книги из ГПНТБ / Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем

Теорема 6.1 указывает простои путь построения жордановой формы матрицы. Однако в случае матрицы высокого порядка определение дефектов матриц /ѵ (Xs) (v = 1, 2, 3, ...) может оказаться довольно трудоемкой операцией. Во избежаниеэтого целесообразно предварительно преобразовать матри­ цу U к квазидиагональному виду в соответствии с алгорит­ мом, изложенным в § 3. При том разбиении собственных чи­ сел матрицы U на группы, которое было указано в начале настоящего параграфа, группе s, состоящей из ks одинако­

совпадают. Учитывая это, приходим к следующей теореме. Т е о р е м а 6.2. Пусть Xs — собственное значение (ks-KpaniHoe) матрицы U, As = MSUKS— диагональный блок квазидиагональной матрицы, подобной U, отвечающей груп­ пе ks равных собственных значений Xs. Тогда число клеток Жордана т-го порядка (т = 1, 2, 3, ...) с собственным значением Xs в жордановой матрице, подобной матрице U,

связано с дефектами матриц

[ А з - У У ѵ (ѵ = 0, 1,2, ...)

соотношением

p<m) = 2 dT] - d T ~ X)- d T +{).

Здесь dw обозначает дефект матрицы [As — XßkY- Теперь рассмотрим вопрос о построении матрицы Т, преобразующей матрицу U к форме Жордана J . Мы здесь не будем приводить методы построения преобразующей матри­ цы Т, описанные в имеющейся литературе (см., например, [9]), а ограничимся указанием способа сведения задачи о построении преобразующей матрицы Т п-го порядка к

§ п С Л У Ч А Я М А Т Р И Ц Ы П Р О С Т О Я С Т Р У К Т У Р Ы 111

определению некоторого числа квадратных матриц меньшего порядка.

Исходя из указанногов начале данного параграфа раз­ биения собственных значений матрицы U на группы, мож­ но построить матрицу К = (К±, К2 ■■■К , преобразующую матрицу U к квазидиагональному виду (6.5). При этом груп­ пе s (s = 1, 2, ..., р), состоящей из ks равных собственных значений A,s, будет отвечать диагональный блок Л5 матрицы Л с ks кратным собственным значением

Итак, наряду с (6.2) имеет место легко реализуемое пред­

позволяет свести задачу по построению преобразующей мат­

(а это в прикладных задачах наиболее вероятный случай), то Ns можно построить путем непосредственного решения относительно элементов этой матрицы системы алгебраиче­ ских уравнений, соответствующей матричному равенству

AsNs = NsJs(ks).

§ 7, Случай матрицы простой структуры

Из теорем предыдущего параграфа непосредственно сле­ дуют два результата.

Если /га-кратному собственному значению матрицы от­ вечают в форме Жордана ka клеток Жордана первого по­ рядка, то

и обратно.

матриц простой структуры.

Л е м м а 7.1. Пусть собственные значения матрицы U разбиты на р групп при условии (3.1) и rk f ) — какое-нибудь

то 1) все собственные значения группы а равны между собой;

2)матрица Ла является диагональной матрицей.

До к а з а т е л ь с т в о . 1) Из (7.1) следует, что все ненулевые столбцы матрицы Да (U) являются собственными

векторами, соответствующими собственному значению Х)а). Так как ранг матрицы Да (U) равен ka, то собственному

значению Х{,а) соответствуют ka линейно независимых

собственных векторов. Это значит, что А./а) является по крайней мере &а-кратным собственным значением матрицы.

Но кратность X f\ очевидно, не может быть больше, чем число собственных значений, включенных в группу о, т. е. больше, чем ka. Значит, кратность собственного значения

А/а) в точности равна ka.

2) Представим равенство (7.1) так:

(U — %fEn) КоМоо = 0.

Отсюда, так как среди миноров матрицы Моа ранга Іга имеется минор ранга ka, то

Лемма доказана.

Т ё о р е м а 7.1. Пусть собственные значения матрицы U разбиты на р групп при условии (3.1), причем в каоюдую группу включены только равные между собой собственные значения. Для того чтобы U была матрицей простой

и потому

А (U) = 0.

Матрица А (U) является множителем левых частей всех равенств (7.3), что и подтверждает справедливость этих ра­ венств. Теорема доказана.

Равенство (7.5), как мы видели, является необходимым условием того, чтобы U имела простую структуру. Можно показать, что (7.5) является в то же время и достаточным условием.

Действительно, из (7.5) следуют равенства

собственные значения матрицы U. Для того чтобы матрица U имела простую структуру, необходимо и достаточно, чтобы

А (£/)= U ( U - K E n ) = 0.

5 = 1

С л е д с т в и е . Если U — матрица простой струк­ туры с одинаковыми собственными значениями, равными X, то непременно

U = ХЕ.

З а м е ч а н и е 1. Если U — матрица простой струк­ туры, то

Д (X) = П (X — Xs)

S = 1

является ее минимальным многочленом.

З а м е ч а н и е 2. Равенство А (U) — 0 является необ­ ходимым и достаточным условием линейности всех элемен­ тарных делителей характеристической матрицы ХЕ — U.

§ 8] Р А З Л О Ж Е Н И Е К В А Д Р А Т Н О Й М А Т Р И Ц Ы Н А С О С Т А В Л Я Ю Щ И Е 115

§ 8. Разложение квадратной матрицы на составляющие

Равенство (3.9) после перемножения блочных матриц К, А и М можно записать в виде

Квадратные матрицы Uа (о = 1,2...... р) будем называть

составляющими матрицы U. Каждая составляющая Uа

матрицы U отвечает группе о собственных значений этой ма­ трицы. Собственные значения матрицы U, включенные в группу о, являются собственными значениями и для ее

из того, что матрица MUCK, подобная матрице Ua, явля­ ется квазидиагональной матрицей, в которой диагональным

и, кроме того, удовлетворяют еще следующим соотношениям:

U'Z = KoKMo (т= 1, 2, . . . ),

UUo = UoU = U l

Как уже отмечалось, в выборе матриц Ко (о = 1, 2, ..., р) при данном разбиении собственных значений матрицы 0 на группы имеется определенный произвол (см. § 5). Со­ ставляющие же и а при данном разбиении собственных чи­ сел на группы определяются однозначно; они инвариантны относительно произвола, имеющегося в выборе Ко- Дейст­ вительно, принимая вместо Ко матрицу KoNo, будем иметь

до = KoÂoMo = KoNoNölAaNaNölMo = КоАаМа = Ua.

Пусть / (А.) — многочлен скалярного аргумента А. Если две матрицы А и В подобны и матрица Т преобразует А в В,

§8] Р А З Л О Ж Е Н И Е К В А Д Р А Т Н О Й М А Т Р И Ц Ы НА С О С Т А В Л Я Ю Щ И Е Ц 7

Матрицу, присоединенную к характеристической мат­ рице А£„ — U, обозначим через F (А.). Имеем

F (А) (АЕп - U) = (АЕп-~Н) F (А) = Д (А) Еп, (8.4)

где

Д(А) = П (А -А 5)

S ~ 1

—характеристический многочлен матрицы U. Прежде всего покажем, что

Умножим последнее равенство слева на F (Аа) и, учиты­ вая, что F (Аа) (Аст-Е,,— U) = 0 (это следует из равенства (8.4)), получим

F“(ACT) = AC (ACT) F (ACT),

ИЛИ

С другой стороны, так как в данном случае МъаКо — скаляр,

1 18 П Р Е О Б Р А З О В А Н И Е М А Т Р И Ц Ы [ГЛ. V

Сравнивая равенства (8.7) и (8.8), получаем

что представляет собой формулу Сильвестра для случая, когда все собственные значения матрицы U простые. Из соотношения (8.9) путем предельного перехода может быть получена общая формула Сильвестра, справедливая и при наличии у матрицы U равных друг другу собственных зна­ чений:

Здесь Xa обозначает общее значение всех ka равных собст­ венных значений матрицы U, включенных в группу о (Ха=