ |
Q [3]Q [1]) = |
Q [1]Q [1,Q [21 + Q [1^ Q |
[ , 1 + |
|
+ |
|
|
|
- Q ^ Q ^ Q H ] . |
Правая часть последнего соотношения равна нулю. Дей ствительно, используя первые два уже доказанных соотно шения (8.28), будем иметь
Q [‘]Q[I]Q [2] + Qn]Q[4Qm + |
|
_ QmQ[.]Qm _ |
|||
- |
Q [1]Q [2]Q [1] - |
Q |
^ |
W 1 = Q [11Q [ , ] Q [2] + |
|
_)_ ( Q [11Q [2] _J_ |
Q UI |
_ |
Q [1]Q [ I ] Q [2] _ |
Q [ 4 Q [2]Q [1] _ |
|
|
|
|
|
— |
Q [2]Q [1]Q [i1 = 0 . |
Учитывая это, получаем третье равенство (8.28): |
|||||
QmQ[3i + |
QmQm + |
|
|
+ |
+ Q W Q U . |
Этим же способом последовательно можно доказать и последующие равенства (8.28).
В силу равенств (8.28) вместо (8.26) можем записать
|
Qrn — Q[l] = |
О, |
|
Q C2J _ Q r ' l Q H J _ Q [2] = |
0 j |
Q [3 ] _ |
Q n i Q t S J _ Q t 4 Q [ I ] _ QL3] = |
0> |
Qm _ Q[l]Q[/e-.]_ |
. .. _ Q [* -l]Q [l]_ Q [4 = 0 i |
|
По умножении справа на М, а слева на К эти соотноше ния предстают в форме, отвечающей равенству (2.20), что доказывает равенство соответствующих членов разло
жения матриц М а, фигурирующих в |
формулах |
(8.3) и |
|
(8.6). |
доказать равенство соответственных |
членов |
|
Остается |
|||
разложения |
матриц Аа, фигурирующих |
в формулах (8.3) |
|
и (8.7). |
|
|
|
$ 8] |
|
Р А С Щ Е П Л Е Н И Е С О П Р Я Ж Е Н Н О Й С И С Т Е М Ы |
|
217 |
||||||||
|
|
|
||||||||||
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
иКо = КЛа, |
|
dKa |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
UKlc ] =/СУ ]Ла + |
КаА[п + |
dx |
|
|
|
|
|
|
||||
UKla] = |
/Са]Аа + |
KaA^ + |
|
|
< |
1] |
|
|
||||
|
|
+ |
dx |
|
|
|
||||||
и № |
= |
|
|
+ |
к Л к] + |
• ■• |
+ |
А ^ - 1]л ['3+ |
dK[k~{] |
|||
|
|
|
а |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
Умножим слева первое равенство на |
Ліо3, второе |
|||||||||||
на Maft-11 |
|
и т. д. и сложим полученные результаты. Будем |
||||||||||
иметь, |
считая, что |
(£ — |
1,2, |
...) определены согласно |
||||||||
равенствам |
(8.23), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
М\?]и К а+ |
|
+ M aUK[ak] = |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
= Alak] + M[ak--,] dK^ + |
••• + Mo |
dK°x— |
■(8.33) |
||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
Умножая справа равенства |
|
|
|
|
|
|
||||||
MQU = ЛаЛ4о, |
|
|
dMr |
|
|
|
|
|
|
|||
MWu = A 0Mlal] + Ä lc']M |
|
|
|
|
|
|
||||||
dx |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
dMU1 |
|
|
|||
M\?]U = Л„М?3+ № м а + л Ж |
|
|
|
|||||||||
|
3— |
|
, |
|
|
|||||||
M FU = |
ЛаЛІ03 + |
Aik]Ma + |
• • ■ + |
Л[аІ3м |
Г |
13 - |
|
а |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
соответственно на Л3а 3, /(а*~'3 >•••> Ко, тем |
же путем полу |
|||||||||||
чим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M J U № + |
••• |
+ м [к]и К о = |
|
+ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
dM r |
|
|
|
|
К о ) . |
(8.34) |
|
|
= |
ÄLft] |
|
dx- к 1о~ІІ + |
|
dx |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
Из |
(8.33) и |
(8.34) следует, что |
|
|
|
|
|
|||||
А Г*] |
А [А] |
/Л" КІА -1 ] |
|
|
|
|
|
|
||||
218 |
А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е Р А С Щ Е П Л Е Н И Е С И СТ Е М Ы |
[ГЛ . Ѵ ІП |
или, наконец, так как выражение, заключенное в круглые скобки, тождественно равно нулю,
A?] = A ?J |
{k = 1,2, ...)■ |
П р и м е р . Система, сопряженная однородной системе дифференциальных уравнений, рассмотренной в качестве примера в § 2, имеет вид
|
~t |
0 |
0 |
|
u * = |
1 |
— 1 + |
2t — |
2 |
|
t2 |
|||
|
1 |
|
2t — |
1 |
|
- ' + i r |
P |
Согласно вышеизложенному решение этой системы пред ставляется так:
z = 2 МоѴа= М*ѵ,
а=-1
где
dvn
—gp- = — ЛоИо (О — 1,2)
или, что то же самое,
|
|
dv |
— A*u, |
V = |
и, |
|
|
|
dt |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
В данном случае |
|
|
|
|
||
|
|
|
t - |
i r |
0 |
|
М* = М* = |
t — |
|
1 |
1 2 |
t — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
è- |
|
|
t |
/ 3 +2 |
|
0 |
0 “ |
A*= |
t |
Ti (■ |
' - T ^ T ) 0 |
|||
|
t2 |
t(P— 1) |
||||
|
|
0 |
|
|
0 |
- r |
|
|
|
|
|
||
2 1 9
РАСЩ ЕПЛЕНИЕ СОПРЯЖ ЕНИЙ СИСТЕМЫ
5 8]
Для проверки подставим решение 2 в исходное уравне ние. Получим
dt и — М*А*у = — U*M*v.
Вектор 2 действительно является решением уравнения, если имеет место тождество
Имеем
dMdt* — М*А* =
t —
X
уй*а* = —u m * .
■О О
— 1 j — 1
t - j r |
0 |
|
|
|
- 1 |
1 |
2 t - - k - |
X |
|
|
|
|||
|
1 |
t — . |
|
|
|
t |
|
0 |
0 |
1 , |
J l + 2 _ |
P + 2 |
0 |
|
P + |
t(P — 1) |
|
|
|
|
0 |
|
0 |
_1_ |
|
|
p |
||
Отсюда